讲与圆有关位置关系

数学第21讲与圆有关的位置关系辽宁专用6命题点1圆的切线的判定与性质1．(2015·沈阳11题4分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝___cm时，BC与⊙A相切．13．(2016·朝阳22题8分)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为∠BAC的平分线，以AB上一点O为圆心的半圆经过A、D两点，交AB于E，连接OC交AD于点F.(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若OF∶FC＝2∶3，CD＝3，求BE的长．解：(1)相切，∵AD为∠CAB平分线，∴∠CAD＝∠DAO，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵∠ACB＝90°，∴∠ODB＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，OD为半径，∴BC与⊙O相切；4．(2016·锦州23题8分)如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，AC<BC，点D为AB的中点，过点D作BC的垂线，垂足为点F，过点A、C、D作⊙O交BC于点E，连接CD、DE.(1)求证：DF为⊙O的切线；(2)若AC＝3，BC＝9，求DE的长．(1)证明：如图，连接AE、OD，∵∠ACB＝90°，∴AE为⊙O的直径，∴O为AE的中点，又∵D为AB的中点，∴OD为△AEB的中位线，∴OD∥BE，∴∠ODF＝∠DFB，∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，又∵OD是⊙O的半径，∴DF为⊙O的切线；5．(2016·丹东22题10分)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证：∠BDC＝∠A；(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长．(1)证明：如图，连接OD，∵CD是⊙O切线，∴∠ODC＝90°，即∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A；6．(2016·本溪22题12分)如图，△ABC中，AB＝AC，点E是线段BC延长线上一点，ED⊥AB，垂足为D，ED交线段AC于点F，点O在线段EF上，⊙O经过C，E两点，交ED于点G.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若∠E＝30°，AD＝1，BD＝5，求⊙O的半径．(1)证明：由题知，C、E为⊙O上的点，如图，连接OC，则∠OEC＝∠OCE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，又∵△BDE为直角三角形，且∠BDE＝90°，∴∠OEC＋∠B＝90°，则∠OCE＋∠ACB＝90°，又∵∠OCE＋∠OCF＋∠ACB＝180°，∴∠OCF＝90°，即OC⊥AC，∴AC为⊙O的切线；7．(2015·锦州23题10分)如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED.(1)若∠B＋∠FED＝90°，求证：BC是⊙O的切线；(2)若FC＝6，DE＝3，FD＝2，求⊙O的直径．(1)证明：∵∠A＋∠DEC＝180°，∠FED＋∠DEC＝180°，∴∠FED＝∠A，∵∠B＋∠FED＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，∴∠BCA＝90°，∴BC是⊙O的切线；8．(2015·葫芦岛23题12分)如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．(1)求证：AB与⊙O相切；(2)若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长．(1)证明：如图，过点O作OM⊥AB，垂足是M.∵⊙O与AC相切于点D.∴OD⊥AC，∴∠ADO＝∠AMO＝90°.∵△ABC是等边三角形，∴∠DAO＝∠MAO，∴OM＝OD.∴AB与⊙O相切；9．(2015·抚顺24题12分)如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF.(1)求证：CF与⊙O相切；(2)若AD＝2，F为AE的中点，求AB的长．(1)证明：连接CB、OC，如图，∵BD为⊙O的切线，∴DB⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°，∵E为BD的中点，∴CE＝BE，∴∠BCE＝∠CBE，而∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＋∠CBE＝∠OCB＋∠BCE＝90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线；【方法指导】1.切线的判定：在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证明方法是“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点未知，证明方法是“作垂线，证半径”．这两种情况可概括为一句话：“有交点连半径，无交点作垂线”；2．求线段长度时通常在构造的直角三角形中(注意直径所对的圆周角也可得直角三角形)利用三角函数或勾股定理求解，有时也需根据圆中相等的角得到相似三角形，根据相似三角形对应边成比例建立等式进行求解．(1)证明：如图，连接BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠ABD＝90°.∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°，即∠DAB＋∠CAF＝90°