上海市大团中学2024届数学高一第二学期期末检测试题含解析

上海市大团中学2024届数学高一第二学期期末检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数在上零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知是第二象限角,（）A． B． C． D．3．若函数的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动个单位长度得函数的图象，则函数在区间内的所有零点之和为（）A． B． C． D．4．设函数，则满足的的取值范围是（）A． B． C． D．5．数列的首项为，为等差数列，且（），若，，则（）A． B． C． D．6．若等差数列和的公差均为，则下列数列中不为等差数列的是（）A．（为常数） B．C． D．7．为了了解运动员对志愿者服务质量的意见，打算从1200名运动员中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段间隔为A．40 B．20 C．30 D．128．P是直线x+y+2=0上任意一点，点Q在圆x-22+yA．2 B．4-2 C．4+29．在中，a、b分别为内角A、B的对边，如果，，，则（）A． B． C． D．10．在中，边，，分别是角，，的对边，且满足，若，则的值为A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若在等比数列中，，则__________．12．数列中，其前n项和,则的通项公式为______________..13．抽样调查某地区名教师的年龄和学历状况，情况如下饼图：则估计该地区岁以下具有研究生学历的教师百分比为_______．14．在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______．15．已知函数fx=Asin16．已知数列满足，若，则的所有可能值的和为______；三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知为数列的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.18．直线的方程为.(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的值；(2)若不经过第二象限，求实数的取值范围.19．已知向量，.（1）当为何值时，与垂直？（2）若，，且三点共线，求的值.20．（1）设，直接用任意角的三角比定义证明：.（2）给出两个公式：①；②.请仅以上述两个公式为已知条件证明：.21．如图，已知中，.设，，它的内接正方形的一边在斜边上，、分别在、上.假设的面积为，正方形的面积为.（Ⅰ）用表示的面积和正方形的面积；（Ⅱ）设，试求的最大值，并判断此时的形状.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

在同一直角坐标系下，分别作出与的图象，结合函数图象即可求解.【题目详解】解：由题意知：函数在上零点个数，等价于与的图象在同一直角坐标系下交点的个数，作图如下：由图可知：函数在上有个零点.故选：D【题目点拨】本题考查函数的零点的知识，考查数形结合思想，属于中档题.2、A【解题分析】cosα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－.3、C【解题分析】

先由诱导公式以及两角和差公式得到函数表达式，再根据函数伸缩平移得到，将函数零点问题转化为图像交点问题，进而得到结果.【题目详解】函数横坐标伸长到原来的2倍得到，再向左平行移动个单位长度得函数，函数在区间内的所有零点，即的所有零点之和，画出函数和函数的图像，有6个交点，故得到根之和为.故答案为：C.【题目点拨】本题考查了三角函数的化简问题，以及函数零点问题。于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个非常函数，注意让非常函数式子尽量简单一些。4、C【解题分析】

利用特殊值，对选项进行排除，由此得到正确选项.【题目详解】当时，，由此排除D选项.当时，，由此排除B选项.当时，，由此排除A选项.综上所述，本小题选C.【题目点拨】本小题主要考查分段函数求值，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.5、B【解题分析】由题意可设等差数列的首项为，公差为，所以所以，所以，即=2n-8,=,所以,选B.6、D【解题分析】

利用等差数列的定义对选项逐一进行判断，可得出正确的选项.【题目详解】数列和是公差均为的等差数列，则，，.对于A选项，，数列（为常数）是等差数列；对于B选项，，数列是等差数列；对于C选项，，所以，数列是等差数列；对于D选项，，不是常数，所以，数列不是等差数列.故选：D.【题目点拨】本题考查等差数列的定义和通项公式，注意等差数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题.7、C【解题分析】

根据系统抽样的定义和方法，结合题意可分段的间隔等于个体总数除以样本容量，即可求解.【题目详解】根据系统抽样的定义和方法，结合题意可分段的间隔，故选C.【题目点拨】本题主要考查了系统抽样的定义和方法，其中解答中熟记系统抽样的定义和方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8、D【解题分析】

首先求出圆心到直线的距离与半径比较大小，得到直线与圆是相离的，根据圆上的点到直线的距离的最小值等于圆心到直线的距离减半径，求得结果.【题目详解】因为圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为d=2+0+2所以直线x+y+2=0与圆(x-2)2所以PQ的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，即PQmin故选D.【题目点拨】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，圆上的点到直线的距离的最小值问题，属于简单题目.9、A【解题分析】

先求出再利用正弦定理求解即可.【题目详解】，，，由正弦定理可得，解得，故选：A.【题目点拨】本题注意考查正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.10、A【解题分析】

利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理可得的值，由可得的值【题目详解】在中，由正弦定理可得化为：即在中，，故,可得，即故选【题目点拨】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理，向量的数量积的运用，考查了两角和公式，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据等比中项的性质，将等式化成即可求得答案．【题目详解】是等比数列，若，则．因为，所以，．故答案为：1．【题目点拨】本题考查等比中项的性质，考查基本运算求解能力，属于容易题.12、【解题分析】

利用递推关系，当时，，当时，，即可求出.【题目详解】由题知：当时，.当时，.检验当时，，所以.故答案为：【题目点拨】本题主要考查根据数列的前项和求数列的通项公式，体现了分类讨论的思想，属于简单题.13、【解题分析】

根据饼状图中的岁以下本科学历人数和占比可求得岁以下教师总人数，从而可得其中的具有研究生学历的教师人数，进而得到所求的百分比.【题目详解】由岁以下本科学历人数和占比可知，岁以下教师总人数为：人岁以下有研究生学历的教师人数为：人岁以下有研究生学历的教师的百分比为：本题正确结果：【题目点拨】本题考查利用饼状图计算总体中的数据分布和频率分布的问题，属于基础题.14、【解题分析】

利用空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标特征解答即可.【题目详解】在空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标对应互为相反数，所以点关于原点的对称点的坐标为.故答案为：【题目点拨】本题主要考查空间直角坐标系中对称点的特点，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15、f【解题分析】分析：首先根据函数图象得函数的最大值为2，得到A=2，然后算出函数的周期T=π，利用周期的公式，得到ω=2，最后将点（5π代入，得：2=2sin（2×5π12+φ所以fx的解析式是f详解：根据函数图象得函数的最大值为2，得A=2，又∵函数的周期34T=5π将点（5π12，2）代入，得：2=2sin所以fx的解析式是f点睛：本题给出了函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的知识点，属于中档题．16、36【解题分析】

根据条件得到的递推关系，从而判断出的类型求解出可能的通项公式，即可计算出的所有可能值，并完成求和.【题目详解】因为，所以或，当时，是等差数列，，所以；当时，是等比数列，，所以，所以的所有可能值之和为：.故答案为：.【题目点拨】本题考查等差和等比数列的判断以及求数列中项的值，难度一般.已知数列满足(为常数)，则是公差为的等差数列；已知数列满足，则是公比为的等比数列.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解题分析】

(1)先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式求结果，(2)根据错位相减法求结果.【题目详解】(1)因为，所以当时，,相减得，，当时，，因此数列为首项为，2为公比的等比数列，(2),所以，则2，两式相减得.【题目点拨】本题考查错位相减法求和以及由和项求通项，考查基本求解能力，属中档题.18、(1)0或2；(2).【解题分析】

（1）当过坐标原点时，可求得满足题意；当不过坐标原点时，可根据直线截距式，利用截距相等构造方程求得结果；（2）当时，可得直线不经过第二象限；当时，结合函数图象可知斜率为正，且在轴截距小于等于零，从而构造不等式组求得结果.【题目详解】（1）当过坐标原点时，，解得：，满足题意当不过坐标原点时，即时若，即时，，不符合题意若，即时，方程可整理为：，解得：综上所述：或（2）当，即时，，不经过第二象限，满足题意当，即时，方程可整理为：，解得：综上所述：的取值范围为：【题目点拨】本题考查直线方程的应用，涉及到直线截距式方程、由图象确定参数范围等知识；易错点是在截距相等时，忽略经过坐标原点的情况，造成丢根.19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用坐标运算表示出与；根据向量垂直可知数量积为零，从而构造方程求得结果；（2）利用坐标运算表示出，根据三点共线可知，根据向量共线的坐标表示可构造方程求得结果.【题目详解】（1），与垂直，解得：（2）三点共线，，解得：【题目点拨】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量平行和垂直的坐标表示；关键是能够明确两向量垂直则数量积等于零，能够利用平行关系表示三点共线.20、（1）证明见解析（2）证明见解析【解题分析】

（1）直接利用任意角的三角函数的定义证得．（2）由已知条件利用诱导公式，证明．【题目详解】解：（1）将角的顶点置于平面直角坐标系的原点，始边与轴的正半轴重合，设角终边一点（非原点），其坐标为.∵，∴，.（2）由于，将换成后，就有即，.【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，属于基础题．21、（Ⅰ），；，（Ⅱ）最大值为；为等腰直角三角形【解题分析】

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