2024届贵州省遵义市求是高级中学高一数学第二学期期末联考试题含解析

2024届贵州省遵义市求是高级中学高一数学第二学期期末联考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．中，已知，则角（）A．90° B．105° C．120° D．135°2．已知，且，，则（）A． B． C． D．3．把等差数列1,3,5,7,9,…依次分组,按第一个括号一个数,第二个括号二个数,第三个括号三个数,第四个括号一个数,…循环分为,,,,,,,…,则第11个括号内的各数之和为()A．99 B．37 C．135 D．804．如图是某个正方体的平面展开图，，是两条侧面对角线，则在该正方体中，与（）A．互相平行 B．异面且互相垂直 C．异面且夹角为 D．相交且夹角为5．已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30~7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45~7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是（）A． B． C． D．6．已知直线与圆相切，则的值是()A．1 B． C． D．7．圆心为且过原点的圆的方程是（）A．B．C．D．8．已知集合，，则（）A． B．C． D．9．化简的结果是（）A． B． C． D．10．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔的南偏西距塔64海里的处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的处,则这只船的航行速度为__________海里/小时．12．已知等差数列的前n项和为，若，，，则________13．在中，已知，则下列四个不等式中，正确的不等式的序号为____________①②③④14．已知，向量的夹角为，则的最大值为_____.15．数列满足下列条件：，且对于任意正整数，恒有，则______.16．体积为8的一个正方体，其全面积与球的表面积相等，则球的体积等于________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图,四棱锥中,是正三角形,四边形ABCD是矩形,且平面平面.(1)若点E是PC的中点,求证:平面BDE;(2)若点F在线段PA上,且,当三棱锥的体积为时,求实数的值.18．某高校自主招生一次面试成绩的茎叶图和频率分布直方图均收到了不同程度的损坏，其可见部分信息如下，据此解答下列问题：（1）求参加此次高校自主招生面试的总人数、面试成绩的中位数及分数在内的人数；（2）若从面试成绩在内的学生中任选三人进行随机复查，求恰好有二人分数在内的概率.19．在中，D是线段AB上靠近B的一个三等分点，E是线段AC上靠近A的一个四等分点，，设，.（1）用，表示；（2）设G是线段BC上一点，且使，求的值.20．已知数列满足：，，.（1）求、、；（2）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；（3）求和.21．某同学假期社会实践活动选定的课题是“节约用水研究”.为此他购买了电子节水阀，并记录了家庭未使用电子节水阀20天的日用水量数据（单位：）和使用了电子节水阀20天的日用水量数据，并利用所学的《统计学》知识得到了未使用电子节水阀20天的日平均用水量为0.48，使用了电子节水阀20天的日用水量数据的频率分布直方图如下图：（1）试估计该家庭使用电子节水阀后，日用水量小于0.35的概率；（2）估计该家庭使用电子节水阀后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

由诱导公式和两角差的正弦公式化简已知不等式可求得关系，求出后即可求得．【题目详解】，∴，是三角形内角，，，则由得，∴，从而．故选：C.【题目点拨】本题考查两角差的正弦公式和诱导公式，考查正弦函数性质．已知三角函数值只要确定了角的范围就可求角．2、C【解题分析】

根据同角三角函数的基本关系及两角和差的正弦公式计算可得.【题目详解】解：因为，．因为，所以．因为，，所以．所以．故选：【题目点拨】本题考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，属于中档题.3、D【解题分析】

由已知分析，寻找数据的规律，找出第11个括号的所有数据即可.【题目详解】因为每三个括号，总共有数据1+2+3=6个，相当于一个“周期”，故第11个括号，在第4个周期的第二个括号；则第11个括号中有两个数，其数值为首项为1，公差为2的等差数列数列中的第20项(6，第21项的和，即.故选：D.【题目点拨】本题考查数列新定义问题，涉及归纳总结，属中档题.4、D【解题分析】

先将平面展开图还原成正方体，再判断求解.【题目详解】将平面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合，所以与相交，连接，则为正三角形，所以与的夹角为.故选D.【题目点拨】本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5、D【解题分析】

根据甲、乙的到达时间，作出可行域，然后考虑甲、乙能同乘一辆公交车对应的区域面积，根据几何概型的概率求解方法即可求解出对应概率.【题目详解】设甲到起点站的时间为：时分，乙到起点站的时间为时分，所以，记事件为甲乙搭乘同一辆公交车，所以，作出可行域以及目标区域如图所示：由几何概型的概率计算可知：.故选：D.【题目点拨】本题考查利用线性规划的可行域解决几何概型中的面积模型问题，对于分析和转化的能力要求较高，注意几何概型中面积模型的概率计算方法，难度较难.6、D【解题分析】

利用直线与圆相切的条件列方程求解.【题目详解】因为直线与圆相切，所以，，，故选D.【题目点拨】本题考查直线与圆的位置关系，通常利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行判断，考查运算能力，属于基本题.7、D【解题分析】试题分析：设圆的方程为，且圆过原点，即，得，所以圆的方程为.故选D.考点：圆的一般方程.8、A【解题分析】

先化简集合，根据交集与并集的概念，即可得出结果。【题目详解】因为，，所以，.故选A【题目点拨】本题主要考查集合的基本运算，熟记概念即可，属于基础题型.9、A【解题分析】

根据平面向量加法及数乘的几何意义，即可求解，得到答案．【题目详解】根据平面向量加法及数乘的几何意义，可得，故选A．【题目点拨】本题主要考查了平面向量的加法法则的应用，其中解答中熟记平面向量的加法法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10、B【解题分析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由，行驶了4小时，这只船的航行速度为海里/小时．【题目点拨】本题为解直角三角形应用题，利用直角三角形边角关系表示出两点间的距离，在用辅助角公式变形求值，最后利用速度公式求出结果.12、1【解题分析】

由题意首先求得数列的公差，然后结合通项公式确定m的值即可.【题目详解】根据题意，设等差数列公差为d，则，又由，，则，，则，解可得；故答案为1．【题目点拨】本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于中等题．13、②③【解题分析】

根据，分当和两种情况分类讨论，每一类中利用正、余弦函数的单调性判断，特别注意，当时，.【题目详解】当时，在上是增函数，因为，所以，因为在上是减函数，且，所以，当时，且，因为在上是减函数，所以，而，所以.故答案为：②③【题目点拨】本题主要考查了正弦函数与余弦函数的单调性在三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14、【解题分析】

将两边平方，化简后利用基本不等式求得的最大值.【题目详解】将两边平方并化简得，由基本不等式得，故，即，即，所以的最大值为.【题目点拨】本小题主要考查平面向量模的运算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.15、512【解题分析】

直接由，可得，这样推下去，再带入等比数列的求和公式即可求得结论。【题目详解】故选C。【题目点拨】利用递推式的特点，反复带入递推式进行计算，发现规律，求出结果，本题是一道中等难度题目。16、【解题分析】

由体积为的一个正方体，棱长为，全面积为，则，，球的体积为，故答案为.考点：正方体与球的表面积及体积的算法.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解题分析】试题分析：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ∥PA，又EQ⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．所以PA∥平面BDE；（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一点M，则FM⊥平面ABCD，进一步利用求得最后利用平行线分线段成比例求出λ的值试题解析：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ∥PA，又EQ⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．所以PA∥平面BDE（Ⅱ）解：依据题意可得：PA=AB=PB=2，取AB中点O，所以PO⊥AB，且又平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一点M，则FM⊥平面ABCD，因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥平面PAB，则△PBC为直角三角形，所以，则直角三角形△ABD的面积为，由FM∥PO得：考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积18、（1）；；（2）0.6【解题分析】

(1)从分数落在,的频率为,人数为2,求出总人数的值,从而求出面试成绩的中位数及分数在,内的人数;(2)用列举法列出所有可能结果,确定其中符合要求的事件,即可求出概率.【题目详解】(1)∵分数落在的频率为,人数为2,∴,故,∵分数在的人数为15人,∴分数在的人数为人,又∵分数在的人数为人,∴分数在的人数为人,面试成绩的中位数为分;(2)由(1)知分数在的有5人,分数在内的有3人,记分数在的5人为1,2,3,4,5号,分数在内的3人为1,2,3号,则从这5人中任选3人的基本事件为:123,124,125,134,135,145,234,235,245,345,共10种方式;其中恰有2人的分数在内的基本事件为:124,125,134,135,234,235,共6种方式,所以所求概率为.【题目点拨】本题考查频率分布直方图和茎叶图的综合应用,考查古典概型的概率求法,属于基础题.19、（1）（2）【解题分析】

（1）依题意可得、，再根据，计算可得；（2）设存在实数，使得，由因为，所以存在实数，使，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；【题目详解】解：（1）因为D是线段AB上靠近B的一个三等分点，所以.因为E是线段AC上靠近A的一个四等分点，所以，所以.因为，所以，则.又，.所以.（2）因为G是线段BC上一点，所以存在实数，使得，则因为，所以存在实数，使，即，整理得解得，故.【题目点拨】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.20、（1）；（2）证明见解析；（3）.【解题分析】

（1）直接带入递推公式即可（2）证明等于一个常数即可。（3）根据（2）的结果即可求出，从而求出。【题目详解】（1），，可得；，；（2）证明：，可得数列为公比为，首项为等比数列，即；（3）由（2）可得，．【题目点拨】本题主要考查了根据通项求数列中的某一项，以及证明是等比数列和求前偶数项和的问题，在这里主要用了分组求和的方法。2