河南省2021届高考数学联考试卷(文科)(3月份)(含答案解析)

河南省2021届高考数学联考试卷（文科）（3月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设全集U=R,集合a={x|y=/gx},B={-2,1},则下列结论正确的是()

A.ACB={-2}B.3)UB=(-8,0)

C.4UB=(0,+oo)D.(CRA)CB={-2}

2.复数告的共复是()

A.3—4iB.g+giC.3+4iD.|-^i

3.函数/'(x)=|as讥2x+cos2x|的最小正周期为()

rrTT

A.iB.7C.nD.27r

42

4.如图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数y=/（%）

的部分图象，则/（x）可能是（）

A.x2cosx

B.xcosx

C.xsinx

D.x2sinx

5.某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为

88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）

A.这种抽样方法是一种分层抽样

B.这种抽样方法是一种系统抽样

C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

6.△ABC中，2asinA=（2b—c）sinB+（2c—b）sinC,则A=（）

7.把函数y=s讥3x的图象向左平移也可以得到的函数为（）

A.y=sin(3x+7)B.y=sin(3x-7)

66

C.y=cos3xD.y=cos(3x+7)

o

8.在密码理论中，“一次一密”的密码体系是理论上安全性最高的.某部队执行特殊任务使用四

个不同的口令db,C,d,每次只能使用其中的一种，且每次都是从上次未使用的三个口令中

等可能地随机选用一种.设第1次使用。口令，那么第5次也使用。口令的概率是()

A—R—Q—D—

"27,243,108■243

9.若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积的数值是它的体积的数值的右则该圆锥的底面

半径为()

A.V3B.2V2C.2V3D.4百

10.已知点P在抛物线V=4x上，点M在圆(x-3)2+(y-I)2=1上，点N坐标为(1,0),则+

|PN|的最小值为()

A.5B.4C.3D.正+1

11.对于任意整数x,y,函数/(%)满足f(x+y)=/(x)+f(y)+xy+l,若f(l)=1,则/(一8)等

于()

A.-1B.1C.19D.43

22

12.11.己知玛、耳是双曲线《-今=1(4>0/>0)的上、下焦点，点玛关于渐近线的对称点恰

ab

好落在以片为圆心，I。&I为半径的圆上，则双曲线的离心率为

A.3B.也C.2D.72

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

(x2+y2<1

13.设。为坐标原点，4(2,1),若点B(x,y)满足上Wx<1,则瓦？•丽的最大值是____.

(0<y<1

14.已知实数a,。满足：a2；,b&R,且a+|b|Wl,则;+b的取值范围是____.

2112a

15.已知函数/(%)=x|x|.当x£[a,a+1]时，不等式f(x+2a)>4f(x)恒成立，则实数。的取值范

围是.

16.已知在一个长、宽、高分别为3a〃、4cm.6c〃?的封闭长方体形状的铁盒中装有两个大小相同的

小钢球，则每个小钢球的最大体积为cm3.(不计铁盒各侧面的厚度)

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.求和：1+2x(1)2+3x(1)3+-...+nx(1)n.

18.2019年的流感来得要比往年更猛烈一些.据四川电视台SC7V-4“新闻现场”播报，近日四川

省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九

千人次以上.这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院.某课外兴趣小组

趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局

与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如

卜资料:

日期1月20日2月20日3月20日4月20日5月20日6月20日

昼夜温差双℃)1011131286

就诊人数y(人

222529261612

)

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方

程，再用被选取的2组数据进行检验.

(1)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y关于x的线性回归

一方程y=bx+a;

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的

线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？

(“生公人八优;瓦二分"一瓦滋-痴丁'a=y-bx)

19.已知直三棱柱中，△ABC为等腰直角三角形，4BAC=

90°,且AB=44i，D,E,尸分别为8通，gC,BC的中点.

(I)求证：直线DE//平面ABC；

(D)求见5与平面ZBiF所成角的正弦值.

20.在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的椭圆C：?+\=1经过点(426),其中e为椭圆C的离

心率.过点7(1,0)作斜率为k(k>0)的直线/交椭圆C于A,8两点(4在x轴下方).

(I)求椭圆C的方程；

(口)过原点。且平行于/的直线交椭圆C于点M,N,求需的值；

(DI)记直线/与y轴的交点为P,若9=|方，求直线/的斜率上

21.设直线/：1y=5x+2是曲线C:/(x)=g/+2x+w的一条切线，g(x)=ax2+2x-25

(1)求切点坐标及制的值；

(2)当weZ时，存在工€［。,也)使/'(x)Wg(x)成立，求实数。的取值范围.

22.在直角坐标系xO.y中，圆C：(x-l)2+y2=l,以。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐

标系.

(I)求圆C的极坐标方程；

(11)直线/的极坐标方程是。(5加。+百(：05。)=38，射线0M：。=W与圆C的交点为O、P,与直

线/的交点为。，求线段P。的长.

23.已知函数/(%)=|x|+|x-2|.

(1)解不等式/'(%)<4；

(2)若不等式7nx+1</(x)(m>0)对于％GR恒成立，求nt的取值范围.

【答案与解析】

1.答案:D

解析：解：全集U=R,集合力={x|y=句行={x|x>0}=(0,+8),

集合B={-2,1},

则4ClB={1},---A错误；

CR4=(-8,0],(CR4)UB=(-8,0]U{1},二8错误；

AUB={-2}U(0,+oo).•,•C错误；

(CR4)nB={-2,二。正确.

故选：D.

化简集合A,根据交集、并集与补集的定义，对选项中的命题判断正误即可.

本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题.

2.答案：B

E+ebji55(341)15-Oi1520i34.

解析：解：577-3+4i)(34i)-(V32+42)2-25-5-51'

所以数白的共复数是|+白.

故选：

利用复除法运算把给出的数化简为a+bi(a,eR的形式，则共轨可求.

本题数代数形式的除算，复的除法，采用分子分母同乘以分母的共桅复数，是础题.

3.答案：B

解析：

本题考查了三角函数的周期性，考查含有字母系数和绝对值的三角函数的最小正周期的求法问题,

是基础题.

讨论a=0和a丰0时，分别求出函数f(x)的最小正周期即可.

解：a=0时，函数/(x)=|cos2x|,最小正周期为7=]；

aR0时，函数/1(x)=\asin2x+cos2x\=|Va2+lsin(2x+。)|=Va2+l|sin(2x+0)|,

其中1加。=，其最小正周期为全

综上，函数f(x)的最小正周期为奈

故选：B.

4.答案：C

解析：解：由函数的图象可知y=f(x)为偶函数，

对于B,/'(%)=xcosx为奇函数，可排除8；

同理，。中/'(%)=/sinx为奇函数，可排除。；

对于A,/(x)=/cosx虽然为偶函数，但其曲线上的点(2兀,4兀2)在直线y=x的右上方，即不在图中

的函数曲线上，故可排除A.

故选：C.

由函数的图象可知y=/(x)为偶函数，可排除8,D,y=f(x)不经过(2兀,4*),可排除A,从而可

得答案.

本体考查函数的图象，着重考查函数的奇偶性的应用，突出排除法的应用，属于中档题.

5.答案：C

解析：解：由题目看不出是抽样方法是分层抽样，故A错；

由题目看不出是系统抽样，故A错；

这五名男生成绩的平均数理=|(86+94+88+92+90)=90,

这五名女生成绩的平均数荏=1(88+93+93+88+93)=91,

故这五名男生成绩的方差为%=|(42+42+22+22+02)=8,

这五名女生成绩的方差为&=|(32+22+22+32+22)=6,

故C正确，。错.

故选：C.

若抽样方法是分层抽样，男生、女生分别抽取6人、4人，由题目看不出是系统抽样，求出这五名男

生成绩的平均数、方差和这五名女生成绩的平均数、方差，由此能求出结果.

本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真题，注意分层抽样、系统抽样、平均数、方差

的性质的合理运用.

6.答案：B

解析：解：由已知，根据正弦定理得：2a2=(2Z?-c)b+(2c-b)c,

即炉+c2—a2=be,

.b2+c2-a21

AcosA=------=-，

0<A<nf

故选：B.

利用正弦定理化简已知的等式，再由余弦定理表示出cosA,将得出的等式变形后代入cosA中，求出

cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；

此题考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

7.答案：C

解析：解：把函数y=sin3x的图象向左平移也可以得到的图象对应函数为y=sin（3x+］）=cos3x,

故选：C.

由题意利用函数、=4$讥（3%+0）的图象变换规律，诱导公式，得出结论.

本题主要考查函数y=As讥3x+3）的图象变换规律，诱导公式，属于基础题.

8.答案：A

解析：解：第1次使用。口令，第二次使用。口令的概率22=0,第三次使用〃口令的概率P3=:，

依此类推，

第四次使用a口令的概率“=c-m，

第五次使用a口令的概率P5=（1一|）彳=捺，

故选：A

由题意可得，第〃次也使用。口令的概率以+1=%［，且「2=0,「3=/以此类推可得第5次也

使用。口令的概率「5的值.

本题主要考查等可能事件的概率，得到第"次也使用。口令的概率%+1=6［，是解题的关键，属

于中档题.

9.答案:D

解析：

本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的侧面积公式和体积公式，是解答的关键，是基础题.

根据已知中侧面积和它的体积的数值相等，构造关于/■的方程，解得答案.

解：设圆锥的底面半径为r,则母线长为2r,

则圆锥的高/1=V3r,

:侧面积的数值是它的体积的数值的条

二由题意得：7ir-2r=|x-V3r,

解得：r=4V3-

故选：D.

10.答案：C

解：•••抛物线y2=4x的焦点为N（l，0），

•••当|PM|+|PN|的最小值等于M点到准x=-l的距离，

解析：点在图（x-3）2+（y_1）2=1上，

点到准x=-l的距离d等于图心（3,1）到准线的距离4澈半径1，即d=4-l=3,

故选：C

11.答案：C

解析：解：令x=1y=0

因为f。+y)=/(y)+f(x)+xy+l,若/(l)=1

所以f(1+0)=f(0)+/(l)+0+1=1

所以-。)=一1

因为f(0)=/(-l+1)=/(-l)+/(l)-1+1=-1

所以f(—1)=-2

所以-2)=/(-l-1)=/(-l)+/(-l)+1+1=-2-2+1+1=-2

/(-4)=/(-2-2)=/(-2)+/(-2)+4+1=-2-24-4+1=1

/(—8)=/(-4-4)=/(-4)+/(-4)+16+1=1+1+16+1=19

故选C

分别令等式中的x,y取1,0求出f（0）；令X,y分别取一1,1求出/（一1）；令x=y=-1求出/（一2）；

令x=y=-2/（-4）；令x=y=-4求出/'（-8）.

本题考查求抽象函数的特殊的函数值常用的方法是赋值法.

12.答案：C

设用关于渐近线的对称点为尸，鸟尸的中点为“，连接。忆尸耳，则OA/LP0

PF、=c，点R到渐近线的距离d=J0d=b,

解析::.PR_PF】，又力石外|=2c，

•yla2+b2

.,.(2cr=c，+(26户即c，=4a?'0=2,故选C.

13.答案：V5

作出可行域如图,

由图可知，当直线z=2x+y与平面区域切于冬时，z有最大值.

由坐标原点。(0,0)到直线2x+y-z=。的距离为1,得

果=1,解得z=O

故答案为：V5.

由约束条件作出可行域，利用数量积的坐标表示得到线性约束条件，由点到直线的距离公式求得答

案.

本题考查简单的线性规划，考查了平面向量的数量积运算，体现了数学转化思想方法，是中档题.

14.答案：[&―1,|]

解析：解：由题意作平面区域如下,

当a+b=1时，/+b才有可能取到最大值,

当a-b=1时，/+b才有可能取到最小值，

即工+a-1>2—-1=V2-1,

2a2

(当且仅当以=a,即a=4时，等号成立)，

结合图象可知，

或+b的取值范围是阳一1,|].

由题意作平面区域，结合图象可知，关键求当a+b=l时和当a-b=l时的最值，从而解得.

本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想方法应用，同时考查了分类讨论的思想应用.

15.答案：(L+8)

解析：解：・•・y=|x|为偶函数，y=x为奇函数

•••/(X)=奇函数

当%>。时，f(x)=/为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得

函数f(x)在R上增函数

又•.•不等式/(x+2a)>4f(x)可化为(x+2d)\x+2a\>4x-\x\=2x-\2x\=/(2x)

故当x€[a,a+1]时,不等式/(尤+2a)>4f(x)恒成立，

即当xC[a,a+1]时，不等式x+2a>2x恒成立

即x<2a恒成立

即a+1<2a

解得a>1

故实数a的取值范围是(1,+8)

故答案为：(1,+8)

根据已知函数的解析式易判断出函数的奇偶性及单调性，结合单调性可将不等式/"(x+2a)>4/(x)

可化为x+2a>2x,将恒成立问题转化为最值问题后，易得答案.

本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，恒成立问题，其中分析出函数的单调性并将

不等式f(x+2a)>4/Q)可化为x+2a>2x是解答的关键.

16.答案：y

解析：解：由题意，每个小钢球的最大半径为r=|cm.

439

X3

兀

-兀-=-

每个小钢球的最大体积为N322

故答案为：—■

由题意可得，每个小钢球的最大半径为r=代入球的面积公式得答案.

本题考查球的表面积与体积，是基础的计算题.

17.答案：解：令&=1x3+2x(；)2+3x+...…+nx

所以［Sn=1x(》2+2x(|)3+…+nx(|)n+1@,

2+1

①一②得：|sn=i+(1)+-+(i)«-nx-nX(1)",

2

所以Sn=2—答.

解析：直接利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和.

本题考查的知识要点：数列的求和公式的应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查

学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

18.答案：解：(1)由表中2月至5月份的数据，

得以=；(11+13+12+8)=r=11，亍=；(25+29+26+16)=*=24,

故有£；=2(/一x)(y(—y)=0xl+2x5+lx2+(—3)x(—8)=36,

2M2(々一X)2=02+22+12+(一3)2=14.

由参考公式得b=*由a=1_b或得;=一日，

即y关于x的线性回归方程;=/,x+a=-x---

(2)由1月份数据得当x=10时，C=£x10--=—•

,777

■150«Q।4,今

|—-22|=-<2,

由6月份数据得当x=6时，；=目乂6-丑=学.

z777

22|=与<2,

则该小组所得线性回归方程是理想的.

解析：(1)根据数据求出3亍以及*a的值，即可求出>关于x的线性回归方程;=bx+a；

(2)分别计算出1月份和6月份对应的预测值，和22作差，进行比较即可得到结论.

本题主要考查线性回归方程的求解，根据条件求出3亍以及匕，a的值是解决本题的关键.考查学生

的运算能力.

19.答案：证明：（I）取44中点0,连结DO,EO,

•：D,E,F分别为8遇，CC8c的中点.

DO//AB,EO//AC,

vDOC\EO=0,ABOAC=A,

平面DEO〃平面ABC,

vDEu平面OEO,.•.直线DE〃平面ABC.

解：（II）以点A为坐标原点，AB,AC,彳国的方向为x,

y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，

设4B=2,则当(2,0,2),E(0,2,1),4(0,0,0),尸(1,1,0),

O=(-2,2，T)，福=(2,0,2),AF=(1,1,0),

设平面ABiF的法向量元=(x,y,z),

则?丝i=2x+2z=0,取“I,得平面41尸的法向量元=(1,—1,一1)，

设当£1与平面AB1尸所成的角为0,

则s讥。=剧=磊邛

故/E与平面48#所成角的正弦值为圣

解析：（1）取44中点。，连结。O,EO,推导出平面DE。〃平面ABC,由此能证明直线DE〃平面

ABC.

（口）以点A为坐标原点，AB,AC,丽t的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向

量法能求出B]E与平面4/F所成角的正弦值.

本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关

系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

20.答案：解：（1）因为椭圆椭圆C：9+'=1经过点（瓦2e）所以?+誓=1.

因为e2=£^=J,所以1+g=i,

a2882b2

又=82+。2,9+=],解得/=4或/=8（舍去）.

所以椭圆C的方程为=+t=l.

84

(2)设4(%i，%),S(x2)y2).

因为T(1,O),则直线/的方程为y=k(x—l).

y—k(x—1)

联立直线/与椭圆方程/，必，，消去y,得(2/+l)x2-4k2x+2k2-8=0,

(T+T=1

所以与+小;黑，与不=装?.

因为MN〃1,所以直线MN方程为y=kx,

y=kx

x2,y21

1=1

{8--4

消去y得(2/+1)/=8,

解得心六

因为MN〃/,所以普=*猊

因为(1一打)•(x2-1)=~[X1X2-(X1+X2)+1]=马不

2

QM-XN)2=4x=费不

竺史=比泣经二2=1

n'MN2如-项)232-

(3)在y=k(x-l)中，令x=0,则y=f,所以P(0,-k),

从而而=(-x^-k-y^,TB=(x2-1,72)1

"AP=|Tfi,-%I=|(x2-1),即与+|%2=|…①

,4kz

“1+#2=赤!

由(2)知2k2-8…②

与冷=诉

-41+2_16k2-2

由①②得%=3(2fc2+l)，%2~~3(2上2+1)

代入X1g=寨=50/C4-83k2-34=0,解得1=2或修=一半舍).

又因为k>0,所以k=鱼….(16分)

解析：⑴由题意得e2='=q,?+篝=1.又a?=。2+02,9+禁=i,解得廿；

(2)设4Qi，yi),8(小/2).设直线/的方程为丁=k(x-1).

y=k（x—1）

联立直线/与椭圆方程/好，消去），，得（21+1）/一4卜2%+2々2-8=0,可设直线仞7

--1---=1

\84

（y=kx

方程为y=kx,联立直线MN与椭圆方程^=，消去y得（2上2+1）X2=8,由MN〃/,得需=

184—

（1一久1）.（。2-1）

2

（XM-XN）

2

由（1一匕）•（&-1）=一%%2-&+%2）+1]=募7•得（XM-XNy=4x=即可.

（3）在丫=k（x-1）中，令x=0,则丫=一上，所以P（0,-k）,从而而=（一看,一上一%）,用=（0一

（=4k2

1/2），由而=|汴得f=|（&_1）,即Xl+|“2=|…①，由⑵知广x+x"2/片1••②由①②

91％2=许

得刈=湍？“2=忘=50^-83^-34=0,解得小

本题考查了椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、向量运算、分析问题处理问题的能力，对运算能

力的要求较高，属于难题.

21.答案：解析：（1）设直线誉与曲线烈相切于点，翼挺3建。

舞域=嫄一轴'朴勤.•城8—富粒带爆=5.解得孙:=/或鼻=拿

代入直线声方程，得切点承坐标为G2-期或鳏，顼

1

；“切点1P在曲线。匕.♦.懈=，或蹴!=11

整

综上可知，切点，翼：-1「霸，懈=」或者切点舞*1懒，

3

*110

⑵•喙।图登.•.啾i=；n，设渴崎=频礴-或携=一点一◎,朴礴/北鳏，

若存在■帆器磅使.猴炉道磁成立，则只要凝磁晶，三颐,

播《,磁=--胤1#哦冢=砒君,一虱1S:礴]，

①当：!怦谢=做即谢=—3时

澈:璘=,/我©,减磷:是增函数，微遍（如=宣＞@不合题意,

②若R带领1注醐即-1

令凝,磁,得累:洲野年蹴或a•--：颍域:在£窝11样瞰N唠上是增函数，

令麴喊三酬解得财整留需哪一••减港在巡鹭竹巡|上是减函数，

二微礴岫=题胤好噬，令趣第1k磁空邮，解得躅也翦，

③若3注谢3：陋即*：T，

令领域海询，解得,热«：箕1不瞰砺力冲或，

"公黜时暴礴，二爽域:在引#燧》上是增函数，

二瞄岫=雌翎除三明不等式无解，;僦不存在，

综上可得，实数:谢的取值范围为|［齐四.

解析：(1)先设切点翼忠谶或，然后依题意计算出/龄或，由翼。球=您，计算出切点的横坐标，代

入切线的方程，可得切点的纵坐标，最后再将切点的坐标代入曲线c的方程计算得胸的值；

(2)结合(1)中求出的幼，确定懒=：门，设缠檄=典礴-域域，然后将存在富㈣厕d