七年级数学（第四章 直线与角）4.5 角的比较与补（余）角（沪科版 学习、上课资料）

4.5角的比较与补（余）角第四章直线与角逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2角的大小比较角的和、差角平分线补角和余角余角、补角的性质知1－讲感悟新知知识点角的大小比较11.度量法用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.2.叠合法把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条合在一起，另一边放在重合边的同一侧，再通过比较另一条边的位置来比较两个角的大小，如图4.5－1.感悟新知知1－讲使用叠合法比较角的大小时要注意两点：(1)重合，即顶点重合，一条边重合；(2)同侧，即另一条边放在重合边的同一侧.感悟新知知1－讲特别解读角的大小可以从数、形两个角度进行比较：(1)“数”的角度：角的大小和角的度数大小一致，比较其度数大小可得角的大小.(2)“形”的角度：角的开口越大角越大，可以通过直接观察比较角的大小，但不够精准，一般利用叠合法操作.知1－练感悟新知[月考·河北]如图4.5-2，∠AOC=90°，比较∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE

的大小，并指明其中的锐角、直角、钝角及平角.例1知1－练感悟新知解题秘方：利用角的大小的两种比较方法比较角的大小.解：∠AOB<∠AOC<∠AOD<∠AOE.又因为∠AOC=90°，所以∠AOB是锐角，∠AOC

是直角，∠AOD是钝角，∠AOE

是平角.感悟新知方法点拨角的两种比较大小的方法：叠合法是比较直观的方法，可直接从“形”的位置判断角的大小关系；度量法具体准确，若两个角大小较接近时，则用度量法，从“数”的大小来比较角的大小.知1－练感悟新知知2－讲知识点角的和、差2设有两个角∠1和∠2

(∠1>∠2)，如图4.5－3①.把∠2移到∠1上，使它们的顶点重合，一条边重合.(1)

两角的和：当∠2在∠1的外部时，它们的另一边(非重合的边)所成的角就是它们的和，记作：∠BAC=∠1+∠2，如图4.5－3②.感悟新知知2－讲(2)

两角的差：当∠2在∠1的内部时，它们的另一边(非重合的边)所成的角就是它们的差，记作：∠GEH=∠1－∠2，如图4.5－3③.知2－讲感悟新知特别提醒1.两个角的和或差，仍然是一个角，角的和或差的度数，就是它们度数的和或差

.2.在计算两个角的和或差时要将度与度、分与分、秒与秒分别相加或相减，分、秒相加时逢60要进位，相减时要借1当60.感悟新知知2－练如图4.5-4，回答下列问题.(1)

∠AOC

是哪两个角的和？(2)

∠AOB是哪两个角的差？(3)

如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC与∠DOB相等吗？例2

感悟新知方法点拨1.在图形中角与角之间的位置关系直接反映了它们的数量关系.2.表示角的和差关系时可以用等式的基本性质，即相等的角同时加(或减)同一个角，所得的和(或差)仍然相等.知2－练知2－练感悟新知解题秘方：根据图中角的位置得到角的和差关系.解：(1)∠AOC=∠AOB+∠BOC.(2)∠AOB=∠AOD－∠BOD=∠AOC－∠BOC.(3)因为∠AOB=∠COD，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠DOB.感悟新知知2－练

例3感悟新知方法点拨在无图的题中，画图时切记要考虑图形可能出现的各种情形，分类讨论求解.(2)题分OD

在∠AOB内部和外部两种情况.知2－练知2－练感悟新知解题秘方：本题角的计算中，掌握角的特点及比例的意义是解决问题的关键.

知2－练感悟新知

知2－练感悟新知

感悟新知知3－讲知识点角平分线31.角的平分线在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.感悟新知知3－讲

感悟新知知3－讲2.角的n

等分线类似角的平分线，在角的内部，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n

个角，这样的射线叫做角的n

等分线，例如角的三等分线、四等分线等.知3－讲感悟新知特别解读角平分线的“三要素”：(1)是从角的顶点引出的射线；(2)在角的内部；(3)将已知角平分.角的平分线只有一条，而角的n等分线有(n－1)条.感悟新知知3－练已知∠AOB=90°，(1)如图4.5-9①，OE，OD

分别平分∠AOB

和∠BOC，若∠EOD=64°，则∠BOC=________；(2)如图4.5-9②，OE，OD

分别平分∠AOC

和∠BOC，若∠BOC=40°，则∠EOD

的度数是________

.例4

知3－练感悟新知解法提醒1.利用角平分线的定义进行计算时，要灵活运用角平分线的几种不同的表示方法.2.在计算角的大小时，常常要用到等量代换，用已知角代替与它相等的未知角.感悟新知知3－练解题秘方：根据角平分线的定义及角的和差关系求解即可.

知3－练感悟新知

知3－练感悟新知

答案：(1)38°(2)45°感悟新知知3－练如图4.5-10，O为直线AB

上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°.(1)

求∠BOD的度数；(2)

小明发现OE

平分∠BOC，请你通过计算说明理由.例5感悟新知知3－练解题秘方：(1)利用∠BOD=∠BOC+∠DOC求解即可；(2)分别求出∠COE

和∠BOE的度数即可.知3－练感悟新知

知3－练感悟新知(2)因为∠DOE=90°，∠DOC=25°，所以∠COE=∠DOE－∠DOC=90°－25°=65°.又因为∠BOE=∠BOD－∠DOE=155°－90°=65°，所以∠COE=∠BOE，即OE

平分∠BOC.知3－练感悟新知

知4－讲感悟新知知识点补角和余角41.补角如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角(简称互补)，即其中一个角是另一个角的补角.感悟新知数学语言：如果∠3+∠4=180°，就说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，∠3与∠4互为补角，如图4.5-11.知4－讲感悟新知2.余角如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角(简称互余)，即其中一个角是另一个角的余角.数学语言：如果∠1+∠2=90°，就说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，∠1与∠2互为余角，如图4.5-12.知4－讲感悟新知3.一个角的余角(或补角)可以有多个，但它们的度数是相等的，互余、互补是指具有一定数量关系的两个角.知4－讲感悟新知知4－讲特别解读1.互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的.2.若两个角互余，则两个角都是锐角；若两个角互补，则两个角可能都是直角，也可能一个角是锐角，另一个角是钝角.3.互余、互补只与数量有关，与位置无关.若将直角分成两个角，则这两个角互余；若将平角分成两个角，则这两个角互补.感悟新知知4－练[月考·滨州]已知一个角的补角的一半比这个角小30°，求这个角的余角．例6

解题秘方：根据互补的两个角的和等于180°，用这个角表示出它的补角，然后根据题意列出方程求解即可．感悟新知方法点拨互余和互补揭示的是两个角之间的数量关系：一个锐角∠α的余角为(90°－∠α)，补角为(180°－∠α).知4－练知4－练感悟新知

知4－练感悟新知如图4.5－13，点O为直线AB上一点，∠AOC=∠DOE=90°.例7解题秘方：由已知条件，结合互为余角、互为补角的定义解答.知4－练感悟新知方法点拨从图形中找互余或互补的角，可从两个方面进行：一个方面从角的度数入手，和为90°互余，和为180°互补；另一个方面从整体入手，直角分成的两个角互余，平角分成的两个角互补.知4－练感悟新知(1)图中互余的角有几对？各是哪些？解：因为点O

为直线AB上一点，所以∠BOC+∠AOC=180°.因为∠AOC=∠DOE=90°，所以∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∠1+∠4=180°－∠DOE=90°，∠3+∠4=∠BOC=180°－∠AOC=180°－90°=90°，所以图中互余的角有4对，分别是∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4.知4－练感悟新知(2)图中互补的角有几对？各是哪些？解：由已知得，∠1+∠BOD=180°，∠4+∠AOE=180°，由(1)可知∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠BOD=180°，∠2+∠AOE=180°.又因为∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC+∠DOE=180°，∠DOE+∠BOC=180°，知4－练感悟新知详解因为∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1=90°－∠2，∠3=90°－∠2.所以∠1=∠3.因为∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，所以∠2=90°－∠3，∠4=90°－∠3.所以∠2=∠4.知4－练感悟新知所以图中互补的角有7对，分别是∠1和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD，∠2和∠AOE，∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠DOE，∠DOE

和∠BOC.感悟新知知5－讲知识点余角、补角的性质51.余角的性质(1)同角的余角相等.如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3.(2)等角的余角相等.如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4.感悟新知知5－讲2.补角的性质(1)同角的补角相等.如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，那么∠2=∠3.(2)等角的补角相等.如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4.知5－讲感悟新知特别提醒1.如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角.2.“同角”指同一