2024届江苏省泰州市靖江市高三上学期期中数学试题（解析版）

PAGEPAGE3江苏省泰州市靖江市2024届高三上学期期中数学试题一、单项选择题1.已知复数z满足（其中为虚数单位），则（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】因为，所以，即，所以.故选：B2.若,，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得,则，由可得，所以，，则，，，故选：A.3.设是等差数列的前n项和，若，，则（）A.8 B.16 C.20 D.24【答案】D【解析】设公差为，则由，得，，解得，所以，故选：D.4.已知函数是奇函数，则实数（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由题知为奇函数，所以得：，即：，解之得：，故D项正确.故选：D5.命题p：“存在，使得.”成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知：，解之得：，所以：命题成立，只需：，故的取值范围为：，故选项A正确.故选：A.6.关于函数（，），有下列四个结论：①函数的一条对称轴是；②函数的周期；③函数一个对称中心是；④函数的图象经过点.若其中有且只有一个结论错误，则该错误结论的序号可以是（）A.①或② B.①或③ C.②或③ D.③或④【答案】B【解析】由题意得四个结论中有且只有一个结论错误，所以可以先假设每个结论都是正确的，然后再分别去验证每个结论的结果，当①结论正确时：需满足：，；当②结论正确时：需满足：；当③结论正确时：需满足：，；当④结论正确时：需满足：，即或；从四个结论都正确时：可以看出结论①和结论③正确与否都与，有关，又因为四个结论中有且只有一个错误，所以结论②和结论④都正确，所以得：结论④正确时有和两种可能：当时：对于结论③有：，故③结论正确，对于结论①有：，，故①结论错误，故此时：②③④结论正确，①结论错误，满足题意；当时：对于结论③有：，，故③结论错误，对于结论①有：，故①结论正确，此时：①②④结论正确，③结论错误，满足题意；综上所述：结论错误的为①或③.故选：B.7.如图，在平面图形ABCD中，，.若，，则（）A. B.3 C.9 D.13【答案】C【解析】由题意易知，则，过作于，所以，，所以，不妨设，则，故.故选：C8.已知，，，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，记，则，令，则，单调递增，所以，当时，，即，又时，，所以，故，所以，故当时，，单调递增，所以，即，即.记，则，即，则，当时，，单调递增，又，所以，即，单调递增，又，所以，即.综上，.故选：B.二、多项选择题9.下列说法正确的有（）A.已知，，若，则或B.已知，满足，则或C.已知，，，若，且，则D.已知，，满足且，则【答案】AC【解析】设，则，所以，由于，故若，，所以或，故或，A正确，当，为非零向量时，满足时，，故B错误，若，则，由于，由A选项可知，故C正确，由得，且，则或者，故D错误，故选：AC10.在数列中，若（其中n，，且，p为常数），则称数列为k级等积数列，p为数列的公积.下列对“k级等积数列”的判断，其中正确的有（）A.数列是2级等积数列B.数列是4级等积数列C.若为k级等积数列，则也是k级等积数列D.若为k级等积数列，则也是k级等积数列【答案】AD【解析】对于A，因为，所以数列是2级等积数列，故A正确；对于B，设，若要数列是4级等积数列，则只需，但，矛盾，故B选项错误；对于C，由题意若为k级等积数列，当且仅当，即或，所以不一定是k级等积数列，故C错误；对于D，由题意若为k级等积数列，当且仅当，从而，所以也是k级等积数列，故D正确.故选：AD.11.已知函数，则（）A.函数在处的切线方程为 B.函数有两个零点C.函数的极大值点在区间内 D.函数在上单调递减【答案】ACD【解析】由得，所以，又,所以函数在处的切线方程为，即，所以A正确；令，显然在上单调递减，且，，所以存在使得，即，则在上单调递增，在上单调递减，所以在处有极大值，极大值点，所以C正确；因为，所以函数在上单调递减，所以D正确因为，函数在上单调递增，所以在上，函数有一个零点，因为，所以当时，，所以函数在上无零点，所以函数只有一个零点，所以B错误.故选：ACD12已知，，且，则（）A.的最大值是16 B.的最小值为128C.的最小值为10 D.的最小值为【答案】BD【解析】因为，，且，所以，解得，当且仅当时等号成立，故A错误；因为，由A选项分析可知，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；因为，，且，所以，所以，等号成立当且仅当，故C错误；因为，且，所以不妨令，因为，所以单调递增，所以，从而，等号成立当且仅当.故选：BD.三、填空题13.已知，满足，，则____________.【答案】【解析】由题意，从而，又因为，所以，所以，所以.故答案为：.14.若，则实数_______.【答案】【解析】由题意得：左式，右式，又因为：左式右式，故：.故答案为：.15.已知正数x，y满足，，则的值为____________.【答案】9【解析】由可得，由于函数均为上的单调递增函数，且恒为正，所以为上的单调增函数，由于，所以，故，故答案：916.请写出一个同时满足下列三个条件的等差数列的通项公式____________.①；②对任意的n，，都有；③给定，对任意的，都有.【答案】（答案不唯一）【解析】设公差为，则由可得，解得，由于，所以,故，故单调递增，由于，所以，故，故，由于，且单调递增，所以不妨取，则任意的，均满足，所以故答案为：（答案不唯一）四、解答题17.已知数列满足：，.请从①；②中选出一个条件，补充到上面的横线上，并解答下面的问题：（1）求数列的通项公式；（2）设，证明：.（1）解：若选①，则由同除以得，，所以数列为公差为1，首项为的等差数列，故，故，若选②，则由得，所以为公差为2，首项为3的等差数列，故，故（2）证明：由（1）知，所以，，，故18.已知，，其中.（1）求的值；（2）设函数，当且时，求的值.解：（1）由题意可知：，，又，所以，所以，因为，所以；（2）由上可知，易知，又，所以，故19.已知函数，（）.（1）讨论的单调性；（2）若对任意的，都有成立，求实数a的取值范围.解：（1）的定义域为R，，当时，恒成立，故单调递增，当时，，令，可得或，令，可得，故在，上单调递增，在上单调递减，当时，，令，可得或，令，可得，故在，上单调递增，在上单调递减，综上：当时，单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；（2）对任意的，都有，即，令，，故在上单调递增，则在恒成立，令，则恒成立，对称轴为，要想在上恒成立，需要满足，解得，解得，此时对称轴在左侧，在上单调递增，故在上恒成立，故实数a的取值范围为.20.在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知.（1）求角A的大小；（2）若，求面积S的取值范围.解：（1）因为，所以，整理得，所以，又，所以.（2）因为为锐角三角形，所以，解得，所以，由正弦定理可得，则，因为，所以，所以，即面积S取值范围为.21.已知数列的各项均为正数，给定正整数k，若对任意的且，都有成立，则称数列具有性质.（1）若数列具有性质，且，，求数列的通项公式；（2）若数列既具有性质，又具有性质；证明：数列是等比数列.（1）解：由于数列具有性质，所以对于，由，所以数列为等比数列，设公比为，由于，，所以，由于数列的各项均为正数，则，所以（2）证明：由于数列既具有性质，则对任意的且，由，故对任意的且，得，对任意的且，得，故，①又数列既具有性质，则对任意的且，由，②由①②可得由于，所以对任意的且均成立，故数列从第三项起，成等比数列，设公比为，在中取得，在中取得故数列为等比数列，且共比为22.已知函数和的图象在处的切线互相垂直.（1）求实数a的值；（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围；（3）设，证明：.（1）解：由题意，因为函数和的图象在处的切线互相垂直，所以，解得，即实数a的值为1.（2）证明：由题意当时，不等式即恒成立，所以当时，即恒成立，不妨设，则，所以，分以下三种情形来讨论，情形一：当时，有，即此时在上单调递增，从而有，满足题意；情形二：当即时，，即此时在上单调递增，从而有，满足题意；情形三：当即时，不妨令，解得，当或时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，所以当时，单调递减，从而，但这与恒成立矛盾，不符题意.综上所述：符合题意的实数m的取值范围为.（3）解：由于，从而要证，只需，令，所以，从而只需证明，由（2）可知，当时，恒成立，故取可得恒成立，令，可得，所以有，综上所述：.江苏省泰州市靖江市2024届高三上学期期中数学试题一、单项选择题1.已知复数z满足（其中为虚数单位），则（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】因为，所以，即，所以.故选：B2.若,，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得,则，由可得，所以，，则，，，故选：A.3.设是等差数列的前n项和，若，，则（）A.8 B.16 C.20 D.24【答案】D【解析】设公差为，则由，得，，解得，所以，故选：D.4.已知函数是奇函数，则实数（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由题知为奇函数，所以得：，即：，解之得：，故D项正确.故选：D5.命题p：“存在，使得.”成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知：，解之得：，所以：命题成立，只需：，故的取值范围为：，故选项A正确.故选：A.6.关于函数（，），有下列四个结论：①函数的一条对称轴是；②函数的周期；③函数一个对称中心是；④函数的图象经过点.若其中有且只有一个结论错误，则该错误结论的序号可以是（）A.①或② B.①或③ C.②或③ D.③或④【答案】B【解析】由题意得四个结论中有且只有一个结论错误，所以可以先假设每个结论都是正确的，然后再分别去验证每个结论的结果，当①结论正确时：需满足：，；当②结论正确时：需满足：；当③结论正确时：需满足：，；当④结论正确时：需满足：，即或；从四个结论都正确时：可以看出结论①和结论③正确与否都与，有关，又因为四个结论中有且只有一个错误，所以结论②和结论④都正确，所以得：结论④正确时有和两种可能：当时：对于结论③有：，故③结论正确，对于结论①有：，，故①结论错误，故此时：②③④结论正确，①结论错误，满足题意；当时：对于结论③有：，，故③结论错误，对于结论①有：，故①结论正确，此时：①②④结论正确，③结论错误，满足题意；综上所述：结论错误的为①或③.故选：B.7.如图，在平面图形ABCD中，，.若，，则（）A. B.3 C.9 D.13【答案】C【解析】由题意易知，则，过作于，所以，，所以，不妨设，则，故.故选：C8.已知，，，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，记，则，令，则，单调递增，所以，当时，，即，又时，，所以，故，所以，故当时，，单调递增，所以，即，即.记，则，即，则，当时，，单调递增，又，所以，即，单调递增，又，所以，即.综上，.故选：B.二、多项选择题9.下列说法正确的有（）A.已知，，若，则或B.已知，满足，则或C.已知，，，若，且，则D.已知，，满足且，则【答案】AC【解析】设，则，所以，由于，故若，，所以或，故或，A正确，当，为非零向量时，满足时，，故B错误，若，则，由于，由A选项可知，故C正确，由得，且，则或者，故D错误，故选：AC10.在数列中，若（其中n，，且，p为常数），则称数列为k级等积数列，p为数列的公积.下列对“k级等积数列”的判断，其中正确的有（）A.数列是2级等积数列B.数列是4级等积数列C.若为k级等积数列，则也是k级等积数列D.若为k级等积数列，则也是k级等积数列【答案】AD【解析】对于A，因为，所以数列是2级等积数列，故A正确；对于B，设，若要数列是4级等积数列，则只需，但，矛盾，故B选项错误；对于C，由题意若为k级等积数列，当且仅当，即或，所以不一定是k级等积数列，故C错误；对于D，由题意若为k级等积数列，当且仅当，从而，所以也是k级等积数列，故D正确.故选：AD.11.已知函数，则（）A.函数在处的切线方程为 B.函数有两个零点C.函数的极大值点在区间内 D.函数在上单调递减【答案】ACD【解析】由得，所以，又,所以函数在处的切线方程为，即，所以A正确；令，显然在上单调递减，且，，所以存在使得，即，则在上单调递增，在上单调递减，所以在处有极大值，极大值点，所以C正确；因为，所以函数在上单调递减，所以D正确因为，函数在上单调递增，所以在上，函数有一个零点，因为，所以当时，，所以函数在上无零点，所以函数只有一个零点，所以B错误.故选：ACD12已知，，且，则（）A.的最大值是16 B.的最小值为128C.的最小值为10 D.的最小值为【答案】BD【解析】因为，，且，所以，解得，当且仅当时等号成立，故A错误；因为，由A选项分析可知，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；因为，，且，所以，所以，等号成立当且仅当，故C错误；因为，且，所以不妨令，因为，所以单调递增，所以，从而，等号成立当且仅当.故选：BD.三、填空题13.已知，满足，，则____________.【答案】【解析】由题意，从而，又因为，所以，所以，所以.故答案为：.14.若，则实数_______.【答案】【解析】由题意得：左式，右式，又因为：左式右式，故：.故答案为：.15.已知正数x，y满足，，则的值为____________.【答案】9【解析】由可得，由于函数均为上的单调递增函数，且恒为正，所以为上的单调增函数，由于，所以，故，故答案：916.请写出一个同时满足下列三个条件的等差数列的通项公式____________.①；②对任意的n，，都有；③给定，对任意的，都有.【答案】（答案不唯一）【解析】设公差为，则由可得，解得，由于，所以,故，故单调递增，由于，所以，故，故，由于，且单调递增，所以不妨取，则任意的，均满足，所以故答案为：（答案不唯一）四、解答题17.已知数列满足：，.请从①；②中选出一个条件，补充到上面的横线上，并解答下面的问题：（1）求数列的通项公式；（2）设，证明：.（1）解：若选①，则由同除以得，，所以数列为公差为1，首项为的等差数列，故，故，若选②，则由得，所以为公差为2，首项为3的等差数列，故，故（2）证明：由（1）知，所以，，，故18.已知，，其中.（1）求的值；（2）设函数，当且时，求的值.解：（1）由题意可知：，，又，所以，所以，因为，所以；（2）由上可知，易知，又，所以，故19.已知函数，（）.（1）讨论的单调性；（2）若对任意的，都有成立，求实数a的取值范围.解：（1）的定义域为R，，当时，恒成立，故单调递增，当时，，令，可得或，令，可得，故在，上单调递增，在上单调递减，当时，，令，可得或，令，可得，故在，上单调递增，在上单调递减，综上：当时，单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；（2）对任意的，都有，即，令，，故在上单调递增，则在恒成立，令，则恒成立，对称轴为，要想在上恒成立，需要满足，解得，解得，此时对称轴在左侧，在上单调递增，故在上恒成立，故实数a的取值范围为.20.在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知.（1）求角