河北省沧州市示范名校2024届数学高一第二学期期末监测试题含解析

河北省沧州市示范名校2024届数学高一第二学期期末监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．是()A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数2．如图，已知正三棱柱的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（）cm．A．12 B．13 C．14 D．153．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A． B． C．10 D．4．的值为（）A．1 B． C． D．5．点M(4，m）关于点N（n,－3）的对称点为P（6，-9）则（）A．m＝－3,n＝10 B．m＝3,n＝10C．m＝－3,n＝5 D．m=3,n=56．圆的圆心坐标和半径分别为（）A． B． C． D．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．10 B．20 C．30 D．608．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的部分图象大致是（）A． B．C． D．9．若实数x，y满足，则z＝x+y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．510．为等差数列的前项和，且，．记，其中表示不超过的最大整数，如，．数列的前项和为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知数列的首项，，.若对任意，都有恒成立，则的取值范围是_____12．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______.13．在中，角的对边分别为，且面积为，则面积的最大值为_____．14．已知等比数列an中，a3=2，a15．若在上是减函数，则的取值范围为______.16．已知圆上有两个点到直线的距离为3，则半径的取值范围是________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，已知是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且，，F是BE的中点，求证：（1）平面ABC；（2）平面EDB.（3）求几何体的体积.18．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．19．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.20．数列中，，.（1）求证：数列为等差数列，求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，求证：.21．定义：对于任意，满足条件且（是与无关的常数）的无穷数列称为数列.（1）若，证明：数列是数列；（2）设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围；（3）设数列，若数列是数列，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

将函数化为的形式后再进行判断便可得到结论．【题目详解】由题意得，∵，且函数的最小正周期为，∴函数时最小正周期为的偶函数．故选A．【题目点拨】判断函数最小正周期时，需要把函数的解析式化为或的形式，然后利用公式求解即可得到周期．2、B【解题分析】

将三棱柱的侧面展开，得到棱柱的侧面展开图，利用矩形的对角线长，即可求解．【题目详解】将正三棱柱沿侧棱展开两次，得到棱柱的侧面展开图，如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值，由已知求得的长等于，宽等于，由勾股定理得，故选B．【题目点拨】本题主要考查了棱柱的结构特征，以及棱柱的侧面展开图的应用，着重考查了空间想象能力，以及转化思想的应用，属于基础题．3、B【解题分析】

由三视图可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1．再由正四棱台体积公式求解．【题目详解】由三视图可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1，所以，，∴该正四棱台的体积.故选：B．【题目点拨】本题考查由三视图求正四棱台的体积，关键是由三视图判断出原几何体的形状，属于基础题．4、A【解题分析】

利用诱导公式将转化到，然后直接计算出结果即可.【题目详解】因为，所以.故选：A.【题目点拨】本题考查正切诱导公式的简单运用，难度较易.注意：.5、D【解题分析】因为点M，P关于点N对称，所以由中点坐标公式可知.6、B【解题分析】

根据圆的标准方程形式直接确定出圆心和半径.【题目详解】因为圆的方程为：，所以圆心为，半径，故选：B.【题目点拨】本题考查给定圆的方程判断圆心和半径，难度较易.圆的标准方程为，其中圆心是，半径是.7、B【解题分析】

由三视图可知几何体为四棱锥，利用四棱锥体积公式可求得结果.【题目详解】由三视图可知，该几何体为底面为长为，宽为的长方形，高为的四棱锥四棱锥体积本题正确选项：【题目点拨】本题考查根据三视图求解几何体体积的问题，关键是能够通过三视图将几何体还原为四棱锥，从而利用棱锥体积公式来进行求解.8、D【解题分析】

根据函数的性质以及特殊位置即可利用排除法选出正确答案．【题目详解】因为函数定义域为，关于原点对称，而，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A，C；又因为，故排除B．故选：D．【题目点拨】本题主要考查函数图象的识别，涉及余弦函数性质的应用，属于基础题．9、D【解题分析】

由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【题目详解】由实数，满足作出可行域，如图：联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，此时有最小值为.故选：D.【题目点拨】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题.10、D【解题分析】

利用等差数列的通项公式与求和公式可得，再利用，可得，，．即可得出．【题目详解】解：为等差数列的前项和，且，，．可得，则公差．，，则，，，．数列的前项和为：．故选：．【题目点拨】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

代入求得，利用递推关系式可得，从而可证得和均为等差数列，利用等差数列通项公式可求得通项；根据恒成立不等式可得到不等式组：，解不等式组求得结果.【题目详解】当时，，解得：由得：是以为首项，为公差的等差数列；是以为首项，为公差的等差数列，恒成立，解得：即的取值范围为：本题正确结果：【题目点拨】本题考查根据数列的单调性求解参数范围的问题，关键是能够根据递推关系式得到奇数项和偶数项分别成等差数列，从而分别求得通项公式，进而根据所需的单调性得到不等关系.12、【解题分析】

根据三角函数图象依次求得的值.【题目详解】由图象可知，，所以，故，将点代入上式得，因为，所以.故.故答案为：【题目点拨】本小题主要考查根据三角函数的图象求三角函数的解析式，属于基础题.13、【解题分析】

利用三角形面积构造方程可求得，可知，从而得到；根据余弦定理，结合基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得最大值.【题目详解】，由余弦定理得：（当且仅当时取等号）本题正确结果：【题目点拨】本题考查解三角形问题中的三角形面积的最值问题的求解；求解最值问题的关键是能够通过余弦定理构造等量关系，进而利用基本不等式求得边长之积的最值，属于常考题型.14、4【解题分析】

先计算a5【题目详解】aaa故答案为4【题目点拨】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.15、【解题分析】

化简函数解析式，，时，是余弦函数单调减区间的子集，即可求解.【题目详解】,时，,且在上是减函数，，，因为解得.【题目点拨】本题主要考查了函数的三角恒等变化，余弦函数的单调性，属于中档题.16、【解题分析】

由圆上有两个点到直线的距离为3，先求出圆心到直线的距离，得到不等关系式，即可求解．【题目详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，又因为圆上有两个点到直线的距离为3，则，解得，即圆的半径的取值范围是．【题目点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中合理应用圆心到直线的距离，结合图象得到半径的不等关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）见解析（3）【解题分析】

（1）如图：证明得到答案.（2）证明得到答案.（3）几何体转化为，利用体积公式得到答案.【题目详解】（1）∵F分别是BE的中点，取BA的中点M，∴FM∥EA，FMEA＝1∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，∴CD∥FM，又CD＝FM∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC，FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC∴FD∥平面ABC．（2）因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB又EA垂直于平面ABC∴CM⊥AE，又AE∩AB＝A，所以CM⊥面EAB，∵AF⊂面EAB∴CM⊥AF，又CM∥FD，从而FD⊥AF，因F是BE的中点，EA＝AB所以AF⊥EB．EB，FD是平面EDB内两条相交直线，所以AF⊥平面EDB．（3）几何体的体积等于为中点，连接平面【题目点拨】本题考查了线面平行，线面垂直，等体积法，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.18、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解题分析】

（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，AF∥平面PCE；（Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需证明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．【题目详解】证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD．∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=CD．∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，∴AF∥平面PCE；（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PDPA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．【题目点拨】本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解题分析】

（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.【题目详解】（Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.20、（1）；（2）见解析【解题分析】

(1)结合,构造数列,证明得到该数列为等差数列,结合等差通项数列计算方法,即可.(2)运用裂项相消法,即可.【题目详解】（1）由，（即），可得，所以，所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列，所以，即.（2），所以，因为，所以.【题目点拨】本道题考查了等差数列通项计算方法和裂项相消法