吴忠市重点中学2024届数学高一第二学期期末监测试题含解析

吴忠市重点中学2024届数学高一第二学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，角,,的对边分别为,,，若，，则（）A． B． C． D．2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．3．设为实数，且，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与MN所成角的余弦值为A．1 B． C． D．05．在△ABC中，AB=，AC=1，，△ABC的面积为，则（）A．30° B．45° C．60° D．75°6．过两点A，B(，的直线倾斜角是，则的值是（）A．B．3C．1D．7．如图，这是某校高一年级一名学生七次月考数学成绩（满分100分）的茎叶图去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别是()A．87,9.6 B．85,9.6 C．87,5,6 D．85,5.68．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg9．向正方形ABCD内任投一点P，则“的面积大于正方形ABCD面积的”的概率是（）A． B． C． D．10．设为中的三边长，且，则的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，，则的最小值为________．12．等差数列满足，则其公差为__________．13．如图，缉私艇在处发现走私船在方位角且距离为12海里的处正以每小时10海里的速度沿方位角的方向逃窜，缉私艇立即以每小时14海里的速度追击，则缉私艇追上走私船所需要的时间是__________小时.14．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，b=1,则_____________15．函数的最小正周期为___________.16．如果事件A与事件B互斥，且，，则＝．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）设是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.18．等差数列中，，.（1）求通项公式；（2）若，求的最小值.19．平面直角坐标系中，圆M与y轴相切，并且经过点，．（1）求圆M的方程;（2）过点作圆M的两条互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最大值．20．已知函数满足且.（1）当时，求的表达式；（2）设，求证：；21．已知集合，或.（1）若，求；（2）若，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

由正弦定理求得sinA，利用同角三角函数的基本关系求得cosA，求出sinB=sin(120°+A)的值，可得

的值．【题目详解】△ABC中，由正弦定理可得

，∴

，∴sinA=

，cosA=.

sinB=sin(120°+A)=

•+•=

，再由正弦定理可得

=

=

，

故答案为

A.【题目点拨】本题考查正弦定理，两角和与差的正弦公式的应用，求出sinB是解题的关键，属基础题．2、B【解题分析】根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥（高为圆柱的一半），下面是半个圆柱，其中圆锥底面半径是，高是，圆柱的底面半径是，母线长是，所以该几何体的体积，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.3、C【解题分析】

本题首先可根据判断出项错误，然后令可判断出项和项错误，即可得出结果。【题目详解】因为，所以，故错；当时，，故错；当时，，故错，故选C。【题目点拨】本题考查不等式的基本性质，主要考查通过不等式性质与比较法来比较实数的大小，可借助取特殊值的方法来进行判断，是简单题。4、D【解题分析】

先找到直线异面直线AB1与MN所成角为∠,再通过解三角形求出它的余弦值.【题目详解】由题得,所以∠就是异面直线AB1与MN所成角或补角.由题得,,因为,所以异面直线AB1与MN所成角的余弦值为0.故选:D【题目点拨】本题主要考查异面直线所成的角的求法，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5、C【解题分析】

试题分析：由三角形面积公式得，,所以．显然三角形为直角三角形，且，所以．考点：解三角形．6、C【解题分析】试题分析：根据直线斜率的计算式有,解得．考点：直线斜率的计算式．7、D【解题分析】

去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为82，84，84，86，89，由此能求出所剩数据的平均数和方差．【题目详解】平均数，方差，选D.【题目点拨】本题考查所剩数据的平均数和方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8、D【解题分析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71，则=0.85＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该大学某女生身高增加1cm，预测其体重约增加0.85kg，C正确；该大学某女生身高为170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．故选D．9、C【解题分析】

由题意，求出满足题意的点所在区域的面积，利用面积比求概率.【题目详解】由题意，设正方形的边长为1，则正方形的面积为1，要使的面积大于正方形面积的，需要到的距离大于，即点所在区域面积为，由几何概型得，的面积大于正方形面积的的概率为.故选：C.【题目点拨】本题考查几何概型的概率求法，解题的关键是明确概率模型，属于基础题.10、B【解题分析】

由，则，再根据三角形边长可以证得，再利用不等式和已知可得，进而得到，再利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可求解．【题目详解】由题意，记，又由，则，又为△ABC的三边长，所以，所以，另一方面，由于，所以，又，所以，不妨设，且为的三边长，所以．令，则，当时，可得，从而，当且仅当时取等号．故选B．【题目点拨】本题主要考查了解三角形，综合了函数和不等式的综合应用，以及基本不等式和导数的应用，属于综合性较强的题，难度较大，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解题分析】

由题意整体代入可得，由基本不等式可得．【题目详解】由，，，则．当且仅当＝，即a＝3且b＝时，取得最小值1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查基本不等式求最值，整体法并凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属于基础题．12、【解题分析】

首先根据等差数列的性质得到，再根据即可得到公差的值.【题目详解】，解得.，所以.故答案为：【题目点拨】本题主要考查等差数列的性质，熟记公式为解题的关键，属于简单题.13、【解题分析】

设缉私艇追上走私船所需要的时间为小时，根据各自的速度表示出与，由，利用余弦定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．【题目详解】解：设缉私艇上走私船所需要的时间为小时，则，，在中，，根据余弦定理知：，或（舍去），故缉私艇追上走私船所需要的时间为2小时．故答案为：．【题目点拨】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于中档题．14、2【解题分析】

根据条件，利用余弦定理可建立关于c的方程，即可解出c.【题目详解】由余弦定理得，即，解得或（舍去）.故填2.【题目点拨】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.15、【解题分析】

先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期公式可得函数的最小正周期.【题目详解】解：由题意可得：，可得函数的最小正周期为：，故答案为：.【题目点拨】本题主要考查二倍角的化简求值和三角函数周期性的求法，属于基础知识的考查.16、0.5【解题分析】

表示事件A与事件B满足其中之一占整体的占比．所以根据互斥事件概率公式求解．【题目详解】【题目点拨】此题考查互斥事件概率公式，关键点在于理解清楚题目概率表示的实际含义，属于简单题目．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)圆：.(2)证明见解析；，.【解题分析】

（1）设出圆心坐标，利用点到直线距离公式以及圆的弦长列方程，解方程求得圆心坐标，进而求得圆的方程.（2）设出点坐标，根据过圆的切线的几何性质，得到过，，三点的圆是以为直径的圆.设出圆上任意一点的坐标，利用，结合向量数量积的坐标运算进行化简，得到该圆对应的方程，根据方程过的定点与无关列方程组，解方程组求得该圆所过定点.【题目详解】解：（1）设圆心，则圆心到直线的距离.因为圆被直线截得的弦长为∴.解得或（舍），∴圆：.（2）已知，设，∵为切线，∴，∴过，，三点的圆是以为直径的圆.设圆上任一点为，则.∵，，∴即.若过定点，即定点与无关令解得或，所以定点为，.【题目点拨】本小题主要考查圆的几何性质，考查圆的弦长有关计算，考查曲线过定点问题的求解策略，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）等差数列中，由，，能求出通项公式．（2）利用等差数列前项和公式得到不等式，即可求出的最小值．【题目详解】解：（1）等差数列中，，．通项公式，即（2），，解得（舍去或，，的最小值为1．【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式、项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19、(1)；(2)最大值为1．【解题分析】

（1）通过分析题意，可设圆心坐标为，再通过待定系数法即可求得。（2）若采用直线方程和圆的方程联立求解相对较为复杂，可采用将题设条件转化为圆心到直线距离问题，结合勾股定理可大大简化运算，最后再结合均值不等式进行求解。【题目详解】解：（1）由题意，M在线段PQ的垂直平分线（即x轴）上，设；由圆M与y轴相切，所以圆M的半径为，圆M的标准方程为，代入，解得，所以圆M的方程为.（2）设圆心M到直线AC，BD的距离分别为m，n，则，且，，四边形ABCD的面积因为，且m，n均为非负数，所以，当且仅当，等号成立；综上，四边形ABCD面积的最大值为1．【题目点拨】圆的弦长问题转化为点到直线的距离问题往往化繁为简20、（1）；（2）详见解析.【解题分析】

（1）令，将函数表示为等比数列，根据等比数列公式得到答案.（2）将表示出来，利用错位相减法得到前N项和，最后证明不等式.【题目详解】（1）令，得，∴，即（2），设，则，①，②来①-②