广州市黄埔区2023年中考数学最后冲刺浓缩精华卷含解析及点睛

2023中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.将一把直尺与一块直角三角板如图放置，如果Nl=58。，那么N2的度数为（）.

C.138°D.148°

2.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a^O）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2,0）和（3,0）之

间，对称轴是x=l.对于下列说法：①abVO；②2a+b=0；③3a+c>0；@a+b>m（am+b）（m为实数）；⑤当-IVx

V3时，y>0,其中正确的是（

A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤

3.某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境:

请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（）

A.25本B.20本C.C本D.D本

4.若关于工的一元二次方程好-2%+加=0没有实数根，则实数机的取值是（）

A.zn<lB.m>-1C.m>l

5.如图，RtAABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=4,CD±AB于D,则tanNBCD的值为()

4543

A.B.-C.D.-

5434

6.计算（-18）+9的值是（)

A.B.-27C.D.2

7.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角NABO为a,则

树OA的高度为（)

30sina米C.30加〃a米D.30cosa米

tana

8.已知一元二次方程1-（x-3）（x+2）=0,有两个实数根X］和X2（XI<X2）,则下列判断正确的是（）

A.-2<xi<xi<3C.-2<xi<3<xiD.xi<-2<xz<3

9.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出

七，不足四，问人数、物价各几何？译文:今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问

人数、物价各是多少？设合伙人数为x人,物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（）

y_8x=3y-8x=38x—y=38x—y=3

A.”C.<D.

y-7x=4Jx—y=4y-7x=4Jx-y=4

10.已知，C是线段AB的黄金分割点，AC<BC,若AB=2,则BC=()

；（V5-1）

A.3-75B.-(V5+1)C.V5-1D.

2

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，在△ABC中，AB=AC,D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：©AADF^AFEC；②四

边形ADEF为菱形；③8c=1：4.其中正确的结论是.,（填写所有正确结论的序号）

D

BEC

AG

12.如图，在正六边形A5CDEF中，AC于尸B相交于点G,则——值为

GC

13.分解因式：a3-a=

14.可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，la,可燃冰的质量仅为S00092版.数字0.00092用科学记数法表示是

15.解不等式组j2,则该不等式组的最大整数解是一

l-x<2

16.计算：3-|-3°=.

17.如图，若点A的坐标为(1,6)，贝！Isin/1=.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)问题提出

(1)如图①，在矩形ABCD中，AB=2AD,E为CD的中点，贝!)NAEBZACB(填

问题探究

(2)如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，NAPB最大？并说明理由；

问题解决

(3)如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米(即AB=6米)，下边沿到地面

的距离BD=11.6米.如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效

果」最好(视角最大)，请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离.

A

DC

BE

ABDF

图②图③

19.(5分)如图，在RtAABC中,ZC=90°,以5c为直径的。。交48于点Z）,OE交AC于点E,且NA=N4OE.

（1）求证：OE是。。的切线

(2)若A£)=16,DE=10,求5c的长.

20.（8分）如图，在RtAABC中，NC=90。，以BC为直径的。O交AB于点D,过点D作。O的切线DE交AC

于点E.

（1）求证：ZA=ZADE；

（2）若AB=25,DE=10,弧DC的长为a,求DE、EC和弧DC围成的部分的面积S.（用含字母a的式子表示）.

21.（10分）一辆高铁与一辆动车组列车在长为1320千米的京沪高速铁路上运行，已知高铁列车比动车组列车平均速

度每小时快99千米，且高铁列车比动车组列车全程运行时间少3小时，求这辆高铁列车全程运行的时间和平均速度.

22.（10分）在矩形ABCD中，两条对角线相交于O,ZAOB=60°,AB=2,求AD的长.

23.（12分）解不等式组Y:-X———11并将它，的解集在数轴上表示出来.

232

-5-4-3-2-1012345

24.（14分）某商场甲、乙两名业务员10个月的销售额（单位：万元）如下:

甲7.29.69.67.89.346.58.59.99.6

乙5.89.79.76.89.96.98.26.78.69.7

根据上面的数据，将下表补充完整:

4.0<x<4.95.0<x<5.96.0<x<6.97.0<x<7.98.0<x<8,99.0<x<10.0

甲101215

乙——————

（说明：月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，7.0〜7.9万元为良好，6.0〜6.9万元为合格，6.0万元以下为不合

格）

两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：

结论：

人员平均数（万元）中位数（万元）众数（万元）

甲8.28.99.6

乙8.28.49.7

（1）估计乙业务员能获得奖金的月份有个;

（2）可以推断出____业务员的销售业绩好，理由为.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出NL再根据两直线平行，同位角相等可得N2=NL

【详解】

如图，由三角形的外角性质得：/1=90。+/1=90。+58。=148。.

•••直尺的两边互相平行，，N2=N1=148。.

故选D.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键.

2、A

【解析】

由抛物线的开口方向判断a与2的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与2的关系，然后根据对称轴判定b与2的关

系以及2a+b=2；当x=-l时，y=a-b+c；然后由图象确定当x取何值时，y>2.

【详解】

①•••对称轴在y轴右侧，

...a、b异号,

/.ab<2,故正确；

h

②,*,对称轴x=--=1,

2a

•*.2a+b=2；故正确；

③；2a+b=2,

.".b=-2a,

,当x=-1时，y=a-b+c<2,

•'•a-(-2a)+c=3a+c<2,故错误；

④根据图示知，当m=l时，有最大值；

当n#l时，有am2+bm+c<a+b+c,

所以a+bNm(am+b)(m为实数).

故正确.

⑤如图，当-1VXV3时，y不只是大于2.

故错误.

故选A.

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定

抛物线的开口方向，当a>2时，抛物线向上开口；当aV2时，抛物线向下开口；②一次项

系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>2）,对称轴在y轴

左；当a与b异号时（即abV2）,对称轴在y轴右.（简称：左同右异）③常数项c决定抛

物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（2,c）.

3、C

【解析】

设甲种笔记本买了X本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40-x）本，乙种笔记本的单价是（J+3）元,

根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值即可.

【详解】

解：设甲种笔记本买了工本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40-x）本，乙种笔记本的单价是。+3）

元，

根据题意，得：1移+（40_力（〉+3）=300-68+13'

答：甲种笔记本买了25本，乙种笔记本买了15本.

故选C.

【点睛】

本题考查的是二元二次方程组的应用，能根据题意得出关于小y的二元二次方程组是解答此题的关键.

4、C

【解析】

试题解析：关于8的一元二次方程X2-2X+m=0没有实数根，

\-b2—4ac=（—2）——4x1xm=4—4/7?<0,

解得：m>\.

故选C.

5、D

【解析】

先求得NA=NBCD,然后根据锐角三角函数的概念求解即可.

【详解】

解：VZACB=90°,AB=5,AC=4,

.,.BC=3,

在RSABC与RtABCD中，NA+NB=90°,ZBCD+ZB=90°.

.*.ZA=ZBCD.

BC3

tanZBCD=tanA=——=—,

AC4

故选D.

【点睛】

本题考查解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的

三角函数值.

6、C

【解析】

直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案.

【详解】

解：(-18)+9=1.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键.

7、C

【解析】

试题解析：在RSABO中，

•.•BO=3()米，NABO为a,

AO=BOtana=30tana(米).

故选C.

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

8、B

【解析】

设y=-(x-3)(x+2),y(=l-(x-3)(x+2)根据二次函数的图像性质可知yi=l-(x-3)(x+2)的图像可看做y=-

(x-3)(x+2)的图像向上平移1个单位长度，根据图像的开口方向即可得出答案.

【详解】

设y=-(x-3)(x+2),yi=l-(x-3)(x+2)

,.•y=0时，x=-2或x=3,

•*.y=-(x-3)(x+2)的图像与x轴的交点为(-2,0)(3,0),

1-(x-3)(x+2)=0,

-(x-3)(x+2)的图像可看做y=-(x-3)(x+2)的图像向上平移1,与x轴的交点的横坐标为x】、x2,

V-KO,

二两个抛物线的开口向下，

：・xi<-2<3<xz,

故选B.

【点睛】

本题考查二次函数图像性质及平移的特点，根据开口方向确定函数的增减性是解题关键.

9、C

【解析】

【分析】分析题意，根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，”可分别列出方程.

【详解】

设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得

-8x-y=3

<

y-7x=4

故选C

【点睛】本题考核知识点：列方程组解应用题.解题关键点：找出相等关系，列出方程.

10、C

【解析】

根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC=Y1二1AB,代入数据即可得出BC的值.

2

【详解】

解：由于C为线段AB=2的黄金分割点，且ACVBC,BC为较长线段；

贝!]BC=2x或二1=好1.

2

故答案为：A/5-1.

【点睛】

本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的上且倍，较长的线段=原线段的避二!■

22

倍.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、(D®③

【解析】

①根据三角形的中位线定理可得出AD=FE、AF=FC、DF=EC,进而可证出△ADF^AFEC(SSS),结论①正确；

②根据三角形中位线定理可得出EF〃AB、EF=AD,进而可证出四边形ADEF为平行四边形，由AB=AC结合D、F

分别为AB、AC的中点可得出AD=AF,进而可得出四边形ADEF为菱形，结论②正确；

③根据三角形中位线定理可得出DF〃BC、DF=-BC,进而可得出△ADFS/KABC,再利用相似三角形的性质可得出

2

51

三巫=1，结论③正确.此题得解.

【详解】

解：①；D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，

.「DE、DF,EF为AABC的中位线，

111

.•.AD=-AB=FE,AF=-AC=FC,DF=-BC=EC.

222

在小ADF和AFEC中，

AD=FE

<AF=FC,

DF=EC

/.△ADF^AFEC(SSS),结论①正确；

②；E、F分别为BC、AC的中点，

.•.EF的AABC的中位线，

，EF〃AB,EF=-AB=AD,

2

:.四边形ADEF为平行四边形.

VAB=AC,D、F分别为AB、AC的中点，

.*.AD=AF,

J.四边形ADEF为菱形，结论②正确；

③TD、F分别为AB、AC的中点，

ADF为AABC的中位线，

.♦.DF〃BC,DF=-BC,

.,.△ADF^AABC,

.S-ADF=(DF)2=1

结论③正确.

FJBC-4

故答案为①②③.

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，逐一分

析三条结论的正误是解题的关键.

1

12-＞—.

2

【解析】

由正六边形的性质得出AB=BC=AF,ZABC=ZBAF=120°,由等腰三角形的性质得出NABF=NBAC=NBCA=30。，

证出AG=BG,ZCBG=90°,由含30。角的直角三角形的性质得出CG=2BG=2AG,即可得出答案.

【详解】

:六边形ABCDEF是正六边形，

：.AB=BC=AF9ZABC=ZBAF=120°,

:.ZABF=ZBAC=ZBCA=30°,

：.AG=BG,NCBG=90。，

：.CG=2BG=2AG9

.AG_1

••=-f

GC2

故答案为：—.

2

【点睛】

本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的判定、含30。角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正六边形的性质和

含30。角的直角三角形的性质是解题的关键.

13、a(a+1)(a-1)

【解析】

解：a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1).故答案为：a(a+1)(a-1).

14、9.2x107.

【解析】

根据科学记数法的正确表示为ax10"（1＜同＜10）,由题意可得0.00092用科学记数法表示是9.2x10）.

【详解】

根据科学记数法的正确表示形式可得：

0.00092用科学记数法表示是9.2x10

故答案为：9.2x101

【点睛】

本题主要考查科学记数法的正确表现形式，解决本题的关键是要熟练掌握科学记数法的正确表现形式.

15、x=L

【解析】

先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解.

【详解】

./(I)”①

1-％<2②

由不等式①得烂1,

由不等式②得x>-L

其解集是-IVxWL

所以整数解为0,1.2,1,

则该不等式组的最大整数解是x=l.

故答案为：x=l.

【点睛】

考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中

间找，大大小小解不了.

2

16、-

3

【解析】

原式利用零指数幕、负整数指数幕法则计算即可求出值.

【详解】

一12

原式=：-1=-V

33

2

故答案是：

【点睛】

考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

17、3

2

【解析】

根据勾股定理，可得0A的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案.

【详解】

如图，由勾股定理，得：OA=JOB1+AB2=1-sinZl=—=^,故答案为电.

0A22

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)>；(2)当点P位于CD的中点时，NAPB最大，理由见解析；(3)4厢米.

【解析】

(1)过点后作£足143于点尸，由矩形的性质和等腰三角形的判定得到：AAEF是等腰直角三角形，易证NAEB=90。,

而NAC5V90。，由此可以比较NAE5与NAC5的大小

(2)假设尸为的中点，作AAPB的外接圆。0,则此时CO切。。于P,在CQ上取任意异于尸点的点E,连接

AE,与。。交于点尸，连接BE、BF；由乙4尸8是△EFJ?的外角，得NA尸5>NAE8,且NAF'8与NAP5均为。O

中弧AB所对的角，则NAF8=NAPB,即可判断NAPB与NAE5的大小关系，即可得点P位于何处时，NAP3最大;

(3)过点E作CE〃。尸，交A。于点C,作A5的垂直平分线，垂足为点。，并在垂直平分线上取点0,使。4=CQ,

以点。为圆心，08为半径作圆，则。。切CE于点G,连接0G,并延长交。尸于点尸，连接。4,再利用勾股定理

以及长度关系即可得解.

【详解】

解：(1)ZAEB>ZACB,理由如下：

如图1,过点E作EF_LAB于点F,

:在矩形ABCD中，AB=2AD,E为CD中点,

，四边形ADEF是正方形，

:.NAEF=45°,

同理，NBEF=45。,

:.ZAEB=90°.

而在直角△ABC中，ZABC=90°,

ZACB<90°,

.,.ZAEB>ZACB.

故答案为：>;

(2)当点P位于CD的中点时，NAPB最大，理由如下：

假设P为CD的中点，如图2,作AAPB的外接圆。O,则此时CD切。O于点P,

在CD上取任意异于P点的点E,连接AE,与。O交于点F,连接BE,BF,

VZAFB是公EFB的外角，

.,.ZAFB>ZAEB,

VZAFB=ZAPB,

/.ZAPB>ZAEB,

故点P位于CD的中点时，NAPB最大：

(3)如图3,过点E作CE〃DF交AD于点C,作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q,并在垂直平分线上取点O,

以点O为圆心，OA长为半径作圆，则。。切CE于点G,连接OG,并延长交DF于点P,此时点P即为小刚所站的

位置，

由题意知DP=OQ=JOA2-AQ2,

VOA=CQ=BD+QB-CD=BD+^AB-CD,

BD=U.6米，*AB=3米，CD=EF=1.6米，

.*.OA=11.6+3-1.6=13米，

•••DP=V132-32=4VT5米，

即小刚与大楼AD之间的距离为4丁百米时看广告牌效果最好.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，圆周角定理的推论，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，

勾股定理等知识，难度较大，熟练掌握各知识点并正确作出辅助圆是解答本题的关键.

19、(1)证明见解析；(2)15.

【解析】

(1)先连接OD,根据圆周角定理求出NADB=90。,根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=BE,推出NEDB=NEBD,

ZODB=ZOBD,即可求出NODE=90。，根据切线的判定推出即可.

(2)首先证明AC=2DE=20,在RtAADC中，DC=12,设BD=x,在RtABDC中，BC2=x2+122,在RtAABC中，

BC2=(x+16)2-202,可得x?+122=(X+16)2-202,解方程即可解决问题.

【详解】

(1)证明：连结OD,VZACB=90°,

二ZA+ZB=90°,

XVOD=OB,

.•.NB=NBDO,

VZADE=ZA,

:.ZADE+ZBDO=90°,

二ZODE=90°.

.••DE是。O的切线；

(2)连结CD,VZADE=ZA,

，AE=DE.

TBC是。O的直径，ZACB=90°.

，EC是。O的切线.

，DE=EC.

/.AE=EC,

XVDEMO,

.,.AC=2DE=20,

在RtAADC中，DC=7202-162=12

设BD=x,在RtABDC中，BC2=x2+122,

在RtAABC中，BC2=(X+16)2-202,

x2+122=(x+16)2-202,解得x=9,

.,.BC=7i22+92=15.

【点睛】

考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题.

20、(1)见解析；(2)75--a.

4

【解析】

(1)连接CD,求出NADC=90。，根据切线长定理求出DE=EC,即可求出答案；

(2)连接CD、OD、OE,求出扇形DOC的面积，分别求出△ODE和△OCE的面积，即可求出答案

【详解】

(1)证明：连接DC,

.•.ZBDC=90°,

.,.ZADC=90°,

VZC=90°,BC为直径,

JAC切。O于C,

•・•过点D作。O的切线DE交AC于点E,

ADE=CE,

AZEDC=ZECD,

VZACB=ZADC=90°,

/.ZA+ZACD=90°,ZADE+ZEDC=90°,

:.ZA=ZADE；

(2)解：连接CD、OD、OE,

VDE=10,DE=CE,

ACE=10,

VZA=ZADE,

AAE=DE=10,

.\AC=20,

VZACB=90°,AB=25,

2

・,•由勾股定理得：BC=^AB-AC2=5/252-20]5，

15

ACO=OD=—,

2

・・•而的长度是a,

扇形DOC的面积是gxax^=^a,

224

ADE,EC和弧DC围成的部分的面积S=[x孕xlO+gX学xlO-正a=75-"a.

222244

【点睛】

本题考查了圆周角定理，切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，扇形的面积，三角形的面

积等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.

21、这辆高铁列车全程运行的时间为1小时，平均速度为264千米/小时.

【解析】

设动车组列车的平均速度为x千米/小时，则高铁列车的平均速度为（X+99）千米〃卜时，根