北师版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷及答案

北师版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷及答案满分：120分时间：100分钟一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．cos30°的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),3)2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则tan∠ABC等于()A.eq\f(3,2) B．1 C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)(第2题)(第5题)3．在Rt△ABC中，如果各边的长度同时扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值和余弦值()A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的eq\f(1,2)C．都不变 D．不能确定4．若eq\r(3)tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是()A．20° B．30° C．40° D．50°5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝eq\r(5)，BC＝2，那么sin∠ACD等于()A.eq\f(\r(5),3) B.eq\f(2,3) C.eq\f(2\r(5),3) D.eq\f(\r(5),2)6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是()(第6题)A.eq\x(8)eq\x(÷)eq\x(sin)eq\x(4)eq\x(2)eq\x(＝) B.eq\x(8)eq\x(÷)eq\x(tan)eq\x(4)eq\x(2)eq\x(＝)C.eq\x(8)eq\x(÷)eq\x(cos)eq\x(4)eq\x(2)eq\x(＝) D.eq\x(8)eq\x(×)eq\x(tan)eq\x(4)eq\x(2)eq\x(＝)7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，tanA＝eq\r(3)，则BC的长为()A．3 B．2 C.eq\r(3) D．2eq\r(3)8．如图，窗子高AB＝m米，窗子外面上方0.2米处有一个1米长的水平遮阳板CD，当太阳光线与水平线成60°角时，太阳光线刚好不能直接射入室内，则m的值是()A.eq\r(3)＋0.8 B.eq\r(3)＋0.2C.eq\r(3)－0.2 D.eq\r(3)－0.8(第8题)(第9题)9．如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高DE＝5m，斜坡BC的坡比为5∶12，则斜坡BC的长为()A．17m B．13m C．12m D．7m10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F.若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(\r(5),5) C.eq\f(4,5) D.eq\f(2\r(5),5)(第10题)(第14题)二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则sinA的值为________．12．比较大小：sin37°________cos37°.13．若α为锐角，且sin2α＋cos226°＝1，则α＝________．14．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上的一个标志物M的俯角为α，水平飞行900米后到达点B处，此时测得标志物M的俯角为β，若tanα＝eq\f(2,3)，tanβ＝eq\f(4,3)，则飞机与地面的距离为________米．15．如图，AD是△ABC的中线，AD＝5，tan∠BAD＝eq\f(3,4)，S△ADC＝15，则AC的长为________．(第15题)三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)16．计算：sin30°·tan45°＋sin260°－2cos60°.17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2eq\r(3).解这个直角三角形．(第17题)18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AD⊥BC于点D，tan∠CAD＝eq\f(1,2)，求BC的长．(第18题)四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)若AB＝12，sinA＝eq\f(1,3)，求BC的长；(2)若BC＝eq\r(2)，AC＝eq\r(6)，求∠B的度数．(第19题)20．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD，AB＝AD，BD＝4，tanC＝eq\f(1,4).(1)求AB的长；(2)求点C到直线AB的距离．(第20题)21．一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，30分钟后到达B处，已知从A，B两处分别测得小岛C在北偏东45°方向和北偏东15°方向，如图所示．(1)求∠C的度数；(2)求B处与小岛C的距离．(结果保留根号)(第21题)五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题12分，共24分)22．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，如图，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2eq\r(10)米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1∶3(点E，C，B在同一水平线上)．(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；(2)求大树AB的高度(结果保留根号)．(第22题)23．如图，△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿C→A→B的路径以3cm/s的速度向终点B运动，P，Q同时出发，设点P的运动时间为ts，△CPQ的面积为Scm2.(1)求sinB；(2)求S关于t的函数关系式．(第23题)

答案一、1.B2.B3.C4.A5.A6.D7.D8.C9.B10．A二、11.eq\f(3,5)12.＜13.26°14.120015．2eq\r(10)点拨：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点A作AF⊥DC，垂足为F.∴tan∠BAD＝eq\f(DE,AE).又∵tan∠BAD＝eq\f(3,4)，∴可设DE＝3x，AE＝4x，又∵AD＝5，∴(3x)2＋(4x)2＝52，解得x＝1(负值已舍去)．∴AE＝4，DE＝3.∵AD是△ABC的中线，∴易得S△ADC＝S△ADB＝eq\f(1,2)AB·DE＝15，∴eq\f(1,2)AB×3＝15，∴AB＝10，∴BE＝AB－AE＝10－4＝6.在Rt△BDE中，BD＝eq\r(BE2＋DE2)＝eq\r(62＋32)＝3eq\r(5)，∴S△ADB＝eq\f(1,2)BD·AF＝eq\f(1,2)×3eq\r(5)×AF＝15，∴AF＝2eq\r(5).在Rt△ADF中，DF＝eq\r(AD2－AF2)＝eq\r(25－20)＝eq\r(5).∴FC＝CD－DF＝BD－DF＝3eq\r(5)－eq\r(5)＝2eq\r(5).在Rt△AFC中，AF＝2eq\r(5)，FC＝2eq\r(5)，∴AC＝eq\r(AF2＋FC2)＝2eq\r(10).(第15题)三、16.解：原式＝eq\f(1,2)×1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)－2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)－1＝eq\f(1,4).17．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2eq\r(3)，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(（2\r(3)）2＋22)＝4，tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(2,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴∠B＝180°－90°－30°＝60°.18．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝4，∴AD＝2，∴BD＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).在Rt△ADC中，tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(1,2)，AD＝2，∴CD＝1.∴BC＝BD＋CD＝2eq\r(3)＋1.四、19.解：(1)在Rt△ABC中，∵sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(1,3)，AB＝12，∴BC＝4.(2)在Rt△ABC中，∵tanB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(\r(6),\r(2))＝eq\r(3)，∴∠B＝60°.20．解：(1)如图，过点A作AH⊥BD，垂足为点H.∵AB＝AD，∴BH＝HD＝eq\f(1,2)BD＝2.∵点D是BC的中点，∴BD＝CD＝4.∴HC＝HD＋CD＝6.∴tanC＝eq\f(AH,CH)＝eq\f(AH,6)＝eq\f(1,4)，∴AH＝eq\f(3,2).∴AB＝eq\r(BH2＋AH2)＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq\f(5,2).(2)如图，过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G.由(1)易知BC＝8.∵sinB＝eq\f(AH,AB)＝eq\f(CG,BC)，∴eq\f(\f(3,2),\f(5,2))＝eq\f(CG,8).∴CG＝eq\f(24,5).∴点C到直线AB的距离为eq\f(24,5).(第20题)21．解：(1)∵∠ABC＝90°＋15°＝105°，∠CAB＝90°－45°＝45°，∴∠C＝180°－105°－45°＝30°.(2)过点B作BE⊥AC于点E.由题意得，AB＝40×eq\f(30,60)＝20(海里)．∴BE＝AB·sin45°＝10eq\r(2)海里，∴BC＝2BE＝20eq\r(2)海里．答：B处与小岛C的距离为20eq\r(2)海里．五、22.解：(1)如图，过点D作DH⊥CE于点H.(第22题)由题意知CD＝2eq\r(10)米．∵斜坡CF的坡比为i＝1∶3，∴eq\f(DH,CH)＝eq\f(1,3).设DH＝x米，则CH＝3x米，∵DH2＋CH2＝DC2，∴x2＋(3x)2＝(2eq\r(10))2，解得x＝2(负值舍去)．∴DH＝2米．答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米．(2)如图，过点D作DG⊥AB于点G.由题易得四边形DHBG为矩形，∴DH＝BG＝2米．设AB＝m米，则AG＝(m－2)米．∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝m米．由(1)知CH＝6米，∴BH＝DG＝(m＋6)米．∵∠ADG＝30°，∴eq\f(AG,DG)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).∴eq\f(m－2,m＋6)＝eq\f(\r(3),3)，解得m＝6＋4eq\r(3).答：大树AB的高度是(6＋4eq\r(3))米．23．解：(1)过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝4cm，∴BD＝eq\f(1,2)BC＝2cm.在Rt△ABD中，AB＝3cm，BD＝2cm，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)(cm)，∴sinB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(5),3).(2)当0＜t≤1时，如图①，过点Q作QE⊥BC，垂足为E，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴sinC＝sinB＝eq\f(\r(5),3).由题意得CQ＝3tcm，BP＝2tcm，∴CP＝BC－BP＝(4－2t)cm.在Rt△CQE中，QE＝CQ·sinC＝3t·eq\f(\r(5),3)＝eq\r(5)t(cm)．∵S△CPQ＝eq\f(1,2)CP·QE，∴S＝eq\f(1,2)(4－2t)·eq\r(5)t＝2eq\r(5)t－eq\r(5)t2＝－eq\r(5)t2＋2eq\r(5)t；(第23题)当1＜t＜2时，如图②，过点Q作QE⊥BC，垂足为E.由题意得CA＋AQ＝3tcm，BP＝2tcm，∴CP＝BC－BP＝(4－2t)cm，BQ＝