山东省德州市重点中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题(含答案)

高三数学期末试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数z满足，则（）A.i B. C. D.13.已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A. B. C. D.4.盖碗是由茶碗、茶盖、茶船三件套组成，盖碗又称“三才碗”，蕴含了古代哲人讲的“天盖之，地栽之，人育之”的道理.如图是乾隆时期的山水人物方盖碗的茶盖和茶碗，近似看作两个正四棱台的组合体，其中茶碗上底面的边长为，下底面边长为，高为，则茶水至少可以喝（不足一碗算一碗）（）A.7碗 B.8碗 C.9碗 D.10碗5.实数x，y满足，则的最大值为（）A. B. C. D.06.为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计的比赛，其中某位同学利用函数图象设计了如图的，那么该同学所选的函数最有可能是（）A. B.C. D.7.设随机变量，且，，则（）A.0.25 B.0.3 C.0.5 D.0.758.设，，，则（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全得得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.展开式中项的系数为1120B.样本相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C.根据分类变量X与Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立，即可认为X与Y独立D.在回归分析中，用最小二乘法求得的经验回归直线使所有数据的残差和为零10.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且，过点P作轴于点Q，则（）A. B.抛物线的准线为直线C. D.的面积为11.已知函数在处取得最大值2，的最小正周期为π，将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（）A.是图象的一条对称轴 B.C.是奇函数 D.方程有3个实数解12.如图，在棱长为1的正方体中，点P满足，其中，，则（）A.当时， B.当时，点P到平面的距离为C.当时，平面 D.当时，三棱锥的体积恒为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题目横线上）13.己知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则______.14.设函数，关于x的方程有三个不等实根，，，则的取值范围是________________.15.已知中，M为边上一个动点，若，则的最小值为_____.16.已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点、，点P为它们在第一象限的交点，动点Q在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与y轴的交点的坐标为，则的最大值为__________.四、解答题（本大题共5小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）设为数列的前n项和，.（1）求数列的通项公式；（2）设，证明：.18.（12分）在中，角A、B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角B；（2）D为边上一点，，且，求的值.19.（12分）把矩形以所在的直线为轴旋转，得到几何体如图所示.其中等腰梯形为下底面的内接四边形，且，点G为上底面一点，且，.（1）若P为的中点，求证：平面；（2）设，，试确定λ的值，使得直线与平面所成角的正弦值为.20.（12分）已知点为椭圆的左焦点，在C上.（1）求C的方程；（2）已知两点与，过点A的直线l与C交于P，Q两点，且，试判断是否为定值?若是，求出该值，若不是，说明理由.21.（12分）轻食是餐饮的一种形态，轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频率与年龄得到如下的频数分布表.使用频率偶尔1次3015510每周次40403050每周次25404530每天1次及以上552010（1）若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频率不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据小概率值的独立性检验判断食用轻食频率的高低与年龄是否有关联；（2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为X，Y，，求ξ的分布列与期望；（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，，，求小李晚餐选择低卡甜品的概率.参考公式：，.附：α0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82822.（12分）已知函数.（1）当时，讨论函数零点的个数；（2）当时，恒成立，求a的取值范围.数学试题参考答案1.B2.A3.C4.C5.A6.A7.A8.C9.ACD10.ACD11.AD12.ACD13.14.15.1616.16.【详解】由题设，又，直线与y轴的交点的坐标为，则，中，综上，，整理得，可得或（舍），由，则，由椭圆性质知：当Q为短轴顶点时取到最大，此时，由，则，即，故.17.解：（1）当时，，当时，，两式相减得，则，当时，，又当时，，当时，，则，显然，符合，所以数列的通项公式是（2）由（1）知，.所以.18.解：（1）因为，所以，由正弦定理可得，又，所以，整理得，因为，，所以，又，，所以，即.（2）由（1）知，因为，所以，记，则，在中，由正弦定理得，得，在中，有，因为，所以，得，在中，由余弦定理可得，即，所以.19.解：（1）证明：因为为直径，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，P为的中点，所以，因为，平面，平面，所以平面.（2）因为等腰梯形为底面半圆的内接四边形，，所以，所以，如图，以为坐标原点，在底面半圆过点垂直于平面作直线为x轴，分别以，为y，z轴建立空间直角坐标系，由于，，由（1）可知，故，，，，，则，，设平面的一个法向量为，则，即.令，则，由，，，可得，所以，设直线与平面所成角为θ，，则，即得，解得或，符合，故或.20.解：（1）由已知可得，且C的另一焦点坐标为，设为，所以有，所以，所以，所以C的方程为.（2）设l：，代入C整理可得：，设，，则①，②，由，可得，③，由①②③可得：，恒成立，所以，为定值.21.解：（1）补全的列联表如下：1青少年中老年合计食用轻食频率低12595220食用轻食频率高75105180合计200200400所以，所以有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在，内的人数分别为1，2，依题意，ξ的所有可能取值分别为为0，1，2，所以，，，所以ξ的分布列为：ξ012P所以ξ的数学期望为.（3）记小李在某天早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件A，B，C，晚餐选择低卡甜品为事件D，则，，，，，，所以，，所以小李晚餐选择低卡甜品的概率为.22.解：（1）由得，当时，，在区间上单调递增，且x无限趋近于0时，，又，故只有1个零点；当时，令，解得，令，解得，故在区间上单调递减，在区间上单调递增；所以当时，取得最小值，当时，，所以函数无零点，当时