材料成型原理课件成形理论基础

材料成形理论基础金属塑性成形力学基础华中科技大学材料成形与模具技术国家重点实验室联系方式郑莹办公地点：材料成形重点实验室A412室电话：87558193（O）手机：Email：教材吴树森，柳玉起.材料成形原理.北京：机械工业出版社，2008主要参考书陈平昌，朱六妹，李赞.材料成形原理.北京：机械工业出版社，2001徐洲，姚寿山.材料加工原理.北京：科学出版社，2003刘全坤.材料成形基本原理.北京：机械工业出版社，2005汪大年.金属塑性成形原理，北京：机械工业出版社，1986课程内容绪论应力分析应变分析屈服准则应力应变关系（本构关系）金属塑性成形问题求解方法绪论金属塑性成形的优点材料结构致密，组织改善，性能提高材料利用率高，流线分布合理，制件强度提高尺寸精度高，可以实现少、无切削生产生产效率高，适用于大批量生产绪论塑性成形工艺的分类体积成形锻造、轧制、挤压、拉拔……板料（冲压）成形冲裁、弯曲、拉深……

通常，轧制、拉拔、挤压是生产型材、板材、管材和线材等金属材料的加工方法，属于冶金工业领域，而锻造、冲压则是利用金属轧材来制造机器零件的加工方法，属于机械制造工业领域。

体积成形

①锻造通过金属体积的转移和分配来进行塑性成形

自由锻：锻件精度低，生产率不高，适于单件、小批量生产或大型锻件生产绪论模锻（开式模锻、闭式模锻)：锻件外形和尺寸精度高，生产率高，适于大批量生产绪论开式模锻闭式模锻体积成形

②轧制：使金属锭料或坯料通过两个旋转轧辊间的直线或异型的特定空间来获得一定截面形状的材料，使大截面材料变成了小截面材料，可生产型材、板材等。绪论体积成形

③拉拔：将中等截面坯料拉过有一定形状的模孔来获得小截面材料，可生产棒材、管材和线材。绪论体积成形

④挤压：将在筒体中的大截面坯料或锭料一端加压，使金属从模孔中挤出，从而获得符合模孔截面形状的小截面材料。在挤压成形过程中，材料受到较大的三向压应力作用，适于生产低塑性材料的型材和管材。绪论板料成形分离工序(落料、冲孔）成形工序（弯曲、拉深）绪论冲裁拉深金属塑性成形理论——塑性力学的发展

1864，Tresca屈服准则(最大剪应力准则)：

当材料中一点处的最大剪应力达到某一定值时，该质点就发生屈服。

1913，VonMises屈服准则(能量准则）：

当单位体积的弹性形变能达到某一常数时，质点就发生屈服。

1948，Hill各向异性屈服准则绪论金属塑性成形问题的求解方法

主应力法滑移线法上限法有限元法绪论绪论金属塑性成形问题的求解方法

主应力法（初等解析法）从塑性变形体的应力边界条件出发，建立简化的平衡方程和屈服条件，并联立求解，得出边界上的正应力和变形的力能参数，不考虑变形体内的应变状态。绪论金属塑性成形问题的求解方法

滑移线法假设材料为刚塑性体，在平面变形状态下，塑性变形区内任一点存在两族正交的滑移线族，结合边界条件可解出滑移线场和速度场，从而求出塑性变形区内的应力状态和瞬时流动状态，计算出力能参数。绪论金属塑性成形问题的求解方法

上限法

从变形体的速度边界条件出发，对塑性变形区取较大的单元，根据极值原理，求出塑性变形能为极小值时满足变形连续条件和体积不变条件时的动可容速度场，计算出力能参数，不考虑塑性变形区的应力状态是否满足平衡方程。绪论金属塑性成形问题的求解方法

有限元法将连续体离散为有限个单元的组合体，单元之间用节点连接，在每个单元内假设近似函数即插值函数来分片表示系统的求解场函数，插值函数由节点值确定，单元之间的作用由节点传递，建立物理方程，对全部单元的组合体进行数值计算，可求出变形体内的应变、应力等场变量以及力能参数。发展前景

超大、超小、高精尖、高度集成绪论金属压力加工金属压力加工金属压力加工金属压力加工金属压力加工金属压力加工汽车制造汽车制造波音777组装材料成形问题的复杂性非线性□几何非线性□物理非线性□状态非线性多物理场耦合□变形□热传导模具和工艺的复杂性□复杂几何形状□多工序材料组织性能变化□相变、再结晶□织构□损伤主要分类板料成形模拟体积成形模拟主要方法弹塑性有限元法刚塑性有限元法无网格法材料成形计算机模拟汽车覆盖件冲压成形过程模拟板料液压成形过程模拟弯管成形过程模拟五金级进模零件成形过程模拟金属锻造成形过程模拟金属拉拔成形过程模拟……..材料成形计算机模拟应用材料成形计算机模拟应用材料成形计算机模拟应用金属塑性成形基本假设各向同性的均匀连续体体积力为零变形体在表面力作用下处于平衡状态初始应力为零体积不变

由于金属塑性成形非常复杂，数学与力学的处理非常困难，因此需要做一些假设和近似处理：各向同性的均匀连续体假设材料是连续的，即在材料内不存在任何缺陷；假设材料各质点的组织、化学成分相同；假设材料在各方向上的物理性能和力学性能相同；金属塑性成形基本假设体积力为零成形过程中的外力可分为两类：表面力和体积力；表面力：集中力、分布载荷；体积力是作用在物体质点上的力，与物体的质量成正比，例如重力、磁力和惯性力等等；对于塑性成形来说，除了高速锤锻造、爆炸成形等少数情况，体积力相对于表面力很小，可以忽略不计；金属塑性成形基本假设变形体在表面力作用下处于平衡状态材料成形时模具和零件处于平衡状态；如果零件划分为有限个单元体，每个单元体仍处于平衡状态；作用于整体和每个单元体上的外力系的矢量和为零，外力系对任一点的总力矩也为零；金属塑性成形基本假设初始应力为零内力是由于材料受外力作用而产生的，内力的变化达到一定程度就会使材料产生塑性变形；课程内容主要考虑金属在外力作用下产生塑性变形；金属塑性成形基本假设体积不变弹性变形时，体积变化必须考虑；塑性变形时，体积虽有微小变化，但与塑性变形量相比很小，可以忽略不计，因此，一般假设金属在塑性变形前后的体积保持不变；金属塑性成形基本假设应力的概念内力：因外力作用而在物体内部产生的力内力的特点：

1.随外力的变化而变化，是“附加内力”

2.内力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示应力：单位面积上的内力应力表示内力的强度，作用于物体质点之间应力概念应力状态：物体内一点的各个截面上的应力状况研究一点的应力状态，就是建立该点不同方向的截面上的不同应力的表达方式和相互间的联系；目的：对于确定物体处于弹性或塑性阶段的强度问题或屈服条件问题都很重要，是建立复杂应力状态下强度准则和屈服条件所必须的基础知识

应力概念假设

A为任意微元截面，

P为截面上的作用力，则

A截面的应力向量p应力定义p

M

FA

A

P在空间直角坐标系中，将全应力p向三个坐标轴进行投影，也可得到三个应力分量，即一个正应力和二个剪应力p也称为全应力向量，可分解为垂直于截面的正应力和平行于截面的剪应力，从而有

应力状态表示应力状态一般用单元体表示单元体：材料内部的质点，是包围质点的无限小的几何体，常用的是正六面体sxyzs

xsz

ytxytyx单元体的性质任一面上，应力均布平行面上，应力相等应力定义在直角坐标系中，假设有一承受任意力系的变形体，过变形体内任意一点切取一个其棱边分别平行于三个坐标轴的微小六面体作为单元体。在单元体的互相垂直的微分面上的全应力都可以按坐标轴方向分解成一个正应力和二个剪应力分量，这样，在三个互相垂直的微分面上就有三个正应力分量和六个剪应力分量，这九个应力分量可以完整地描述一点的应力状态。应力定义应力分量xyz

x

xy

yx

z

y

xz

zx

zy

yz

yz

y

yx

x

y

z

xy

yx

yz

zy

zx

xz三个正应力分量六个剪应力分量应力定义应力分量符号规定：两个下角标相同的是正应力分量，如

xx表示x面上平行于x轴的正应力分量，可简写为

x；两个下角标不同的是剪应力分量，如

xy表示x面上平行于y轴的剪应力分量。将九个应力分量写成矩阵的形式为应力定义作用在x面上作用在y面上作用在z面上作用方向为z

作用方向为y作用方向为x应力分量有正、负号，确定方法为：单元体的外法线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，反之为负面。在正面上指向坐标轴正向的应力分量取正号，指向相反方向的取负号。负面上的应力分量则相反。按此规定，正应力分量以拉为正，以压为负。

应力定义剪应力互等定理假设单元体处于平衡状态，则绕单元体各轴的合力矩一定为零，则过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离xyz

xy

yx

x

z

y

xz

zx

zy

yz应力定义由剪应力互等定理可知，一点的应力状态中的9个应力分量只有6个是互相独立的，即

应力定义直角坐标系中斜截面上的应力xyz

x

xy

yx

z

y

xz

zx

zy

yzOABCABCxyzO斜面上的应力

y

yx

yz

z

zy

zx

xy

xz

xpxpypzNpxABCyzO

y

yx

yz

z

zy

zx

xy

xz

xpxpypzNp斜面上的应力l=cos(N,x)m=cos(N,y)n=cos(N,z)斜截面外法线单位向量N=(l

m

n)S

ABC=SS

OBC=lSS

OAC=mSS

OAB=nS斜截面四面体的表面积分别为四面体处于平衡状态，则斜面上的应力斜面上的应力ABCxyzO

y

yx

yz

z

zy

zx

xy

xz

xpxpypzNp斜面上的应力全应力斜面上的正应力

为全应力p在法线N方向的投影，它等于在N方向上的投影之和，即斜面上的剪应力为

由上述可知，已知过一点的三个正交微分面上9个应力分量，可以求出过该点任意方向微分面上的应力，也就是说，这9个应力分量可以全面表示该点应力状况，亦即可以确定该点的应力状态。斜面上的应力如果质点处于受力物体的边界上，则斜面ABC即为变形体的外表面，其上的表面力（外力）T沿三坐标轴的分量为Tx、Ty、Tz，则有应力边界条件

斜面上的应力主平面当外法向单位矢量v在某方向时，全应力矢量垂直于ABC平面，且在该面上的剪应力为零。主平面的法向称为应力主方向或应力主轴。ABCxyzOpxpypzvp=v主应力作用在主平面上的法向应力，即主平面上的正应力。斜面上的应力在主平面上，主应力在三个坐标轴上的投影为如果

v为主应力，单位向量v=(l

m

n)，则x、y、z坐标轴方向的应力分量分别为px、py、pz斜面上的应力由于，因此l、m、n不同时为零则三元齐次方程组的系数行列式一定等于零展开行列式，整理后得斜面上的应力令上式称为应力状态特征方程，它有三个实根，即三个主应力，用

1、

2、

3表示。斜面上的应力则有对于一个确定的应力状态，主应力只有一组值，即主应力具有单值性。因此，I1、I2、I3应是单值的，不随坐标系而变。I1、I2、I3称为应力张量的第一、第二、第三不变量。斜面上的应力取三个主方向为坐标轴，用1、2、3代替x、y、z，则应力矩阵可写为斜面上的应力在主轴坐标系中，斜面上的正应力和剪应力为应力张量的三个不变量为应力椭球面在主轴坐标系，设任意斜切面上全应力沿坐标轴的三个分量为p1、p2、p3，则有斜面上的应力考虑到可得应力椭球面表示的是一点的应力状态在任意斜切面上的全应力矢量p端点的轨迹，其主半轴的长度分别等于

1、

2、

3。可以看到，三个主应力中的最大者和最小者就是一点所有方向的应力中的最大者和最小者。斜面上的应力123

1

2

3p2p1p3p斜面上的应力根据三个主应力的特点可区分各种应力状态：

●单向应力状态：在三个主应力中，有两个为零，如单向拉伸；

●两向应力状态：在三个主应力中，有一个为零，如弯曲、扭转，板料成形等；

●三向应力状态：三个主应力均不为零，如锻造、轧钢等；●球应力状态：三个主应力都相等，应力椭球面变成了球面，所有方向都没有剪应力，都是主方向，所有方向的应力都相等。●圆柱形应力状态：在三个主应力中，有两个相等，单向应力也属于这种状态，如设，则与

1轴垂直的所有方向都是主方向，这些方向上的主应力都相等；斜面上的应力例题设某点应力状态如图所示，试求其主应力及主方向（应力单位：10N/mm2)某点应力状态xyzo126135234斜面上的应力图中所示的应力张量为将各分量代入应力张量不变量的表达式可得斜面上的应力将I1、I2、I3代入应力状态的特征方程，得分解因式解得斜面上的应力为求主方向，可组建方程组将解得的三个主应力值逐次代入上式，并联解方程组，得到三个主方向的方向余弦为斜面上的应力求得的主应力及主方向示意图主应力和主方向xyzo294.7331.271斜面上的应力主剪应力实际上，主方向就是正应力有极值的方向，主应力就是极值。剪应力同样随斜面的方位而改变，一般把剪应力有极值的平面称为主剪应力平面，面上作用的剪应力称为主剪应力。在主轴空间中，垂直一个主平面而与另两个主平面交角为45°的平面就是主剪应力平面。该面上的主剪应力为

主剪应力平面图

斜面上的应力a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

主剪应力角标表示与主剪应力平面呈45°相交的两主平面的编号。三个主剪应力平面也是互相正交。主剪应力中绝对值最大的一个，即一点所有方向切面上剪应力的最大者，称为最大剪应力，用表示。设三个主应力的关系为，则

斜面上的应力斜面上的应力主剪应力平面上的正应力1245°

应注意到，每对主剪应力平面上的正应力都是相等的。应力张量及分解应力张量张量：与坐标系选择无关的集合。当坐标系变换时，集合的形式不改变应力张量表示为

xy＝

yx

yz＝

zy

zx＝

xz在塑性成形理论中，应力、应变、力、速度等物理量都是张量i

＝

1，3；

j

＝

1，3平均应力

m

m叫平均应力，是不变量，与坐标系选择无关。应力张量及分解设

m为三个正应力的平均值，即应力张量及分解上式中的后一项表示球应力状态，称为应力球张量。在球应力状态下，任何方向都是主方向，且主应力相同，所以

m可看成是一种静水应力。由于球应力状态在任何切面上都没有剪应力，所以不能引起物体形状改变，只是引起体积改变。应力偏张量

称为应力偏张量，它是一个对称张量应力张量及分解应力偏张量与材料形状变化有关，即与塑性变形有关应力偏张量有三个不变量，即应力张量及分解应力张量及分解对于主轴坐标系，有八面体应力在物体内任意一点建立应力主轴系，围绕坐标原点作等倾斜面，面的法线与三根坐标轴的夹角都相等，则坐标空间八个象限的等倾斜面形成一个正八面体，这样的斜面叫八面体平面，其上的应力叫八面体应力。八面体平面的方向余弦为八面体应力和等效应力八面体应力和等效应力αβγ

Q

123

123

八面体和八面体平面八面体应力八面体应力和等效应力在任意坐标系中为

在任意坐标系中，等效应力定义为

八面体应力和等效应力等效应力在力学分析中，材料的各种极限值通常是在单向拉伸、压缩试验中测出的。为了使塑性变形中的复杂应力状态能与这些极限值相比较，人们引人“等效应力”的概念，把复杂应力状态的应力值折合成单向应力状态的应力值。在主轴坐标系中，等效应力定义为

等效应力是一个不变量，称为广义应力或应力强度，它不能在特定微分平面上表示出来，但可以在一定意义上“代表”整个应力状态中的偏张量部分，因而与材料的塑性变形密切有关。八面体应力和等效应力对于单向应力状态，设则有应力平衡微分方程正交直角坐标系一般认为，应力是坐标的连续函数，即应力分量

x、

y、

z、

xy、

yx、

yz、

zy、

zx、

xz为点的坐标（x，y，z）的连续函数体力分量为：fx

、fy

、fz单元体处于平衡状态应力平衡微分方程设受力物体中有一点Q，坐标为x、

y、

z，在Q点的无限邻近处有一点Q’，坐标为x+dx、y+dy、z+dz，在Q和Q’点间形成一个边长为dx、dy、dz的平行六面体。由于坐标的微量变化，Q’点的应力要比Q点的应力增加一个微量。设Q点的应力状态为应力平衡微分方程在Q’点的x面上，由于坐标的变化，其正应力分量将为

应力平衡微分方程Q’点的应力状态可以写为xyzsx

xz

xysy

yx

yzsz

zx

zydxdydz应力平衡微分方程Q

Q’

单元体六个面上的应力分量图

由于单元体处于平衡状态应力平衡微分方程单元体的应力平衡微分方程忽略体力fx

、fy

、fz应力平衡微分方程应力平衡微分方程平面应力状态的基本特征

1）物体内所有质点在与某一方向垂直的平面上都没有应力，如取该方向为坐标的z轴，则有

z＝

zx＝

zy＝0。z向必为主方向，所有质点都是两向应力状态；

2)各应力分量都与z坐标无关，整个物体的应力分布可以在xy坐标平面上表示出来。平面应力状态

梁的弯曲，薄壁管扭转，薄壁容器承受内压或板料拉延成形（壁厚或板厚方向的应力相对较小，可忽略）

应力平衡微分方程“纯剪”应力状态

两向应力状态，在主剪应力平面上的正应力为零。例如：棒料或管料的小变形扭转。

12τ

τ

平面应力问题的平衡微分方程xysx

xysy

yxfxfy应力平衡微分方程应力平衡微分方程轴对称应力状态在塑性成形中经常遇到旋转体。当旋转体承受的外力为对称于旋转轴的分布力而且没有周向力时，则物体内的质点就处于轴对称应力状态。此时，旋转体的每个子午面都始终保持平面，而且各子午面之间的夹角始终不变。用圆柱坐标表示单元体应力状态，其一般的应力张量为：圆柱坐标系下的单元体及应力状态rdqdrdzsrtrqtrztqrtqzsqxyzorqdrdzdq应力平衡微分方程轴对称问题用圆柱坐标表示的平衡微分方程的一般形式为应力平衡微分方程应力平衡微分方程轴对称状态时的平衡微分方程由于子午面在变形过程中始终不会扭曲，轴对称状态具有以下特点：

1）在θ面上没有剪应力，即

rθ＝

θ

z

＝0，

θ是一个主应力；

2）各应力分量与θ坐标无关，对θ的偏导数都为零。因此有应力平衡微分方程轴对称问题用球坐标表示单元体应力状态，其一般的应力张量为：应力平衡微分方程球坐标系下的单元体及应力状态应力平衡微分方程轴对称问题用球坐标表示的平衡微分方程的一般形式为应力平衡微分方程轴对称状态时，

θ

r＝

θ

φ

＝0，各应力分量对θ的偏导数都为零，其平衡微分方程为位移变形体内一质点在变形前后的位置移动了一定距离，即产生了位移。位移是矢量，在直角坐标系中，一点M（x,y,z）的位移矢量可用其在三个坐标轴上的投影即位移分量ux、uy

、uz来表示。根据连续性假设，位移是坐标的连续函数，而且一般都有一阶偏导数，即应变定义应变定义变形

物体中各点位移不同而致使各点相对位置发生变化的表现。

变形单元体

当单元体切取得极小时，可以认为它的变形是均匀变形，物体内原来的直线和平面在变形后仍然是直线和平面，原来相互平行的直线和平面仍将保持平行。应变定义小变形物体在外力作用下产生变形，与本身几何尺寸相比是非常小的量（一般不超过10-2数量级），这种变形称做小变形。在小变形分析中，变形量的二次微量可以忽略，分析起来比较简单直观，是大变形分析的基础，因此本章只讨论小变形分析。MM'NN'rr+δr应变定义线应变（正应变）线应变分量应变定义角应变（剪应变）MNLxy角应变分量M'N'L'

yx

xy角应变的意义：γxy表示x方向的线元向y方向偏转的角度应变应变定义线应变（正应变）表示线长度的相对伸长或缩短量。伸长为正值，缩短为负值角应变（剪应变）表示角度变化的量。角度减小为正值，角度增加为负值应变下标的意义第一个下标表示线元的方向，第二个下标表示线元变形的方向。考察直角坐标系中一边长分别为rx、ry和rz、表面和坐标面平行的微元六面体PABC—DEFG，小变形后成为一斜平行六面体P1A1B1C1—D1E1F1G1

。

应变状态和应变张量单元体同时发生了线变形、剪变形、刚性平移和转动。设单元体先平移至变形后的位置，然后再发生变形，其变形可以分解为应变状态和应变张量在x、y、z方向上，线元的长度发生改变，其线应变分别为

应变状态和应变张量在x面、y面和z面内，单元体发生角度偏转，其剪应变为质点的三个互相垂直方向上的9个应变分量确定了该点的应变状态。已知这9个应变分量，可以求出给定任意方向上的应变，这表明对应不同坐标系的应变分量之间有确定的变换关系。这9个应变分量组成一个应变张量，由于γij=γji

，故应变张量是二阶对称张量，可用εij表示为

应变状态和应变张量或应变张量的性质

应变状态和应变张量存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有主应变而无剪应变。用ε1、ε2

、ε3表示主应变，则主应变张量为应变状态和应变张量应变状态特征方程

存在三个应变张量不变量I1、I2、I3

应指出，塑性变形时体积不变，故I1＝0应变状态和应变张量在与主应变方向成45°方向上存在主剪应变，其大小为若，则最大剪应变为应变状态和应变张量应变张量的分解设三个正应变分量的平均值为εm，即则

式中，第一项为应变偏张量，表示单元体的形状变化；第二项为应变球张量，表示单元体的体积变化。塑性变形时体积不变，εm

＝0，应变偏张量就是应变张量。应变状态和应变张量八面体应变和等效应变●以应变主轴为坐标轴，可作出八面体，八面体平面法线方向的线元的应变叫做八面体应变应变状态和应变张量●将八面体剪应变γ8

乘以系数，可得等效应变（广义应变、应变强度）

等效应变是一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变，在屈服准则和强度分析中经常用到。应变状态和应变张量

单向应力状态时，主应变为ε1、ε2=ε3

。考虑塑性变形，有

因而

所以●单向应力状态的等效应变物体变形后，体内各质点产生了位移，并因此而产生应变。位移场与应变场都是空间坐标的连续函数，因而可以用位移表示应变。

应变几何方程应变几何方程设单元体棱边长度分别为dx、dy、dz，它在xOy平面上的投影为abdc，变形后的投影移至a1b1d1c1，a点变形后移到a1点后，所产生的位移分量为u、v，则b点和c点的位移增量为

应变几何方程根据图中的几何关系，可以求出棱边ac(dx)在x方向的线应变εx为

应变几何方程棱边ab(dy)在y方向的线应变εy为

由图中的几何关系可得

应变几何方程因为应变几何方程其值远小于1，所以有

同理，有则有应变几何方程剪应变为按照同样的方法，由单元体在yOz和zOx坐标平面上投影的几何关系，得其余应变分量与位移分量之间的关系式，综合在一起为

应变几何方程上述六个方程表示小变形时位移分量和应变分量之间的关系，是由变形几何关系得到的，称为小应变几何方程，也叫柯西几何方程。如果物体中的位移场已知，则可由上述小应变几何方程求得应变场。应变几何方程应变连续方程要保证变形体的连续性，六个应变分量之间应满足一定的关系，即应变连续方程（应变协调方程、几何相容条件）。在x－y坐标平面内，将几何方程式中的εx、εy分别对y、x求两次偏导数，可得

应变连续方程两式相加，可得

同理可得另外两式，连同上式，有应变连续方程上式表示了在每个坐标平面内应变分量之间的关系。将应变几何方程中的三个剪应变等式分别对

x、y、z求偏导，得应变连续方程将前两式相加后减去第三式，得再将上式两边对y求偏导数，得

应变连续方程同理可得另外两式，连同上式，有上式表示了不同平面中应变分量之间的关系。应变连续方程

上述两个方程统称为变形连续方程或应变协调方程，它的物理意义为：只有当应变分量之间满足一定的关系时，物体变形后才是连续的。否则，变形后会出现“撕裂”或“重叠”，变形体的连续性遭到破坏。

还应指出，如果已知一点的位移分量ui(i=1,2,3)，则由几何方程求得的应变分量εij

(i=1,2,3;j=1,2,3)

自然满足连续方程。但如果先用其他方法求得应变分量，则只有满足上述应变连续方程，才能由几何方程求得正确的位移分量。

应变连续方程塑性变形体积不变条件小变形时，可以认为只有正应变引起边长和体积的变化，而剪应变所引起的边长和体积的变化是高阶微量，可以忽略不计。设单元体的初始边长为dx、dy、dz，则变形前的体积为

塑性变形体积不变条件单元体体积的变化（单位体积变化率）为

变形后的体积为

塑性变形体积不变条件实验指出，金属在外力作用下产生塑性变形时，其所产生的体积变形是弹性的，当外力去除之后，体积变形恢复，没有残余的体积变形，并且这种弹性的体积改变是很小的，例如弹簧钢在一万个大气压下体积缩小2.2%。因此，对于一般应力状态下的变形体，在塑性变形前后的体积变化是可以忽略的。即

上式称为体积不变条件。塑性变形体积不变条件同理，用应变增量表示的体积不变条件为用应变速率表示的体积不变条件为

体积不变条件表明，塑性变形时三个正应变之和等于零，说明三个正应变分量不可能全部同号。

全量应变全量应变全量应变的大小与变形途径有关，只有知道了变形途径，才能确定全量应变的大小。如果质点曾有过几次变形，全量应变是历次变形叠加的结果。塑性变形是不可恢复的，单元体每经过一次加载产生的塑性变形在卸载之后仍然保留下来，并作为下一次加载时的初始状态，因此，变形结束时的全量应变不一定取决于当时的应力状态。反映单元体在某一变形过程或变形过程的某个阶段终了时的变形大小的应变量。在塑性变形过程中，物体内各质点以一定的速度运动，形成一个速度场。将质点在单位时间内的位移叫做位移速度，它在三个坐标轴方向的分量叫做位移速度分量，简称速度分量，即

速度分量和速度场速度分量和速度场位移速度可简记为位移速度既是坐标的连续函数，又是时间的函数，因此，有上式表示变形体内运动质点的速度场。若已知变形体内各点的速度分量，则物体中的速度场可以确定。位移增量

物体在变形过程中，在某一极短的瞬时dt，质点产生的位移改变量称为位移增量。

位移增量和应变增量设质点P在dt内沿路径PP’P1从P’移动无限小距离到达P”，位移矢量PP”与PP’之间的差即为位移增量，记为dui。这里d为增量符号，而不是微分符号。位移增量和应变增量位移增量的速度分量为即位移增量分量可写为应变增量变形体在产生位移增量以后，体内各质点就有了相应的无限小应变增量，用dεij表示。瞬时产生的变形可视为小变形，可以仿照小变形几何方程写出应变增量的几何方程，只需用dui代替ui、

dεij代替εij即可，即位移增量和应变增量位移增量和应变增量即一点的应变增量也是二阶对称张量，称为应变增量张量，记为应变增量

位移增量和应变增量应变增量是以变形瞬时的形状尺寸为起始点计算的，与以变形的起始点计算的全量应变相比，应变增量更能准确地反映物体的变形情况。物体在变形过程中某一瞬时产生的无限小应变。塑性变形是一个大变形过程，在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于该瞬时的应变增量。可以采用无限小的应变增量来描述某一瞬时的变形情况，而把整个变形过程看作是一系列瞬时应变增量的积累。

单位时间内的应变称为应变速率，又称变形速度，用表示，单位为s-1。设在时间时隔dt内产生的应变增量为dεij，则应变速率为

应变速率张量当物体的变形速度很大或变形的温度较高时（如再结晶温度范围内），必须考虑变形速度对材料力学性能的影响。应变速率张量应变速率与应变增量相似，都是描述某瞬时的变形状态。与应变增量的几何方程类似，有应变速率的几何方程即应变速率张量一点的应变速率也是二阶对称张量，称为应变速率张量注意：应变速率是应变增量dεij对时间的微商，通常并不是全量应变的微分。工程应变和对数应变工程应变变形前后尺寸变化量与变形前尺寸之比，通常用百分数表示假设l0为物体中两质点变形前的尺寸，ln为变形后尺寸，则工程应变表示为工程应变一般适用于变形程度较小的情况，当变形程度较大时，工程应变不足以反映物体的实际变形过程，这时要采用对数应变。工程应变和对数应变对数应变在实际变形过程中，假设物体中两质点的距离由变形前的l0经过n个变形过程后变为ln

，则总应变量可近似为n个无限小的相对应变之和，即当n无限增大时，则总的应变量为称为对数应变，它反映了物体变形的实际情况对数应变

设在单向拉伸时某试样的瞬时长度为l，在下一个瞬时，试样长度又伸长了dl，则其应变增量为

工程应变和对数应变试样从初始长度l0到终了长度l1，如果变形过程中主轴不变，可沿拉伸方向对进行积分，求出总应变为工程应变和对数应变

反映了物体变形的实际情况，称为对数应变或真实应变，它能真实地反映变形的累积过程，表示在应变主轴方向不变的情况下应变增量的总和。在大塑性变形中，主要用对数应变来反映物体的变形程度。工程应变和对数应变的特性比较工程应变和对数应变①对数应变能够反映物体变形的实际情况，工程应变只是在变形程度很小时近似反映物体的变形情况。从上式可以看出对数应变和工程应变的关系，即只有当变形程度很小时，工程应变才近似等于对数应变，变形程度越大，二者相差愈大。一般认为，当变形程度超过10%时，就要用对数应变来表达。工程应变和对数应变②对数应变具有可加性，工程应变不具有可加性。设某物体的原长度为l0，历经变形过程l1、l2到l3，则总的对数应变为各分量对数应变之和，即工程应变和对数应变对应的各阶段的相对应变为显然工程应变和对数应变

③对数应变为可比应变，工程应变为不可比应变。假设将试样拉长一倍，再压缩一半，则物体的变形程度相同。拉长一倍时压缩一半时因此，对数应变为可比应变。(负号表示应变方向相反)工程应变和对数应变考虑工程应变拉长一倍时压缩一半时因此，工程应变为不可比应变。工程应变和对数应变

④工程应变计算简单。塑性体积不变条件用对数应变表示更准确。设变形体的原始长、宽、高分别为l0、b0、h0，变形后分别为l1、b1、h1，则体积不变条件可表示为平面应变问题

如果物体内所有质点都只在同一坐标平面内发生变形，而该平面的法线方向没有变形，就属于平面变形或平面应变问题。

平面应变问题和轴对称问题平面应变问题和轴对称问题设没有变形的方向为z方向，该方向上的位移分量为零，其余两个方向的位移分量对z的偏导数必为零，所以εz=γxz=γyz=0，则平面应变状态的三个应变分量为εx

、εy

、γxy，且满足以下几何方程根据体积不变条件有平面应变问题和轴对称问题平面变形状态下的应力状态有如下特点：①没有变形的z方向为主方向，该方向上的剪应力为零，z平面为主平面，σz为主应力σ3

，在塑性状态下，σz等于平均应力，即平面应变问题和轴对称问题②如果处于变形状态，发生变形的z平面即为塑性流动平面，平面塑性应变状态下的应力张量可写成平面应变问题和轴对称问题上式表明，平面塑性变形时的应力状态就是纯剪应力状态叠加一个应力球张量。平面应变问题和轴对称问题③平面变形时，由于σz是不变量，而且其他应力分量都与z坐标无关，所以其平衡微分方程和平面应力状态是一样的，即平面应变问题和轴对称问题轴对称问题讨论轴对称状态的变形时需要用圆柱坐标和球坐标，采用圆柱坐标时，一般状态的应变几何方程为

式中：r－径向，θ－周向，z－高度方向平面应变问题和轴对称问题zzθruvw

圆柱坐标系中的位移分量平面应变问题和轴对称问题轴对称变形时，通过轴线的子午面始终保持平面，θ向没有位移速度，位移分量v=0，各位移分量均与θ坐标无关，由此，γrθ=γθz=0

，θ向成为应变主方向，这时，几何方程简化为平面应变问题和轴对称问题对于均匀变形时的单向拉伸、锥形模挤压和拉拔，以及圆柱体平砧镦粗等，其径向位移分量u与坐标r成线性关系，于是得所以这时，径向正应力和周向正应力分量也必相等，即平面应变问题和轴对称问题用球坐标时，一般状态的几何方程为平面应变问题和轴对称问题对于轴对称状态，θ向的位移分量w=0，各位移分量均与θ无关，由此，γφθ=γθr=0

，而且εθ式等号后面的第一项也为零。rθφuvw

球坐标系中的位移分量在塑性成形分析中，会遇到许多物理量，如力、速度、位移、应力、应变等。为了对它们进行描述和计算，必须引进坐标系。物理量本身是不依赖于坐标系而存在的，坐标系的选择带有一定的任意性，且同一物理量在不同的坐标系中会有不同的数量表征。为了得到数量表征和解析结果在任何坐标系下都具有不变的形式，即表征和结果所反映的物理事实与坐标系的选择无关，就需要选择一种数学工具，这一数学工具就是张量。

张量基础角标符号引进坐标系后，所描述的物理量在坐标系中的分量，用角标表示其与某一坐标系的关系。成组的符号和数组用一个带下角标的符号表示，这种符号叫角标符号。用角标符号表示物理量在坐标系中的分量，可以使冗长繁杂的公式在形式上变得简洁明了。

张量基础张量基础如果一个张量带有m个角标，每个角标取n个值，则该角标符号代表着nm个元素。例如σij（i,j=x,y,z）就包含有32=9个元素，即9个应力分量。求和约定

张量基础在运算中，常会遇到数组元素乘积求和的形式。例如为了省略求和记号Σ

，引入如下的求和约定：在算式的某一项中，如果有某个角标重复出现，就表示要对该角标自1到n的所有元素求和。根据这一约定，上式可简记为又如应变几何方程可写为张量基础重复出现的角标叫哑标，不重复出现的角标叫自由标，自由标不包含求和的意思，表示该等式代表的个数。在一个等式中，要分清哑标和自由标。例如这里i是哑标，j是自由标，故此式可表示为张量概念

有些简单的物理量，只需要一个标量就可以表示，如距离、时间、温度等。有些物理量是空间矢量，如位移、速度和力等，需要用空间坐标系中的三个分量来表示。更有一些复杂的物理量，如应力状态、应变状态，需要用空间坐标系中的三个矢量，即9个分量才能完整地表示，这就需要引入张量的概念。

张量基础张量基础张量是矢量的推广，可定义为由若干个当坐标系改变时满足转换关系的所有分量的集合。广义地说，绝对标量就是零阶张量，其分量数目为30=1；矢量就是一阶张量，有31=3个分量；应力状态、应变状态是二阶张量，有32=9个分量。张量基础设有一物理量P，它关于xi（i=1,2,3）的空间坐标系存在9个分量Pij（i,j=1,2,3）。若将xi空间坐标系的坐标轴绕原点O旋转一个角度，则得到新的空间坐标系xk(k=1′,2′,3′)。张量基础新坐标系xk的坐标轴关于原坐标系xi的方向余弦可记为lki或llj(k,l=1’,2’,3’；i,j=1,2,3)。由于cos(xk,xi)=cos(xi,xk)，所以lki=lik,llj=ljl。新旧坐标系间的方向余弦如表所示。xixkx1x2x3x1’x2’x3’l1’1l1’2l1’3l2’1l2’2l2’3l3’1l3’2l3’3张量基础物理量P在新坐标系xk的9个分量为Pkl(k,l=1’,2’,3’)

。若这个物理量P在坐标系xi中的9个分量Pij与坐标系xk中的9个分量Pkl之间存在下列线性变换关系这个物理量被定义为张量，可用矩阵表示为Pij所带的下标数目是2个，称为二阶张量。张量基础张量是满足一定的坐标转换关系的分量所组成的集合，它的重要特征是在不同的坐标系中分量之间可以用一定的线性关系来换算。上式为二阶张量的判别式。张量基础张量不变量。张量的分量一定可以组成某些函数f(Pij)，这些函数值与坐标轴无关，它不随坐标而改变，这样的函数，叫做张量不变量。二阶张量存在三个独立的不变量。

张量性质张量可以叠加和分解。几个同阶张量各对应的分量之和或差定义为另一个同阶张量。两个相同的张量之差定义为零张量。

张量基础张量可分为对称张量、反对称张量、非对称张量。

若张量具有性质Pij=Pji，就叫对称张量；

若张量具有性质Pij=-Pji，且当i=j时对应的分量为0，则叫反对称张量；

若张量具有性质，就叫非对称张量；

任意非对称张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量。二阶对称张量存在三个主轴和三个主值。如果以主轴为坐标轴，则两个下角标不同的分量均为零，只留下两个下角标相同的三个分量，叫做主值。张量基础张量基础应力张量

受力物体内任意点的应力状态一旦被确定，如果取不同的坐标系，则表示该点应力状态的9个应力分量将有不同的数值，但该点的应力状态并没有发生变化。不同坐标系中的应力分量之间存在一定的转换关系。

张量基础该受力物体内一点的应力状态在坐标系xi（i=x,y,z）中的9个应力分量为σij(i,j=x,y,z），当坐标系xi转换到另一个坐标系xk(k=x’,y’,z’)时，应力分量为σkl(k,l=x’,y’,z’)

，则σij与σkl之间存在线性变换关系式张量基础因此，表示该点应力状态的9个应力分量构成二阶张量，称为应力张量，用张量符号表示为

应力张量是二阶对称张量。根据张量的基本性质，应力张量可以叠加和分解，并存在三个主方向（主轴）和三个主应力（主值），以及三个独立的应力张量不变量。材料真实应力-应变曲线是建立塑性理论的重要依据，通常采用单向拉伸或单向压缩实验来确定。

拉伸试验曲线拉伸图和条件应力-应变曲线

室温下在万能材料拉伸机上准静态拉伸标准试样，记录下来的拉伸力F与试样标距的绝对伸长Δl之间的关系曲线称为拉伸图。拉伸试验曲线设试样的初始横截面面积为A0，标距长为l0，则条件应力σ0（名义应力）和相对伸长ε（条件应变）为

用σ0和ε替代F和Δl，则拉伸图的曲线形状不发生变化，只是刻度大小改变，拉伸图变化为条件应力—应变曲线。拉伸试验曲线在低碳钢的拉伸图中，试样从加载到断裂的全过程经历了三个阶段：

(1)弹性变形阶段Oe

特点：卸载后试样变形全部恢复，其中：

Op—线弹性阶段；

pe—非线性弹性阶段；

σp—比例极限；

σe—弹性极限。拉伸试验曲线(2)均匀塑性变形阶段eb

屈服平台：当加载达到s点时，在载荷不增加，甚至有所下降时，试样发生明显的变形，图上出现的一个齿状平台es；

σs—屈服应力（屈服点）；对于有些金属在简单拉伸实验中不出现屈服平台的情况（如不锈钢、经调质处理的合金钢与铝合金等），用塑性应变达到0.2%时的应力σ0.2来作为屈服强度；拉伸试验曲线(2)均匀塑性变形阶段eb

σb—强度极限：在s点以后，载荷F随试样变形程度的增加而增加，到达b点达到最大值时的应力值；在这一阶段卸载时，塑性应变保留，发生弹性恢复。如加载到G点，然后卸载，沿着GH线（平行于Op）弹性恢复一段距离HJ，保留永久变形OH。

拉伸试验曲线(3)局部塑性变形阶段bk

颈缩：在b点之后，继续变形时，试样会出现局部断面缩小的现象，称为颈缩，它是单向拉伸的塑性失稳现象。继续拉伸时，变形便集中在颈缩区，断面会逐渐缩小，载荷下降，直至断裂点k为止。拉伸试验曲线真实应力试样瞬时横截面A上所作用的应力Y称为真实应力，亦称为流动应力。试样瞬时截面面积与原始截面面积有如下的关系所以拉伸真实应力-应变曲线拉伸试验曲线真实应变设初始长度为l0的试样在变形过程中某时刻的长度为l，定义真实应变为拉伸试验曲线真实应力-应变曲线在均匀变形阶段，根据前述的Y、∈表达式，可将条件应力-应变曲线直接变换成真实应力-应变曲线，即Y-∈曲线。在强度极限（b点)以后，由于出现缩颈，不再是均匀变形，上述公式不再成立。因此，b点以后的曲线只能近似作出。一般记录下断裂点k的试样横截面面积Ak，按下式计算k点的真实应力-应变曲线，从而可作出曲线的b’k’段。拉伸试验曲线a)b)

拉伸实验曲线a)

条件应力-应变曲线b)

真实应力-应变曲线拉伸试验曲线由于出现缩颈后，试样的形状发生了明显的变化，缩颈部位应力状态已变为三向拉应力状态。实验表明，缩颈断面上的径向应力和轴向应力的分布如图所示。颈缩边缘处受单向拉伸应力Y作用，中心处轴向拉伸应力大于Y，这一由于出现缩颈而产生的应力升高现象，称为“形状硬化”。因此，必须加以修正。缩颈处断面上的应力分布拉伸试验曲线E.Siebel等人提出用下式对曲线的b’k’段进行修正，即

式中，是去除形状硬化后的真实应力(Mpa)；d是缩颈处直径(mm)；ρ是缩颈处试样外形的曲率半径(mm)。从拉伸实验曲线图可看出，Y-∈曲线在失稳点b后仍然是上升的，这说明材料抵抗塑性变形的能力随应变的增加而增加，即不断地硬化，所以真实应力-应变曲线也称为硬化曲线。拉伸真实应力-应变曲线的塑性失稳点特性

拉伸试验曲线在Y-∈曲线上，由于所以拉伸试验曲线在塑性失稳点(如b点)，当载荷F有极大值，即dF=0，且由于F=YA，则有化简得因此在失稳点b处拉伸试验曲线Y-∈曲线的失稳点特性式的意义如图所示，表示在曲线Y-∈上，失稳点所作的切线的斜率为Yb，该斜线与横坐标轴的交点到失稳点横坐标的距离为∈=1。

由于拉伸实验确定的Y-∈曲线最大应变量受到塑性失稳的限制，曲线的精确段∈=0.3内，而实际的塑性成形时的应变往往比1.0大得多，因此拉伸实验曲线便不够用，可用压缩实验来确定Y-∈曲线，其变形量可达2以上。由于压缩实验工具与试样之间存在摩擦，改变了试样单向压缩状态，因而求得的应力并非真实应力。因此，消除接触面间的摩擦是得到压缩Y-∈曲线的关键。拉伸试验曲线实验所得的真实应力-应变曲线一般都不是简单的函数关系，在解决实际塑性成形问题时，为便于计算，常采用一些简化的材料模型。材料模型（一）指数硬化型大多数工程金属在室温下都有加工硬化，其真实应力-应变曲线近似于抛物线形状，可用指数方程表达为

式中，B是强度系数，n是硬化指数。指数硬化曲线材料模型B和n的值可用失稳点的特性来确定。对上式求导数，得根据失稳点的特性又有比较上述两式，可得材料模型硬化指数n是表明材料加工硬化特性的一个重要参数，n值越大，说明材料的应变强化能力越强。对金属材料，n的范围是0<n<1。B与n不仅与材料的化学成分有关，而且与其热处理状态有关，常用材料的B和n可查相关手册。材料模型（二）有初始屈服应力的刚塑性硬化曲线型当有初始屈服应力σs时，其真实应力-应变曲线可表达为

式中，B1、m是与材料性能有关的参数。与塑性变形相比，由于弹性变形很小，可忽略。所以，这一形式为刚塑性硬化曲线型。刚塑性硬化曲线材料模型（三）有初始屈服应力的刚塑性硬化直线型为了简化计算，可用直线代替硬化曲线，则为线性硬化形式，其真实应力-应变曲线表达式为

式中，B2是强度系数。刚塑性硬化直线材料模型（四）无加工硬化得的水平直线型对于几乎不产生加工硬化的材料，此时n＝0，其真实应力-应变曲线是一水平直线，表达式为这是理想刚塑性材料模型。大多数金属在高温低速下的大变形及一些低熔点金属在室温下的大变形可采用无加工硬化模型假设。理想刚塑性水平直线材料模型如果要考虑弹性变形，则为理想弹塑性材料模型。高温低速下的小塑性变形，可近似认为是这种情况。以上所讨论的Y-∈曲线是在室温准静态下得到的。在不同的变形温度和变形速度下，Y-∈曲线有很大差别。有关变形温度和变形速度对应力-应变曲线的影响可参见有关著作。屈服准则的概念

屈服准则是材料质点发生屈服而进入塑性状态的判据，也称为塑性条件。对于单向拉伸或压缩的质点，可以直接用屈服应力σs来判断。在多向应力作用下，不能用一个应力分量来判断材料质点是否进入塑性状态，必须同时考虑所有应力分量。各应力分量之间符合一定关系时，质点才开始屈服。一般可表示为理想塑性材料的屈服准则

上式称为屈服函数，式中C是与材料性质有关而与应力状态无关的常数，可通过实验测得。理想塑性材料的屈服准则对于各向同性材料，由于屈服准则与坐标变换无关，因此可用主应力σ1、σ2、σ3来表示，同时考虑到应力球张量不影响材料质点的屈服，所以在屈服准则中，σ1、σ2、σ3应以、、的形式出现。即

对于各向同性材料，各项之前无须加权。Tresca屈服准则

1864年，法国工程师H.Tresca根据库仑（C.A.Coulomb）在土力学中的研究结果，并从自己所做的金属挤压实验所观察到的滑移痕迹出发，提出材料的屈服与最大剪应力有关，即当材料质点中最大剪应力达到某一定值时，该质点就发生屈服。或者说，质点处于塑性状态时，其最大剪应力是不变的定值，该定值取决于材料的性质，而与应力状态无关。所以Tresca屈服准则又称为最大剪应力不变条件。理想塑性材料的屈服准则理想塑性材料的屈服准则当σ1>σ2>σ3时，则式中常数C可通过单向拉伸实验来确定，单向拉伸屈服时σ1=σs、σ2=σ3=0

，可得C=σs/2

，则上式可写成理想塑性材料的屈服准则若不知主应力大小顺序，则Tresca屈服准则写成从纯数学角度出发，上式是满足式的最简单形式，三个式子只要满足一个，该点即发生屈服。Mises屈服准则

1913年，德国力学家VonMises提出另一个屈服准则，即当等效应力达到定值时，材料质点发生屈服。或者说，材料处于塑性状态时，其等效应力是不变的定值，该定值取决于材料的性质，而与应力状态无关。表达如下

理想塑性材料的屈服准则理想塑性材料的屈服准则常数C根据单向拉伸实验确定为σs，于是Mises屈服准则可写成上式是满足式的另一种形式，可以写成，因此只有应力偏张量第二不变量影响屈服。理想塑性材料的屈服准则将上式两边同乘以常数式中，E为弹性模量，ν为泊松比。上式左端表示变形体在三向应力作用下单位体积的弹性形变能。H.Henkey于1924年指出Mises屈服准则的物理意义是：当单位体积的弹性形变能达到某一常数时，质点就发生屈服。故Mises屈服准则又称为能量准则。则主应力空间中的屈服表面屈服准则的几何表达

以主应力为坐标轴可以构成一个主应力空间。在主应力空间中，任一应力点P(σ1,

σ2,

σ3)可用矢量OP来表示。过坐标原点O引等倾线ON，其方向余弦为，线上任一点的三个坐标分量均相等，即σ1=σ2=

σ3，表示球应力状态。由P点引一直线PM⊥ON，则矢量OP可分解为OM和MP，这时，OM表示应力球张量部分，MP表示应力偏张量部分。

屈服准则的几何表达屈服准则的几何表达根据Mises屈服准则，当时，材料就屈服，故P点屈服时有因此，若以M为圆心，为半径，在垂直于ON的平面上作一圆，则该圆上各点的应力偏张量的模都为，所以圆上各点都进入塑性状态。由于球应力OM不影响屈服，所以，以ON为轴线，以为半径作一圆柱面，则此圆柱面上的点都满足Mises屈服准则。这个圆柱面就是式在主应力空间中的几何表达，称为主应力空间中的Mises屈服表面。屈服准则的几何表达采用同样的分析方法，Tresca屈服准则的表达式（见下式）在主应力空间中的几何图形是一个内接于Mises圆柱面的正六棱柱面，称为主应力空间的Tresca屈服表面。屈服准则的几何表达主应力空间中的屈服表面屈服准则的几何表达由图可知，屈服表面的几何意义是：若主应力空间中一点的应力状态矢量的端点P位于屈服表面，则该端点处于塑性状态；若P点在屈服表面内部，则P点处于弹性状态。对于理想塑性材料，P点不能在屈服表面之外。平面应力状态的屈服轨迹

屈服准则的几何表达将σ3=0代入Mises屈服准则的表达式则有

这是坐标平面上的一个椭圆。屈服准则的几何表达两向应力状态的屈服轨迹屈服准则的几何表达为了清楚起见，把坐标轴旋转45°，则新老坐标的关系为得屈服准则的几何表达将σ1、σ2代入

整理得

上式是坐标平面上的椭圆方程，长半轴为，短半轴为，与原坐标轴的截距为。这个椭圆就是平面应力状态的Mises屈服轨迹，称为Mises椭圆。屈服准则的几何表达同样，将σ3=0代入Tresca屈服准则的表达式

可得平面应力状态的Tresca屈服准则

上式中每一个式子表示两条互相平行且对称的直线，这些直线在σ1–

σ2平面上构成一个内接于Mises椭圆的六边形，这就是平面应力状态的Tresca屈服轨迹，称为Tresca六边形。屈服准则的几何表达任一平面应力状态都可用σ1–

σ2平面上一点P表示，并可用矢量OP来表示。如P点在屈服轨迹的里面，则材料的质点处于弹性状态，如P点在轨迹上，该质点处于塑性状态。对于理想塑性材料，P点不可能在轨迹的外面。屈服准则的几何表达由图可知，两个屈服轨迹有六个交点，在六个交点处两屈服准则是一致的。它们都表示两向主应力相等的应力状态，其中与坐标轴相交的四个点A(σs,

0)、E(0,σs)、G(-σs,0)、K(0,-σs)表示单向应力状态，另与椭圆长轴相交的两个点是C(σs,σs)、I(-σs,-σs)；屈服准则的几何表达两屈服轨迹不相交的地方，Mises椭圆上的点均在Tresca六边形之外，表示按Mises屈服需要较大的应力，两准则差别最大的有六个点（B、D、F、H、J、L），它们的坐标可分别由式对σ1和σ2求极值得到。其中两个点F、L表示纯剪应力状态，另四个点是B、D、H、J，这六个点的中间应力等于平均应力，它们既表示平面应力状态又表示平面应变状态，两个屈服准则相差达到15.5%。屈服准则的几何表达π平面上的屈服轨迹

屈服准则的几何表达在主应力空间中，通过坐标原点，并垂直于等倾线ON的平面称为π平面，其方程为π平面与两个屈服表面都垂直，故屈服表面在π平面上的投影是半径为的圆及其内接正六边形，这就是π平面上的屈服轨迹。屈服准则的几何表达π平面上的屈服轨迹屈服准则的几何表达在π平面上σm=0

，说明π平面上任一点无应力球张量的影响，任一点的应力矢量均表示偏张量。因此，π平面的屈服轨迹更清楚地表示屈服准则的性质。例如，三根主应力轴在π平面上的投影互成120°角，如标出负向时，就把π平面及其面上的屈服轨迹等分成60°角的六个区间，每个区间内的应力大小次序互不相同，三根主应力轴上的点都表示（减去了球张量）单向应力状态。与主应力轴成30°交角线上的点则表示纯剪应力状态。由于六个区间的轨迹是一样的，所以，实际上只要用一个区间（如图σ1>

σ2>

σ3中）就可以表示出整个屈服轨迹的性质。两个屈服准则的统一表达式如果已知三个主应力的大小顺序，设为σ1>

σ2>

σ3，则Tresca屈服准则只需用线性式σ1-

σ3=σs就可以判断屈服，但这一准则未考虑中间主应力σ2的影响。而Mises屈服准则则考虑了中间主应力σ2对质点屈服的影响。两个屈服准则的统一表达式为评价σ2对屈服的影响，引入Löde应力参数

两个屈服准则的统一表达式

上式中的分子是三向应力莫尔圆中σ2到大圆圆心的距离，分母为大圆半径。当σ2在σ1与σ3之间变化时，μσ则在1～-1之间变化。因此，μσ实际上表示了σ2在三向莫尔圆中的相对位置变化。应力莫尔圆两个屈服准则的统一表达式由上式可以解出σ2

将σ2代入Mises屈服准则两个屈服准则的统一表达式整理后得令β称为中间主应力影响系数，或称应力修正系数则两个屈服准则的统一表达式

对比式σ1-

σ3=β

σs和Tresca屈服准则式σ1-

σ3=σs可知，Mises屈服准则与Tresca屈服准则在形式上仅差一个应力修正系数。两准则一致，应力状态中有两向主应力相等；两准则相差最大，为平面变形应力状态。两个屈服准则的统一表达式设K为屈服时的最大剪应力，则于是，两个屈服准则的统一表达式为

对于Tresca屈服准则，K=0.5σs对于Mises屈服准则，K=(0.5～0.577)σs。

两个屈服准则的统一表达式

屈服准则起初都以假设形式提出的，是否符合实际，还需要通过实验来验证。验证方法很多，复合拉、扭下的薄壁金属圆管的屈服实验是一较为简单的验证方法。也可用轴向拉力与内压力联合作用的屈服实验。大量实验表明，Tresca屈服准则和Mises屈服准则都与实验值比较吻合，除了退火低碳钢外，一般金属材料的实验数据点更接近于Mises屈服准则。以上所讨论的屈服准则只适用于各向同性的理想塑性材料。对于应变硬化材料，可以认为初始屈服仍然服从前述的准则，产生硬化后，屈服准则将发生变化，在变形过程的每一瞬时，都有一后续的瞬时屈服表面和屈服轨迹。

应变硬化材料的屈服与加载表面后续屈服表面（加载表面）的详细讨论涉及到一些相当复杂的问题，目前只能提出一些假设，其中最常见的是“各向同性硬化”假设，即“等向强化”模型。其要点为：1)材料应变硬化后仍然保持各向同性；

2)应变硬化后屈服轨迹的中心位置和形状保持不变。

应变硬化材料的屈服与加载表面因此，对应于Mises屈服准则和Tresca屈服准则，等向强化模型的后续屈服轨迹在π平面上是一系列扩大且同心的圆和正六边形。各向同性应变硬化材料的后续屈服应变硬化材料的屈服与加载表面一般金属材料的拉伸和压缩试验曲线在小弹塑性变形阶段基本重合，但在大塑性变形阶段有显著的差别。一般应变量不超过10%时，可认为两者一致，但精确的试验发现某些高强度合金钢的σs和E在拉伸和压缩的情况下有区别。因此，对于一般金属材料，在变形不大的情况下，用简单拉伸试验代替简单压缩试验进行强度分析是安全的，但对于拉伸和压缩曲线有明显区别的材料如铸铁、混凝土等则需另做专门研究。应变硬化材料的屈服与加载表面压拉σ51015ε/%拉伸和压缩试验曲线应变硬化材料的屈服与加载表面试验研究表明，单向拉伸试验的初始屈服应力和单向压缩试验的初始屈服应力绝对值相等，如在图中均为σs

。但当试样在一个方向加载（例如拉伸）超过屈服点到达A点后，卸载到零（B点），然后再在反方向加载（即压缩），则发现反向加载时的屈服点c的应力σs”不但比A点的σs’小，而且小于初始的屈服应力σs。这一随加载路线和方向不同而屈服应力降低的现象称为Bauschinger效应。考虑这一效应会给处理塑性理论带来很大困难，一般塑性理论中都不加考虑。Bauschinger效应会使材料产生各向异性，在交变加载的过程中应注意。应变硬化材料的屈服与加载表面Bauschinger效应σε＋σs－σsσs”σs’oABC应变硬化材料的屈服与加载表面屈服轨迹的形状由应力状态函数f(σij)决定，而轨迹的大小取决于材料的性质。因此，应变硬化材料的屈服准则可表示为对于理想塑性材料，流动应力Y=σs，而对于硬化材料，Y是变化的。关于Y的变化有两种假设：一种是单一曲线假设，认为Y只是等效应变的函数，而与应力状态无关。可用单向拉伸的流动应力与真实应变的函数关系来替代Y与等效应变的关系。另一种是“能量假设”，认为硬化取决于塑性变形功，与应力状态和加载路线无关。前一种假设，形式简单，使用方便，被广泛应用。应变硬化材料的屈服与加载表面后续屈服准则也叫加载函数。由于各向同性应变硬化材料的硬化曲线是等效应力的单调增加函数，故对硬化材料有三种不同情况：

2)

当时，为卸载，表示应力状态从屈服轨迹向内移动，发生了弹性卸载。

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