解析几何最值问题的解法

解析几何最值问题的解法上海市松江一中陆珲解析几何的最值问题是高中数学的难点和重点，也是数学竞赛和高考的常见题型。由于高中解析集合研究的都是二次曲线，所以通常情况下，解此类问题的方法和解函数中的求最值问题方法类似，常用下面几种方法：1、化为二次函数，求二次函数的最值；2、 化为一元二次方程，利用△；3、 利用不等式；4、 利用函数的单调性和有界性；5、 利用几何法。在解此类问题时，以上方法也可能会混合运用。同时，恰当利用解析几何中二次曲线定义和性质，或利用参数方程，或建立适当的坐标系，也可以简化问题，方便解题。例题1:如图已知P点在圆x2+(y-4)2二1上移动,Q点在椭圆扌+y2=1上移动，求|PQ|的最大值。［分析：如图先让Q点在椭圆上固定，显然PQ通过圆心O时IPQI最大，因此要IPQ|的最大值，1只要求IOQI的最大值。］1解：设Q点坐标(x,y)，则IOQI2二x2+(y—4)2①，1把②代入①得|OQ|2二9(1—y2)+(y-4)2=—8(y+丄)2+2712•/q点在椭圆上移动，.•.—1<y<1 /.y=——时’丨OQ丨=\21=3\:32 1min.•」PQ|=3、込+1min说明：此解法就是典型的运用化为二次函数，通过求二次函数的最值来解决问题。但是在利用二次函数求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得的模式，首先要求出定义域，然后再看顶点是否在定义域内，若在，则可套用，若不在，则要按二次函数在其定义域内的单调性来判定。例题2：如图，定长为3的线段AB的两端在抛物线y2=X上移动，且线段中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。解法一：化为一元二次方程，利用△［分析：点M到y轴的最短距离，即求点M横坐标的最小值。］设A(x,y),B(x,y),M(x,y)则解法一：化为一元二次方程，利用△1122x+x=2x12y+y=2y12<y2=x11y2=x22(x—x)2+(y—y)2=91212③④代入⑤，整理得(y—y)2r(121(y12+打-2y1y2)r(叮y2)2+9由①③④得y2+y2=x+x=2x1212②代入上式得2yy=4y2—2x12②⑦⑧代入⑥并整理得16y4+(4-16x)y2+9-4x=0•/ygR，.」△=(4—16x)2—64(9—4x)>0，即(4x—5)(4x+7)>0

4x+7>0,「.x>5，将x二5代入⑨得y=±^-24 4 2所以AB中点M到y轴的最短距离是5，相应的点M的坐标为（扌,亭）或说明：此类解法是学生比较容易掌握的方法，解题时将未知的元素都进行适当的假设，并通过已知条件找出它们与解题目标的关系并化为一元二次方程，利用△计算。在运用此法时，不仅要判断方程是否有解，还应注意方程解的特点，如正负根等，此时可进一步应用方程的根与系数的关系（韦达定理）等进行讨论和判断。同时，此类解法字母较多，计算量大，解题时应更加仔细。解法二：利用不等式同解法一，得⑨，整理得（16y2+4）x=16y4+4y2+9，x=y2+ 9 =161+ 9 -1>2,'T-1=516y2+4 16 16y2+44 \16 4 4以下同前。说明：利用不等式性质（a,beR+,a+b>2、而,a=b时等号成立）的解法也是比较常用的解题方法，但是应用时应该考虑不等式性质成立的前提和性质的特点，在进行计算式变形时目的要明确，同时等号成立是变量的取值要最关注到位。若题设条件无法在a=b时取得最值，则应利用函数的单调性和有界性求得值。解法三：几何法

如图设A(m2,m),B(n2,n)则以AB为直径的圆为m±^）代入上式得,(x-m2)(x-n2)+(y-m)(y-n)=0准线如图设A(m2,m),B(n2,n)则以AB为直径的圆为m±^）代入上式得,441 1 m+n m+n 1(--m2)(--n2)+( -m)( -n)二(mn(--m2)(--n2)+( -m)( -n)二(mn+—)2>04 4 2 2 4故准线x二-1与圆相离或相切，又圆半径为3，圆与准线相切时，即mn二-14 2 4点m的纵坐标m2n=±卜m2+”2+2和=±{m2+n2mn+=±4 2所以点M的坐标为弓，¥）或（5，-¥）说明：利用几何法的前提是对曲线的概念和性质有充分的理解，并对题设条件具有相当的迁移能力。例题3：在半径为r的圆o中，ab»2r，点p为Ab上一动点，过点p作ab设P点坐标(Rcos0,Rsin9)，0e(45。,135。)Rcos0+^2R□Rsin0-R=1R22]222R2=8R2:S=1□APQ 2=1R2-1(cos0-sin0+込2+1<12 2 2 4 2血02討°-血°)-2当皿0-sin0+f=0，即0二75。时［S□APQ」二1R2max8解法二：如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系。因为△AOB为等腰直角三角形，所以圆心O坐标为(吕R‘耳R)，圆方程为(x£R)2+(y+寻R)2=R2，即x2+y2-皿+桓Ry-0(x-y)2+2xy-g-y)二0•••xy一如-y)2送R(x-y)设P点坐标(x,y)，则点P的坐标满足上式,二\apq=2xy一4(x-y)2+寻R(x-y)•/0<x—y0\：2R :.当x一y='R日寸,^2S□APQ