数值分析 实验报告四

数学与信息工程学院实验报告课程名称：计算方法实验室：7404实验台号：班级：11数学（1）班姓名：陈露实验日期：2014年5月21日实验名称线性方程组迭代解法及常微分方程数值解法实验目的和要求1.Jacobi迭代法的Matlab实现；2.G-S迭代法的Matlab实现；3.选做：超松弛迭代法。4．Euler法的Matlab实现； 5．改进Euler法的Matlab实现实验内容和步骤：实验内容：Thelinearsystemhasthesolution,Usethejacobimethodwithtoapproximatethesolutiontothelinearsystemtowithininthenorm.ProgramtheG-Smethodandtestitontheseexamples:.3、给定初值问题（1）用欧拉法（h=0.05）求数值解。（2）用改进欧拉法（h=0.05）求数值解。实验步骤：Jacobi迭代法实验编程1.新建M文件JacobiIteration.m输入：functionx=JacobiIteration(A,b,x0,delta,l)%用Jacobi迭代法解线线性方程组AX=b,x0为初始向量(以行向量的形式输入)，%delta为给定的误差限,l为给定的最大迭代次数。[n,m]=size(A);ifn~=mfprintf('系数矩阵行列不相等');returnendifn~=length(b)fprintf('系数矩阵与常数项矩阵的维数不相等');returnendfori=1:nifabs(A(i,i))<1e-10fpritf('失败信息：因为系数矩阵的主对角线元素近似为0，Jacobi迭代失败。');returnendendifnargin<3%如果只输入前两个变量的值，则初值取零向量x0=zeros(1,n);endifnargin<4delta=1e-6;endifnargin<5l=100;endfork=1:lfori=1:nx(i)=(b(i)-A(i,1:n)*x0'+A(i,i)*x0(i))/A(i,i);endifmax(abs(x-x0))<deltafprintf('经过%3d次迭代，得到近似解为：',k);returnendx0=x;endfprintf('迭代了%3d次，还是没有达规定的误差要求',l);2.在MATLAB工作窗口输入：>>A=[12-2;111;221];b=[725]';x0=[000];delta=10^(-5);l=100;>>x=JacobiIteration(A,b,x0,delta,l)运行结果经过4次迭代，得到近似解为：x=12-1G-S迭代法1）实验编程1.新建M文件GaussSeidel.m输入：functionx=GaussSeidel(A,b,x0,delta,l)%用高斯-塞德尔迭代法解线线性方程组AX=b,x0为初始向量(以行向量的形式输入)，%delta为给定的误差限,l为给定的最大迭代次数。[n,m]=size(A);ifn~=mfprintf('系数矩阵行列不相等');returnendifn~=length(b)fprintf('系数矩阵与常数项矩阵的维数不相等');returnendfori=1:nifA(i,i)==0fpritf('系数矩阵的主对角元有零元素');returnendendifnargin<3x0=zeros(1,n);endifnargin<4delta=1e-6;endifnargin<5l=100;endx=zeros(1,n);fori=1:nx(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)'+A(i,i+1:n)*x0(i+1:n)')/A(i,i);endifmax(abs(x-x0))<deltafprintf('经过%3d次迭代，得满足规定精度的近似解为：',k);x=x0;returnendend2.在MATLAB工作窗口输入：>>A=[311;13-1;31-5];b=[53-1]';x0=[000];delta=10^(-5);l=100;>>x=GaussSeidel(A,b,x0,delta,l)运行结果经过4次迭代，得到近似解为：x=1.66670.44441.2889Euler法实验编程1.建立名为f.m的M文件输入：functionf=f(x,y)f=1./(x.^2)-y./x;2.建立名为euler.m的M文件输入：function[x,y]=euler(f,x0,y0,b,n)h=(b-x0)/n;x(1)=x0;y(1)=y0;fork=1:ny(k+1)=y(k)+h*feval(f,x(k),y(k));x(k+1)=x(k)+h;end3.在MATLAB工作窗口输入：>>x0=1;y0=1;b=2;n=20;[x,y]=euler('f',x0,y0,b,n)2）运行结果x=Columns1through111.00001.05001.10001.15001.20001.25001.30001.35001.40001.45001.5000Columns12through211.55001.60001.65001.70001.75001.80001.85001.90001.95002.0000y=Columns1through111.00001.00000.99770.99370.98830.98180.97460.96670.95830.94960.9406Columns12through210.93150.92230.91300.90370.89440.88520.87600.86690.85800.8491改进Euler法实验编程1.建立名为f.m的M文件输入：functionf=f(x,y)f=1./(x.^2)-y./x;2.建立名为EulerModi.m的M文件输入：function[x,y]=EulerModi(f,x0,y0,b,n)h=(b-x0)/n;x(1)=x0;y(1)=y0;fork=1:nx(k+1)=x(k)+h;yy=y(k)+h*feval(f,x(k),y(k));y(k+1)=y(k)+h/2*(feval(f,x(k),y(k))+feval(f,x(k+1),yy));end3.在MATLAB工作窗口输入：>>x0=1;y0=1;b=2;n=20;>>[x,y]=EulerModi('f',x0,y0,b,n)2）运行结果x=Columns1through111.00001.05001.10001.15001.20001.25001.30001.35001.40001.45001.5000Columns12through211.55001.60001.65001.70001.75001.80001.85001.90001.95002.0000y=Columns1through111.00000.99890.99580.99110.98530.97860.97110.96310.95470.94600.9371Columns12through210.92800.91880.90960.90040.89130.88220.87320.86420.85540.8467实验结果分析：1.用Jacobi迭代法可算出方程组的解：（1，2，-1），迭代次数4次。用G-S迭代法算出方程组的解：（1.6667，0.4444，1.2889），且迭代解比较发散。2.Euler法和改进的Euler法相比较，改进的Euler法的计算精度更高，相对误差也比较小。因此在求解微分方程的数值解时，改进的Euler法优于Euler法。3.在上述两种方法中当步长h越小则计算精度越高，相对误差较小。因此，计算能力允许的范围内，选取步长越小可以得到更加精确的结果。4.在利用这两种方法计算数值解的过程中，前一次迭代的结果会对下一轮求得的数值产生影响。因此，一旦上一轮迭代所得的结果有偏差，下一轮结果的偏差将大于上一轮的偏差。因此会导致伴随迭代次数