专题02-新定义型问题（原卷版）-中考数学二轮提升演练

专题02二轮复习之新定义型问题一、中考专题诠释二、解题策略与解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及问题解决的思想方法，二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例1 ．阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°＝，cos30°＝，则sin230°+cos230°＝；①sin45°＝，cos45°＝，则sin245°+cos245°＝；②sin60°＝，cos60°＝，则sin260°+cos260°＝．③…观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A＝．④（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA＝，求cosA．对应训练1.我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是△ABC的重心（如图1），连接AO并延长交BC于D，证明：；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值．考点二：运算题型中的新定义例2定义新运算：对于任意实数，a、b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5（1）求x⊕（﹣4）＝6，求x的值；（2）若3⊕a的值小于10，请判断方程：2x2﹣bx﹣a＝0的根的情况．对应训练2．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．（1）如果[a]＝﹣2，那么a的取值范围是．（2）如果[]＝3，求满足条件的所有正整数x．考点三：探索题型中的新定义例3定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5对应训练3．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；（2）如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求证：△ABC是“好玩三角形”；（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．①当β＝45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值；②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．（4）（本小题为选做题）依据（3）的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）考点四：开放题型中的新定义例4若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝120°，∠C＝75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．对应训练4．用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数为a，内部的格点个数为b，则S＝a+（b﹣1）．对于正三角形网格中的类似问题也有对应结论：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，如图是该正三角形格点中的两个多边形（设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数为m，内部的格点个数为n）：（1）根据图中提供的信息填表：mn﹣1s多边形111315多边形28110…………（2）则S与m、m﹣1之间的关系为（用含m、n的代数式表示）．考点五：阅读材料题型中的新定义例5 对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B＝（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（﹣5，4），B（2，﹣3），A⊕B＝（﹣5+2）+（4﹣3）＝﹣2，若互不重合的四点C．D，E，F，满足C⊕D＝D⊕E＝E⊕F＝F⊕D．则C，D，E，F四点都在直线上．对应训练5.阅读理解：一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝9，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为7，宽为3，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．四、中考真题演练一．选择题（共5小题）1．在平面直角坐标系中，下列函数图象经过原点的是（）A．y＝﹣2x+3 B．y＝ C．y＝x（x﹣2） D．y＝x﹣12．若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．90° B．120° C．150° D．180°3．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[]＝5，则x的取值可以是（）A．51 B．45 C．40 D．564．对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）＝（a，﹣b）．如f（1，2）＝（1，﹣2）；g（a，b）＝（b，a）．如g（1，2）＝（2，1）．据此得g（f（﹣3，﹣7））＝（）A．（﹣3，﹣7） B．（7，3） C．（7，﹣3） D．（﹣7，﹣3）5．连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）A． B． C． D．二．填空题（共3小题）6．定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为30°，那么这个“特征角”α的度数为．7．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有条．8．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+，则（x）＝n．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．给出下列关于（x）的结论：（1）（1.493）＝1；（2）（2x）＝2（x）；（3）（x﹣1）＝4，则实数x的取值范围是9≤x＜11；（4）当x≥0，m为非负整数时，有（m+2015x）＝m+（2015x）；（5）（x+y）＝（x）+（y）；其中，正确的结论是（填写所有正确的序号）．三．解答题（共4小题）9．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．10．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A、B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．11．我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B＝∠C．（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B＝∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：＝；（3）如图3，在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E．若EB＝EC，则四边形ABCD是不是“准等腰梯形”？请说明理由．12．对于平面直角坐标