高中数学复数的概念与运算的考点解析及例题辅导

复数的概念与运算

知识点归纳:

1,虚数单位九⑴它的平方等于-1,即Z2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行

四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.

2.i与一1的关系：i就是一1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程/=-1的

另一个根是一i.

3.i的周期性：严、，产+2=；,4+3=[,严=].

4复数的定义：形如。+次(a,beR)的数叫复数，a叫复数的实部，匕叫复数的虚部•全

体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*.

3,复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z=a+阳a为eR),把复数表示成。+bi

的形式，叫做复数的代数形式.

4.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+加,当且仅当b=0

时，复数。+bi(。、bCR)是实数a；当b¥0时，复数z=a+b/叫做虚数；当a=0且bNO时，

z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=O时，z就是实数Q

5,复数集与其它数集之间的关系：NMSQMR圭C

6,两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个

复数相等•即：如果a,b,c,dGR,那么a+b/=c+di=a=c,b-d.

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小,如果两个复数都是实数，就

可以比较大小.也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.

7,复平面、实轴、虚轴：yZ(a.b)

b■»

点z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、bGR)可用点

Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，

也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.旷丁艾

实轴上的点都表示实数.

对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0/=0表示是

实数,故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数Z=a+4<~~^~»复平面内的点Z(a,A)

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个

点，有惟一的一个复数和它对应.

这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.

8.复数21与z2的和的定义：z1+z2=(o+fe/j+(c+d/)=(a+c)+(fa+d)/.

9.复数Zi与z2的差的定义:zrz2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

10.复数的加法运算满足交换律:Z1+Z2=Z2+Z].

11.复数的加法运算满足结合律：(Zi+Z2)+Z3=Zi+(Z2+Z3).

1

12.乘法运算规则：设z^a+bi,z2=c+di(a^b、c、d^R)是任意两个复数，那么它们的

^(a+bi)(c+di)-(ac—bcl)+(bc+acl)i.

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把『换成一1,并且

把实部与虚部分别合并,两个复数的积仍然是一个复数，

13.乘法运算律：

)(()；)(；

(1Z1Z2Z3)=Z1Z2Z3(2Z1Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3(3)Z1(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3.

14除法运算规则：

a+bi_(a+bi)(c-di)_ac+bdbe—ad.

c+di(c+di)(c-di)c2+d2c~+d2

15*.共枕复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共聊

复数.虚部不等于0的两个共掘复数也叫做共辄虚数.

复数z=a+bi和z=。-bi(a、beR)互为共辄复数.

16.复数加法的几何意义：如果复数Zi，Z2分别对应于向量而、西，那么，以。心、

。。2为两边作平行四边形。P15P2,对角线。5表示的向量方就是Z1+Z2的和所对应的向量.

17.复数减法的几何意义：两个复数的差z-zi与连接这两个向量终点并指向被减数的向

量对应.

18.复数的模：lzlTa+4数应/J/+从

题型讲解：

例1计算(l+2i)+(3—4i).

11。•

解：(1+万)+(3-旬=——-

3-4/

(1+2z)(3+4z)3-8+6z+4z-5+10/12.

一(3—4i)(3+4i)-32+42-25—55

^^(1-4z)(l+z)+2+4/

例2计算^-------------------.

3+4i

(1-4/)(1+/)+2+4/1+4-3/+2+4z

解：------——二-------=-------------

3+4z3+4/

_7+z_(7+/)(3-4z)

-3+4广―32+42―

21+4+3"28i25-25/,.

=---------=-----=1-1.

2525

2

例3在复平面内，若[=m2(1+。—m(4+i)—6i所对应的点在第二象限，则实数m

的取值范围是()

A.(0,3)B.(-00,-2)C.(-2,0)D.(3,4)

解：可用直推法，'/z=(tn2-4m)+(m2-m-6)z

z所对应的点在第二象限

m~-4ni<0且〃/一加一6>0

0<机<4且根>3或加<-2

.•.me(3,4)故选D.

例4已知Z是复数，z+2i,工均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面上对

z—1

应的点在第一象限，求实数。的取值范围.

解：设z=x+)论、y£R),

/.z+2i=x+(>?+2)i,由题意得y=-2.

7Y—2i111

=.■=-U—2i)(2+i)=-(2x+2)+-(x—4)i.

乙~~1L-13DD

由题意得x=4,，.4一2i.

(z+〃i)2=(12+4〃—a2)+8(〃-2)i,

"2

根据条件，已知12+4"。解得2<a<6,

8(a-2)>0,

.••实数。的取值范围是(2,6>

例5设26放6(：,满足廿一22)&2+22)是纯虚数，求x,y应满足的条件，

解:设㈠一a2)/(z2+a2)=ki(kdR,k#0)

贝ijz2—a2=ki(z2+a2)=>z2(l—ki)=a2(l+ki),

,,,,[x2-y2+2xyk^a2

/.(x2—y2+2xyi)(l—ki)=a2+a2ki=><,

(y2-x2)k+2xy=a2k

消去参数k即得:x^y^a2,

点评：⑴纯虚数的概念；⑵虚部的概念；⑶化复数问题为实数问题的化归思想(设

z=a+bi(a,b£R));⑷若两个复数能比较大小，则它们都是实数,⑸实轴和虚轴的概念.

例6设复数z=lg(zw2—2w—2)+(“Z2+3〃2+2)i,试求实数加取何值时，⑴z是纯

虚数；(2)z是实数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限.

剖析：利用复数的有关概念易求得.

解：(1)由lgCm2—2m~2)=0,m之+3m+2W0,得〃?=3.

(2)由/H2+3/H+2=0,得1或m=—Z

(3)由1g(毋一2〃?-2)<0,,/+3刃+2>0,

得一1V/wV1—V3或1+旧</n<3.

点评：对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共加复数的概念的运用也是这

样，

3

例7设zGC,求满足z+’GR且反一21=2的复数Z.

分析：设ZR+砥OGR),代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得％人的两个

方程

解法一：设Z=Q+历，

贝ljz+-=a+bi+―—=a+hi+~”

za+hi〃~+Zr

h

=ci-\—----+(/?)i£R

a2+b2VTbi

b=—7—~~-r.**•b=0或a2+b2=\

a2+b2t

当方=0时，z=a,

\a—21=2.:.a=O或4

〃=0不合题意舍去，.*.z=4

当bW0时,a2+b2=\.

又丁Iz—21=2,，(。-2)2+/A=4

WY'了〃=—,b=i---,••z=-土----i«

4444

综上，2=4或7='±』^1.

44

解法二：Vz+ieR,

z

.1一-1

••ZH—=Z+=•

zz_

—7—7—|7|~"—1

；・(z-z)--=0,(z-z)•-----=0.

zzIzl2

Z=Z或0=1,卜同解法一.

点评：解法一设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究;解法二利用复

数是实数的条件复数问题实数化.这些都是解决复数问题的常用方法.

例8已知zt=x2+\lx2+1i,Z2="+4)i对于任意x6R均有比1>电1成立，试求实数a

的取值范围.

分析：求出㈤及出，利用。1>近1问题转化为xeR时不等式恒成立问题.

4222

解：Vlz]l>l22l,x+x+1>(x+a).

/.(I-方我2+(1—7)>0对xGR恒成立.

当1-2〃=0,即。=，时，，不等式成立;

2

1-2。>0

当l—2〃W0时,

-4(l-2t7)(l-a2)<0

=>—l<a<—.

2

综上，〃《(一1,—].

2

点评：本题利用复数的性质求模之后，转化为求含参数的二次不等式的参数取值范围.

4

例9设z是虚数，3=z+」是实数，且一1<。<2

Z

(1)求Izl的值及Z的实部的取值范围；

(2)设"=上工，求证：〃为纯虚数；

I+Z

(3)求。-'/的最小值.

⑴解:设ZR+历(a、bGR,6W0),

贝lju=a+bi+——=(。+—--)+(/7——―7)i'

a+bia+ha+b

•・•3是实数，b#0,

.'.«*243-£>2=1,即lzl=L

*/3二2〃，一IV3V2,

...z的实部的取值范围是(一L，1〉

2

z\'-cunl-Z\-a—b\

(o2)证明：u=----=--------；

1+zl+a+bi

_(1-Q-Z?i)(l+a-bi)

(1+a+bi)(l+a-bi)

l-a2-b2-2bib.

(l+«)2+h2a+1

1),后0,

2

，"为纯虚数.

(3)解：3—u2=2a-i——

3+1)2

,1-a2与a-1

=2a+---------=2a------

(a+1)2a+1

2

=2a-1+-----

a+1

=2[(tz+1)H-------]-3.

a+1

V«G(-1,1),.,・〃+l>0,

2

3—〃222X2—3=L

当a+l=」一,即a=0时，上式取等号.

<74-1

/.。一/的最小值为1.

小结：

1,复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行.

2求解计算时，要充分利用i的性质计算问题，

3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用.

4复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有

5

关概念和两个复数相等的充要条件.

练习:

L数=3+Z,z2=1-Z,则z=%•%2在复平面内的对应点位于0

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

答案：D

2,已知z=l-"则在复平面上与点对应的点所在的象限是0

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

答案：B

31已知复数z=一加一2)+(/n2-3m+2)i对应的点位于复平面的虚轴上，则实数m

为()

A1B-1或2C-lD2

答案：C

4i+i2+j3+…+?005的值等于()

A1B-1CiD-i

答案：C

5复平面内若复数Z=，"2(l+i)一〃?(1+i)—6i所对应的点在第二象限则实数机的取值

范围是()

A.(0,3)B,(-2,0)C.(3,4)D.(-oo,-2)

答案：C

&已知Z”Z2是复数，以下四个结论正确的是()

①若zt+z2=0,则Z]=0〃2=0

②若㈤+同=0-则Z]+z2=0,则石=0,z2=0

③若&+4=0,则Z]=0

④若㈤=%|，则向量与。/重合

A,仅②正确B,仅②③正确C.②③④正确D,仅②④正确

答案：A.

「7.i—2的共聊复数是

A.2+iB.2—IC.—2+iD.—2—i

6

解析：由共匏复数的定义知选D.

答案：D

8,计算(2+i)+(3+i3)+(4+尸)+(5+i7)(其中i为虚数单位)的值是

A.10B.12C.14D.16

解析：(2+i)+(3+『)+(4+i5)+(5+i7)=2+3+4+5=14

答案：C

9•设复数3=—,+立力则1+3等于

22

211

A*-3B,3~C——D.——

CD①一

解析：1+<^=—+^-\=-(—-—i)=—-.

2222/

答案：C

10.复数Z|=3+i,Z2=l—i，则Z=Z1•Z2在复平面内的对应点位于

A.第一象限B.第二象限C第三象限D.第四象限

解析：z