2023届四川省达州市高三二模数学试题（理）（解析版）

高级中学精品试卷PAGEPAGE1四川省达州市2023届高三二模数学试题（理）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.〖-1，4〗 B. C.(-1，4) D.〖-1，4)〖答案〗B〖解析〗，因为，所以.故选：B.2.复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，故选：B.3.在等比数列中，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设等比数列的公比为，则，所以，.故选：D.4.命题p：，，则为（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗因为对全称量词的否定用特称量词，所以命题p：，的否定为：，.故选：D.5.设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（）A.5 B.6 C.8 D.12〖答案〗C〖解析〗双曲线C：，则，，由双曲线的定义知：，，，所以.故选：C.6.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，，故选：C7.果树的负载量，是影响果树产量和质量的重要因素.苹果树结果期的负载量y（单位：kg）与干周x（树干横截面周长，单位：cm）可用模型模拟，其中，，均是常数.则下列最符合实际情况的是（）A.时，y是偶函数 B.模型函数的图象是中心对称图形C.若，均是正数，则y有最大值 D.苹果树负载量的最小值是〖答案〗C〖解析〗因为的定义域为，不关于原点对称，故A不正确；模型函数的图象也不可能是中心对称图象，故B不正确；，则或，若，，均是正数，则，令，则；令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，y有最大值，故C正确；，若，则，函数在上单调递增，所以，苹果树负载量的最小值不是，故D不正确.故选：C.8.已知向量满足，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如下图所示：圆的半径为1，设，因为，所以点在圆上，则，由图可知，，即的最大值为.故选：A.9.三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面平面有两个内角分别为和，则球的表面积不能是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图取中点为，连接因为平面平面，平面平面，又，中点为，所以，又平面，所以平面因为，所以，有两个内角分别为和，所以为直角三角形①当为斜边时，连接则在中，，即，所以为三棱锥的外接球球心，为半径，所以球的表面积为；②当为内角所对的边时，则不妨取，取中点，连接则在中，，则，所以，因为分别为中点，所以，又平面，平面，所以，则，所以为三棱锥的外接球球心，为半径大小所以球的表面积为；③当为内角所对的边时，则不妨取，取中点，连接则在中，，则，所以，因为分别为中点，所以，又平面，平面，所以，则，所以为三棱锥的外接球球心，为半径大小所以球的表面积为；综上，球的表面积为.故选：C.10.如图，在中，，，，平面内的点、在直线两侧，与都是以为直角顶点的等腰直角三角形，、分别是、的重心.则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由平面向量数量积的定义可得，解得，延长交于点，延长交于点，则、分别为、的中点，因为、均是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，，所以，，，则，，因为、分别是、的重心，则，，又因为，同理可得，所以，，由余弦定理可得，因此，.故选：A.11.把腰底比为（比值约为，称为黄金比）的等腰三角形叫黄金三角形，长宽比为（比值约为，称为和美比）的矩形叫和美矩形.树叶、花瓣、向日葵、蝴蝶等都有黄金比.在中国唐、宋时期的单檐建筑中存在较多的的比例关系，常用的纸的长宽比为和美比.图一是正五角星（由正五边形的五条对角线构成的图形），.图二是长方体，，.在图一图二所有三角形和矩形中随机抽取两个图形，恰好一个是黄金三角形一个是和美矩形的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在如下图所示的正五角星中，该图中共有个三角形，且等腰的腰底之比大于，等腰的腰底之比小于，且，则等腰的腰底之比为，则在该五角星中，黄金三角形的个数为，在如下图所示的长方体中，，，则，，，所以，矩形、均为和美矩形，所以，长方体中共个矩形，其中和美矩形的个数为，所以，图一和图二中共个三角形，个矩形，在图一图二所有三角形和矩形中随机抽取两个图形，恰好一个是黄金三角形一个是和美矩形的概率为.故选：A.12.点均在抛物线上，若直线分别经过两定点，则经过定点，直线分别交轴于，为原点，记，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，由题易知直线斜率均存在，设直线方程为，，由，消得，即，由韦达定理得，所以，代入，得到，所以，设直线方程为，，由，消得，即，由韦达定理得，所以，又因为，所以，代入，得到，所以，所以直线的斜率为，所以的方程为，即所以，即，故直线过定点，令，得到，所以，所以，，又因为，所以，所以，，又，所以，又由柯西不等式知当且仅当，即时，取等号，所以，即，故选：D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若展开式的二项式系数和为64，则展开式中系数为___________.〖答案〗〖解析〗依题意的展开式的二项式系数和为，所以，即.二项式展开式的通项公式为.令，所以展开式中含的系数为.故〖答案〗为：14.函数的部分图象如图，是曲线与坐标轴的交点，过点的直线与曲线的另一交点为．若，则___________.〖答案〗〖解析〗由题设，过，，则，即，又，则，故且，即，，显然，则，故且，可得，综上，当时，，故，故.故〖答案〗为：.15.如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________.〖答案〗〖解析〗设，其中，，，，因为平面，则、、共面，显然、不共线，所以，存在、，使得，即，因为为空间中的一组基底，所以，，解得，因此，.故〖答案〗为：.16.是数列前项和，，，给出以下四个结论：①；②；③；④.其中正确的是___________（写出全部正确结论的番号）.〖答案〗①②③〖解析〗对于①，因为，，所以，，所以，数列为常数列，则，所以，，①对；对于②，，令，则，所以，数列为等差数列，因此，，②对；对于③，设，其中，则，当时，，单调递减，，即，当且仅当时，等号成立，所以，，所以，，③对；对于④，因为，而，④错.故〖答案〗为：①②③.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17.村民把土地流转给农村经济合作社后，部分村民又成为该合作社职工.下表是某地村民成为合作社职工，再经过职业培训后，个人年收入是否超过10万元的人数抽样统计：年收入超过10万元年收入不超过10万元合计男45550女7525100合计12030150（1）是否有99%的把握认为经过职业培训后，合作社职工年收入超过10万元与性别有关？（2）根据合同工期要求，合作社要完成A，B，C三种互不影响的产品加工，拟对至少完成其中两种产品加工的职工进行奖励（每个职工都有加工这三种产品的任务），若每人完成A，B，C中任何一种产品加工任务的概率都是0.8，求某职工获奖的概率（结果精确到0.1）.附①参考公式：.②检验临界值表：0.100.0100.0012.7066.63510.828解：（1）由表知，观测值.没有的把握认为经过职业培训后，合作社职工年收入超过10万元与性别有关.（2）由题意，设某职工获奖概率为.则，所以某职工获奖的概率为0.9.18.如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面平面,,，，、分别是、的中点.（1）证明：平面平面；（2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.（1）证明：，是的中点，.平面平面，平面平面，平面，平面.平面，，设，则，，在中，由余弦定理得，.，，是中点，四边形是平行四边形，则，且，所以，四边形为平行四边形，，则，，、平面，平面.平面，平面平面.（2）解：由（1）知，且平面，，以过点平行于的直线为轴，分别以直线、为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.，，则，，，则、、、，是中点，，则，，设平面的一个法向量为，则，取，可得，易知平面一个法向量为，，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.19.在中，角、、所对的边分别为、、，.（1）求；（2）若，求面积的最小值.（1）解：，.由正弦定理得.因为，则，，，则，所以，，即，所以，，，即（2）解：由（1）得.若，则、均为钝角，则，矛盾，所以，，，此时、均为锐角，合乎题意，，当且仅当时，等号成立，且为钝角.，则，且为锐角，由，解得，即，当且仅当时，等号成立，，.因此，面积的最小值为.20.已知分别是椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交于点.当到的最大距离为4时，.（1）求的标准方程；（2）设的右顶点为，直线的斜率为，直线的斜率.若，①求的值；②比较与的大小.解：（1）设椭圆的焦距为，则.到的最大距离为，此时，椭圆的通径为，解得.所以椭圆的标准方程为：.（2）如图，①分别设的坐标为.因为直线过定点，所以当时，；当时，，都与矛盾，因此.设直线的方程为，将代入，化简得，..由（1）得，.②，.直线与直线的方程分别为.分别由方程组和解得.，.21.设函数（、均为实数）.（1）当时，若是单调增函数，求的取值范围；（2）当时，求的零点个数.（1）解：，.，且，即.设，则，即.不等式的解集为，的解集为.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.因为，所以，，为单调增函数，恒成立，即.（2）解：由得.设，则，则，即.令，则，且.当时，，单调递减；当时，，单调递增.，.且，，在区间单调递增.设，其中，则，当时，，单调递减，，即，，，当时，.当时，，，当时，.对任意实数，方程只有一个解，即的零点个数是.22.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（为参数）.（1）写出C的普通方程和极坐标方程：（2）设直线与C交于点A，B，求的最大值.解：（1）由曲线C的参数方程（为参数）得，，∴，化简得C的直角坐标方程为；分别将，，代入C的直角坐标方程并化简得C的极坐标方程为（或）；（2）设点A，B极坐标分别为，，则，由知，当，即时，取得最大值4，根据题意，不妨取，，所以的最大值为4.23.已知函数，，，.（1）求实数m的取值范围；（2）当m取最小值时，证明：.（1）解：由，得，由得.当时，，不合题意.当时，若，则，若.由于射线的斜率-1，小于射线的斜率，射线的斜率1，大于射线的斜率，所以恒成立.所以实数的取值范围是.（2）证明：由（1）知的最小值为，.四川省达州市2023届高三二模数学试题（理）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.〖-1，4〗 B. C.(-1，4) D.〖-1，4)〖答案〗B〖解析〗，因为，所以.故选：B.2.复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，故选：B.3.在等比数列中，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设等比数列的公比为，则，所以，.故选：D.4.命题p：，，则为（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗因为对全称量词的否定用特称量词，所以命题p：，的否定为：，.故选：D.5.设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（）A.5 B.6 C.8 D.12〖答案〗C〖解析〗双曲线C：，则，，由双曲线的定义知：，，，所以.故选：C.6.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，，故选：C7.果树的负载量，是影响果树产量和质量的重要因素.苹果树结果期的负载量y（单位：kg）与干周x（树干横截面周长，单位：cm）可用模型模拟，其中，，均是常数.则下列最符合实际情况的是（）A.时，y是偶函数 B.模型函数的图象是中心对称图形C.若，均是正数，则y有最大值 D.苹果树负载量的最小值是〖答案〗C〖解析〗因为的定义域为，不关于原点对称，故A不正确；模型函数的图象也不可能是中心对称图象，故B不正确；，则或，若，，均是正数，则，令，则；令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，y有最大值，故C正确；，若，则，函数在上单调递增，所以，苹果树负载量的最小值不是，故D不正确.故选：C.8.已知向量满足，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如下图所示：圆的半径为1，设，因为，所以点在圆上，则，由图可知，，即的最大值为.故选：A.9.三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面平面有两个内角分别为和，则球的表面积不能是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图取中点为，连接因为平面平面，平面平面，又，中点为，所以，又平面，所以平面因为，所以，有两个内角分别为和，所以为直角三角形①当为斜边时，连接则在中，，即，所以为三棱锥的外接球球心，为半径，所以球的表面积为；②当为内角所对的边时，则不妨取，取中点，连接则在中，，则，所以，因为分别为中点，所以，又平面，平面，所以，则，所以为三棱锥的外接球球心，为半径大小所以球的表面积为；③当为内角所对的边时，则不妨取，取中点，连接则在中，，则，所以，因为分别为中点，所以，又平面，平面，所以，则，所以为三棱锥的外接球球心，为半径大小所以球的表面积为；综上，球的表面积为.故选：C.10.如图，在中，，，，平面内的点、在直线两侧，与都是以为直角顶点的等腰直角三角形，、分别是、的重心.则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由平面向量数量积的定义可得，解得，延长交于点，延长交于点，则、分别为、的中点，因为、均是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，，所以，，，则，，因为、分别是、的重心，则，，又因为，同理可得，所以，，由余弦定理可得，因此，.故选：A.11.把腰底比为（比值约为，称为黄金比）的等腰三角形叫黄金三角形，长宽比为（比值约为，称为和美比）的矩形叫和美矩形.树叶、花瓣、向日葵、蝴蝶等都有黄金比.在中国唐、宋时期的单檐建筑中存在较多的的比例关系，常用的纸的长宽比为和美比.图一是正五角星（由正五边形的五条对角线构成的图形），.图二是长方体，，.在图一图二所有三角形和矩形中随机抽取两个图形，恰好一个是黄金三角形一个是和美矩形的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在如下图所示的正五角星中，该图中共有个三角形，且等腰的腰底之比大于，等腰的腰底之比小于，且，则等腰的腰底之比为，则在该五角星中，黄金三角形的个数为，在如下图所示的长方体中，，，则，，，所以，矩形、均为和美矩形，所以，长方体中共个矩形，其中和美矩形的个数为，所以，图一和图二中共个三角形，个矩形，在图一图二所有三角形和矩形中随机抽取两个图形，恰好一个是黄金三角形一个是和美矩形的概率为.故选：A.12.点均在抛物线上，若直线分别经过两定点，则经过定点，直线分别交轴于，为原点，记，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，由题易知直线斜率均存在，设直线方程为，，由，消得，即，由韦达定理得，所以，代入，得到，所以，设直线方程为，，由，消得，即，由韦达定理得，所以，又因为，所以，代入，得到，所以，所以直线的斜率为，所以的方程为，即所以，即，故直线过定点，令，得到，所以，所以，，又因为，所以，所以，，又，所以，又由柯西不等式知当且仅当，即时，取等号，所以，即，故选：D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若展开式的二项式系数和为64，则展开式中系数为___________.〖答案〗〖解析〗依题意的展开式的二项式系数和为，所以，即.二项式展开式的通项公式为.令，所以展开式中含的系数为.故〖答案〗为：14.函数的部分图象如图，是曲线与坐标轴的交点，过点的直线与曲线的另一交点为．若，则___________.〖答案〗〖解析〗由题设，过，，则，即，又，则，故且，即，，显然，则，故且，可得，综上，当时，，故，故.故〖答案〗为：.15.如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________.〖答案〗〖解析〗设，其中，，，，因为平面，则、、共面，显然、不共线，所以，存在、，使得，即，因为为空间中的一组基底，所以，，解得，因此，.故〖答案〗为：.16.是数列前项和，，，给出以下四个结论：①；②；③；④.其中正确的是___________（写出全部正确结论的番号）.〖答案〗①②③〖解析〗对于①，因为，，所以，，所以，数列为常数列，则，所以，，①对；对于②，，令，则，所以，数列为等差数列，因此，，②对；对于③，设，其中，则，当时，，单调递减，，即，当且仅当时，等号成立，所以，，所以，，③对；对于④，因为，而，④错.故〖答案〗为：①②③.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17.村民把土地流转给农村经济合作社后，部分村民又成为该合作社职工.下表是某地村民成为合作社职工，再经过职业培训后，个人年收入是否超过10万元的人数抽样统计：年收入超过10万元年收入不超过10万元合计男45550女7525100合计12030150（1）是否有99%的把握认为经过职业培训后，合作社职工年收入超过10万元与性别有关？（2）根据合同工期要求，合作社要完成A，B，C三种互不影响的产品加工，拟对至少完成其中两种产品加工的职工进行奖励（每个职工都有加工这三种产品的任务），若每人完成A，B，C中任何一种产品加工任务的概率都是0.8，求某职工获奖的概率（结果精确到0.1）.附①参考公式：.②检验临界值表：0.100.0100.0012.7066.63510.828解：（1）由表知，观测值.没有的把握认为经过职业培训后，合作社职工年收入超过10万元与性别有关.（2）由题意，设某职工获奖概率为.则，所以某职工获奖的概率为0.9.18.如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面平面,,，，、分别是、的中点.（1）证明：平面平面；（2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.（1）证明：，是的中点，.平面平面，平面平面，平面，平面.平面，，设，则，，在中，由余弦定理得，.，，是中点，四边形是平行四边形，则，且，所以，四边形为平行四边形，，则，，、平面，平面.平面，平面平面.（2）解：由（1）知，且平面，，以过点平行于的直线为轴，分别以直线、为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.，，则，，，则、、、，是中点，，则，，设平面的一个法向量为，则，取，可得，易知平面一个法向量为，，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.19.在中，角、、所对的边分别为、、，.（1）求；（2）若，求面积的最小值.（1）解：，.由正弦定理得.因为，则，，，则，所以，，即，所以，，，即（2）解：由（1）得.若，则、均为钝角，则