2022-2023学年上海市奉贤区致远高级中学高二下学期3月月考数学试题（解析版）

高级中学精品试卷PAGEPAGE1上海市奉贤区致远高级中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题一、填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）1.同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数相等的概率为______．〖答案〗〖解析〗投掷两颗均匀的骰子的试验有个基本事件，它们等可能，所有点数相等的事件含有的基本事件为，共6个，所以.故〖答案〗为：.2.对于独立事件A、B，若，，则______.〖答案〗〖解析〗因为，所以，又因为，所以，因为，为独立事件，所以与相互独立，则有，故〖答案〗为：.3.下列事件中，属于随机现象的序号是______.①明天是阴天；②方程有两个不相等的实数根；③明天吴淞口的最高水位是4.5米；④三角形中，大角对大边．〖答案〗①③〖解析〗对于①③，明天的事是未来才发生的事，具有不确定性，故①③属于随机现象；对于②，由得，显然在实数域方程无解，故②属于不可能事件；对于④，由正弦定理易知在三角形中，大角对大边．故④属于确定事件；综上：属于随机现象的序号是①③.故〖答案〗为：①③.4.计算：______.〖答案〗15150〖解析〗15150.故〖答案〗为：15150.5.抛物线的准线方程为________．〖答案〗〖解析〗抛物线化为标准方程为，所以，即，故准线方程为：.故〖答案〗为：.6.已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________.〖答案〗.〖解析〗如下图示，当直线过A时，，当直线过B时，，由图知：.故〖答案〗为：.7.已知直线，则直线恒过定点______.〖答案〗〖解析〗直线，即，令，解得，所以直线恒过定点.故〖答案〗为：.8.在等比数列中，，，则______．〖答案〗〖解析〗设等比数列的公比为，由，，所以，解得，所以.故〖答案〗为：.9.若椭圆与椭圆圆扁程度相同，则的值为______．〖答案〗或〖解析〗两椭圆的圆扁程度相同，所以两个椭圆的离心率相同，椭圆的离心率为，当焦点在轴时，椭圆的离心率为，解得当焦点在轴时，椭圆的离心率为，可得，故的值为或，故〖答案〗为：或.10.若P（m，8）是焦点为F的抛物线上的一点，则______．〖答案〗10〖解析〗因为点在抛物线上，所以，得，所以，由得，准线方程为，所以.故〖答案〗为：.11.双曲线的弦被点平分，则直线的方程为______．〖答案〗〖解析〗当直线斜率不存在时，方程为，根据双曲线的对称性，不能平分弦，故不满足题意；当直线斜率存在时，设方程为，，所以，联立方程得，所以，，，因为弦被点平分，所以，所以，解得，此时联立后的方程为，满足，所以，直线的方程为，即.故〖答案〗为：.12.已知双曲线，、分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，连接交双曲线左支于点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为______.〖答案〗〖解析〗因为是等边三角形，不妨记，所以，由双曲线的定义得，故，所以，又由双曲线的定义得，所以，故，所以，，在中，，则，所以，整理得，故，所以双曲线的离心率为.故〖答案〗为：.二、选择题（每小题5分，共20分）13.下列说法中正确的是（）A.事件A、B至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大B.事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件，对立事件也是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件，而对立事件一定是互斥事件〖答案〗D〖解析〗对于A，因为事件A，B中至少有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生和A，B都发生；事件A，B中恰有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生；又当事件A，B为对立事件时，事件A，B都发生的概率为，所以事件A、B至少有一个发生与A、B中恰有一个发生是相等事件，两者概率相等，故A错误；对于B，若A、B是相等事件，此时A、B恰有一个发生为不可能事件，概率为0，而事件A、B同时发生的概率必然大于或等于0，故B错误；对于CD，由互斥事件和对立事件的概念知，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故C错误，D正确.故选：D.14.质检部门检查一箱装有2500件包装食品的质量,抽查总量的2%,在这个问题中,下列说法正确的是()A.总体是指这箱2500件包装食品 B.个体是一件包装食品C.样本是按2%抽取的50件包装食品 D.样本容量是50〖答案〗D〖解析〗A、2总体是指这箱2500件包装食品的质量，错误；B、个体是一件包装食品的质量，错误；C、样本是按2%抽取的50件包装食品的质量，错误；D、样本容量是50，正确．故选D．15.现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（）A.①抽签法，②分层随机抽样 B.①随机数法，②分层随机抽样C.①随机数法，②抽签法 D.①抽签法，②随机数法〖答案〗A〖解析〗对于①，由于抽取的总体个数与样本个数都不大，则应用抽签法；对于②，抽取的总体个数较多，且总体有明确的分层，抽取的样本个数较大，则采用分层随机抽样.故选：A.16.如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合．该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）．A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗不妨设渐近线方程为，即，下焦点为，下焦点到渐近线的距离为，离心率，，解得，故双曲线方程为.故选：D.三、解答题17.在等差数列中，为其前项的和，已知，．（1）求；（2）求数列的最大值．解：（1）设等差数列的公差为，由，，可得，解得，，所以.（2）因为，因为，所以当时，取得最大值.18.已知焦点在y轴上的椭圆C，过点，离心率直线l:被椭圆C所截得的弦长为，（1）求椭圆C的标准方程；（2）求实数的值.解：（1）因为椭圆C的焦点在y轴上，且过点，则椭圆C的短半轴长为2，设其长半轴长为，由离心率得：，解得，所以椭圆C的标准方程是.（2）由消去y并整理得：，有，即，设直线l被椭圆C所截弦的端点，于是，，解得，满足条件，所以.19.如图，在长方体中，，.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，所以，，，所以，，因此，异面直线与所成角的余弦值为.（2）设平面的法向量为，，则，取，则，因为，所以，.因此，直线与平面所成角的正弦值为.20.某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间〖0.3,0.9〗内，其频率分布直方图如图所示．求：（1）直方图中的a的值；（2）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数．（3）为了更好了解消费者和激励消费，网络公司决定在这10000名消费者中用分层随机抽样法抽取100名进一步做调查问卷和奖励.再从这100名中消费在内的个体内抽取一等奖两名，求中奖的2人中消费在，内各一人的概率.解：（1）由频率分布直方图得：，解得，所以直方图中的a的值为3.0.（2）由频率分布直方图得，消费金额在区间内的频率是，所以消费金额在区间内的购物者的人数约为：.（3）用分层随机抽样法抽取的100名消费者中，消费在内的个体数为，其中消费在，内的个体数分别为，，因此从10人中任取2人的试验有个基本事件，消费在，内各一人的事件有个基本事件，所以中奖的2人中消费在，内各一人的概率.21.已知抛物线的焦点为F，准线为l；（1）若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e；（2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程；（3）经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由；解：（1）抛物线的焦点为，准线为，双曲线的方程为双曲线，即，则，由题意可知：，则，故双曲线C的离心率.（2）由（1）可知：，过点P作直线的垂线，垂足为M，则，∵，且，∴，故直线EP的倾斜角，斜率，∴直线EP的方程为，即.（3）以线段MN为直径的圆C过定点，理由如下：设直线，联立方程，消去y可得：，则可得：，∵直线，当时，，∴，同理可得：，∵，，则线段MN为直径的圆C的圆心，半径，故圆C的方程为，整理得，令，则，解得或，故以线段MN为直径的圆C过定点.上海市奉贤区致远高级中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题一、填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）1.同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数相等的概率为______．〖答案〗〖解析〗投掷两颗均匀的骰子的试验有个基本事件，它们等可能，所有点数相等的事件含有的基本事件为，共6个，所以.故〖答案〗为：.2.对于独立事件A、B，若，，则______.〖答案〗〖解析〗因为，所以，又因为，所以，因为，为独立事件，所以与相互独立，则有，故〖答案〗为：.3.下列事件中，属于随机现象的序号是______.①明天是阴天；②方程有两个不相等的实数根；③明天吴淞口的最高水位是4.5米；④三角形中，大角对大边．〖答案〗①③〖解析〗对于①③，明天的事是未来才发生的事，具有不确定性，故①③属于随机现象；对于②，由得，显然在实数域方程无解，故②属于不可能事件；对于④，由正弦定理易知在三角形中，大角对大边．故④属于确定事件；综上：属于随机现象的序号是①③.故〖答案〗为：①③.4.计算：______.〖答案〗15150〖解析〗15150.故〖答案〗为：15150.5.抛物线的准线方程为________．〖答案〗〖解析〗抛物线化为标准方程为，所以，即，故准线方程为：.故〖答案〗为：.6.已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________.〖答案〗.〖解析〗如下图示，当直线过A时，，当直线过B时，，由图知：.故〖答案〗为：.7.已知直线，则直线恒过定点______.〖答案〗〖解析〗直线，即，令，解得，所以直线恒过定点.故〖答案〗为：.8.在等比数列中，，，则______．〖答案〗〖解析〗设等比数列的公比为，由，，所以，解得，所以.故〖答案〗为：.9.若椭圆与椭圆圆扁程度相同，则的值为______．〖答案〗或〖解析〗两椭圆的圆扁程度相同，所以两个椭圆的离心率相同，椭圆的离心率为，当焦点在轴时，椭圆的离心率为，解得当焦点在轴时，椭圆的离心率为，可得，故的值为或，故〖答案〗为：或.10.若P（m，8）是焦点为F的抛物线上的一点，则______．〖答案〗10〖解析〗因为点在抛物线上，所以，得，所以，由得，准线方程为，所以.故〖答案〗为：.11.双曲线的弦被点平分，则直线的方程为______．〖答案〗〖解析〗当直线斜率不存在时，方程为，根据双曲线的对称性，不能平分弦，故不满足题意；当直线斜率存在时，设方程为，，所以，联立方程得，所以，，，因为弦被点平分，所以，所以，解得，此时联立后的方程为，满足，所以，直线的方程为，即.故〖答案〗为：.12.已知双曲线，、分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，连接交双曲线左支于点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为______.〖答案〗〖解析〗因为是等边三角形，不妨记，所以，由双曲线的定义得，故，所以，又由双曲线的定义得，所以，故，所以，，在中，，则，所以，整理得，故，所以双曲线的离心率为.故〖答案〗为：.二、选择题（每小题5分，共20分）13.下列说法中正确的是（）A.事件A、B至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大B.事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件，对立事件也是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件，而对立事件一定是互斥事件〖答案〗D〖解析〗对于A，因为事件A，B中至少有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生和A，B都发生；事件A，B中恰有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生；又当事件A，B为对立事件时，事件A，B都发生的概率为，所以事件A、B至少有一个发生与A、B中恰有一个发生是相等事件，两者概率相等，故A错误；对于B，若A、B是相等事件，此时A、B恰有一个发生为不可能事件，概率为0，而事件A、B同时发生的概率必然大于或等于0，故B错误；对于CD，由互斥事件和对立事件的概念知，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故C错误，D正确.故选：D.14.质检部门检查一箱装有2500件包装食品的质量,抽查总量的2%,在这个问题中,下列说法正确的是()A.总体是指这箱2500件包装食品 B.个体是一件包装食品C.样本是按2%抽取的50件包装食品 D.样本容量是50〖答案〗D〖解析〗A、2总体是指这箱2500件包装食品的质量，错误；B、个体是一件包装食品的质量，错误；C、样本是按2%抽取的50件包装食品的质量，错误；D、样本容量是50，正确．故选D．15.现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（）A.①抽签法，②分层随机抽样 B.①随机数法，②分层随机抽样C.①随机数法，②抽签法 D.①抽签法，②随机数法〖答案〗A〖解析〗对于①，由于抽取的总体个数与样本个数都不大，则应用抽签法；对于②，抽取的总体个数较多，且总体有明确的分层，抽取的样本个数较大，则采用分层随机抽样.故选：A.16.如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合．该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）．A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗不妨设渐近线方程为，即，下焦点为，下焦点到渐近线的距离为，离心率，，解得，故双曲线方程为.故选：D.三、解答题17.在等差数列中，为其前项的和，已知，．（1）求；（2）求数列的最大值．解：（1）设等差数列的公差为，由，，可得，解得，，所以.（2）因为，因为，所以当时，取得最大值.18.已知焦点在y轴上的椭圆C，过点，离心率直线l:被椭圆C所截得的弦长为，（1）求椭圆C的标准方程；（2）求实数的值.解：（1）因为椭圆C的焦点在y轴上，且过点，则椭圆C的短半轴长为2，设其长半轴长为，由离心率得：，解得，所以椭圆C的标准方程是.（2）由消去y并整理得：，有，即，设直线l被椭圆C所截弦的端点，于是，，解得，满足条件，所以.19.如图，在长方体中，，.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，所以，，，所以，，因此，异面直线与所成角的余弦值为.（2）设平面的法向量为，，则，取，则，因为，所以，.因此，直线与平面所成角的正弦值为.20.某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间〖0.3,0.9〗内，其频率分布直方图如图所示