泰州市重点中学2024届数学高一第二学期期末达标检测模拟试题含解析2

泰州市重点中学2024届数学高一第二学期期末达标检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若直线与圆相切，则（）A． B． C． D．或2．Rt△ABC的三个顶点都在一个球面上，两直角边的长分别为6和8，且球心O到平面ABC的距离为12，则球的半径为（）A．13 B．12 C．5 D．103．若，则下列不等式中不正确的是（）.A． B． C． D．4．设，则有()A． B． C． D．5．如图，在中，已知D是边延长线上一点，若，点E为线段的中点，，则（）A． B． C． D．6．设等差数列{an}的前n项的和Sn，若a2+a8＝6，则S9＝（）A．3 B．6 C．27 D．547．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①②③与为异面直线④以上四个命题中，正确的序号是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形9．已知数列是公差不为零的等差数列，是等比数列，，，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．与的大小不确定10．在正项等比数列中，，数列的前项之和为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．直线与圆交于两点，若为等边三角形，则______．12．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．13．已知变量，满足，则的最小值为________.14．函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为_______.15．已知x，y满足，则的最大值为________.16．已知，，，若，则__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知.（1）若对任意的，不等式上恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式.18．一汽车厂生产，，三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有类轿车10辆．轿车轿车轿车舒适型100150标准型300450600（1）求的值；（2）用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个得分数，

记这8辆轿车的得分的平均数为，定义事件，且函数没有零点，求事件发生的概率．19．已知数列的前项和为，满足且，数列的前项为，满足（Ⅰ）设，求证：数列为等比数列；（Ⅱ）求的通项公式；（Ⅲ）若对任意的恒成立，求实数的最大值.20．四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是等边三角形，为的中点，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，能否在棱上找到一点，使平面平面?若存在，求的长.21．求下列方程和不等式的解集（1）（2）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

本题首先可根据圆的方程确定圆心以及半径，然后根据直线与圆相切即可列出算式并通过计算得出结果。【题目详解】由题意可知，圆方程为，所以圆心坐标为，圆的半径，因为直线与圆相切，所以圆心到直线距离等于半径，即解得或，故选D。【题目点拨】本题考查根据直线与圆相切求参数，考查根据圆的方程确定圆心与半径，若直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，考查推理能力，是简单题。2、A【解题分析】

利用勾股定理计算出球的半径.【题目详解】的斜边长为，所以外接圆的半径为，所以球的半径为.故选：A【题目点拨】本小题主要考查勾股定理计算，考查球的半径有关计算，属于基础题.3、D【解题分析】

先判断出的大小关系，然后根据不等式的性质以及基本不等式逐项判断.【题目详解】由，得，，，故D不正确，C正确；，，，故A正确；，，，取等号时，故B正确，故选D.【题目点拨】本题考查利用不等式性质以及基本不等式判断不等式是否成立，难度一般.注意使用基本不等式计算最值时，取等号的条件一定要记得添加.4、A【解题分析】

根据题意，利用辅助角公式得，对于，根据同角三角函数的基本关系和二倍角公式对进行处理，即可得到；对于，利用二倍角公式对变形处理可以得到，再根据正弦函数的单调性即可比较大小.【题目详解】由题意得因为正弦函数在上为增函数，所以,选A.【题目点拨】本题是一道关于三角函数值大小比较的题目，解答本题的关键是掌握三角函数公式；二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数的基本关系等．属于中等题．5、B【解题分析】

由，，，，代入化简即可得出．【题目详解】，带人可得，可得，故选B.【题目点拨】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6、C【解题分析】

利用等差数列的性质和求和公式，即可求得的值，得到答案．【题目详解】由题意，等差数列的前n项的和，由，根据等差数列的性质，可得，所以，故选：C．【题目点拨】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7、D【解题分析】

作出直观图,根据正方体的结构特征进行判断.【题目详解】作出正方体得到直观图如图所示:由直观图可知,与为互相垂直的异面直线,故①不正确;,故②正确;与为异面直线,故③正确;由正方体性质可知平面,故,故④正确.故选:D【题目点拨】本题考查了正方体的结构特征,直线,平面的平行于垂直,属于基础题.8、D【解题分析】

根据正弦定理得到，计算得到答案.【题目详解】，则，即.故或，即.故选：.【题目点拨】本题考查了根据正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的应用能力.9、A【解题分析】

设等比数列的公比为，结合题中条件得出且，将、、、用与表示，利用因式分解思想以及基本不等式可得出与的不等关系，并结合等差数列下标和性质可得出与的大小关系.【题目详解】设等比数列的公比为，由于等差数列是公差不为零，则，从而，且，得，，，即，另一方面，由等差数列的性质可得，因此，，故选：A.【题目点拨】本题考查等差数列和等比数列性质的应用，解题的关键在于将等比中的项利用首项和公比表示，并进行因式分解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10、B【解题分析】

根据等比数列的性质，即可解出答案。【题目详解】故选B【题目点拨】本题考查等比数列的性质，同底对数的运算，属于基础题。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、或【解题分析】

根据题意可得圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式列方程解出即可.【题目详解】圆，即，圆的圆心为，半径为，∵直线与圆交于两点且为等边三角形，∴，故圆心到直线的距离为，即，解得或，故答案为或.【题目点拨】本题主要考查了直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．12、【解题分析】

根据函数图象以及不等式的等价关系即可．【题目详解】解：不等式等价为或，

则，或，

故不等式的解集是．

故答案为：．【题目点拨】本题主要考查不等式的求解，根据不等式的等价性结合图象之间的关系是解决本题的关键．13、0【解题分析】

画出可行域，分析目标函数得，当在y轴上截距最小时，即可求出的最小值.【题目详解】作出可行域如图：联立得化目标函数为，由图可知，当直线过点时，在y轴上的截距最小,有最小值为，故填.【题目点拨】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.14、【解题分析】考点：此题主要考查三角函数的概念、化简、性质，考查运算能力.15、6【解题分析】

作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可得到答案.【题目详解】由题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，因为目标函数，可化为直线，当直线过点A时，此时目标函数在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.故答案为：6.【题目点拨】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．16、-3【解题分析】由可知，解得，三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析.【解题分析】

（1）参变分离后可得在上恒成立，利用基本不等式可求的最小值，从而得到参数的取值范围.（2）原不等式可化为，就对应方程的两根的大小关系分类讨论可得不等式的解集.【题目详解】（1）对任意的，恒成立即恒成立.因为当时，（当且仅当时等号成立），所以即.（2）不等式，即，①当即时，；②当即时，；③当即时，.综上：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.【题目点拨】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．一元二次不等式的恒成立问题，参变分离后可以转化为函数的最值进行讨论，后者可利用基本不等式来求.18、（1）400；（2）；（3）【解题分析】

（1）由分层抽样按比例可得；（2）把5个样本编号，用列举法列出任取2辆的所有基本事件，得出至少有1辆舒适型轿车的基本事件，计数后可得概率．（3）求出，确定事件所含的个数后可得概率．【题目详解】（1）由题意，解得；（2）C类产品中舒适型和标准型产品数量比为，因此5人样品中舒适型抽取了2辆，标准型抽取了3辆，编号为，任取2辆的基本事件有：共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有共7个，所求概率为．（3）由题意，满足的有共6个，函数没有零点，则，解得，再去掉，还有4个，∴所求概率为．【题目点拨】本题考查分层抽样，考查古典概型，解题关键是用列举法写出所有的基本事件．19、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）【解题分析】

（Ⅰ）对递推公式变形可得，根据等比数列的定义，即可得证；（Ⅱ）化简可得，然后再利用裂项相消法求和，即可得到结果；（Ⅲ）先求出，然后再利用分组求和求出，然后再利用分离常数法，可得，最后对进行分类讨论，即可求出结果．【题目详解】解：（Ⅰ）由得，变形为：，，且∴数列是以首项为2，公比为的等比数列（Ⅱ）由；（Ⅲ）由（Ⅰ）知数列是以首项为2，公比为的等比数列∴，于是∴=，由得从而，∴当n为偶数时，恒成立，而，∴1当n为奇数时，恒成立，而，∴综上所述，，即的最大值为【题目点拨】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的裂项相消法求和和分组法求和，考查化简运算能力，属于中档题．20、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）连接,根据三角形性质可得,由底面菱形的线段角度关系可证明,即证明平面,从而证明.（Ⅱ）易证平面平面,连接交于点,过作交于,即可证明平面,在三角形【题目详解】（Ⅰ）证明：连接,是等边三角形,为的中点,所以；又底面是菱形,,所以,,所以平面,平面,所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,所以平面,又平面即平面平面平面平面,又,所以平面连接交于点,过作交于,如下图所示:所以平面,又平面所以平面平面因为,所以,即在等边三