广东省广州市广东第二师范学院番禺附中2024届数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

广东省广州市广东第二师范学院番禺附中2024届数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知满足条件，则目标函数的最小值为A．0 B．1 C． D．2．已知直线过点，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线的方程为（）A． B．C．或 D．或3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的值为（）A． B． C． D．4．若直线l：ax+by＝1（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣x﹣2y＝0，则的最小值为（）A． B．2 C． D．5．一组数平均数是，方差是，则另一组数，的平均数和方差分别是（）A． B．C． D．6．若，，那么在方向上的投影为（）A．2 B． C．1 D．7．甲、乙两人在相同条件下，射击5次，命中环数如下：甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8根据以上数据估计（）A．甲比乙的射击技术稳定 B．乙.比甲的射击技术稳定C．两人没有区别 D．两人区别不大8．若实数，满足约束条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，且，则（）A． B．C． D．10．边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域.向正方形中随机地撒200粒芝麻，大约有80粒落在阴影区域内，则此阴影区域的面积约为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，正方形中，分别为边上点，且，，则________.12．在等比数列中，，的值为______.13．在等比数列中，已知，则=________________.14．已知数列的通项公式，那么使得其前项和大于7.999的的最小值为______.15．已知向量a＝(3，2)，b＝(0，－1)，那么向量3b－a的坐标是．16．在ΔABC中，a比c长4，b比c长2，且最大角的余弦值是-12，则三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．求倾斜角为且分别满足下列条件的直线方程：（1）经过点；（2）在轴上的截距是-5.18．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高，所在直线方程为.（1）求顶点的坐标；（2）求直线的方程.19．某校高一年级有学生480名，对他们进行政治面貌和性别的调查，其结果如下：性别团员群众男80女180（1）若随机抽取一人，是团员的概率为，求，；（2）在团员学生中，按性别用分层抽样的方法，抽取一个样本容量为5的样本，然后在这5名团员中任选2人，求两人中至多有1个女生的概率．20．在△中，所对的边分别为，，．（1）求；（2）若，求,，．21．某地统计局调查了10000名居民的月收入，并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示．（1）求居民月收入在[3000,3500）内的频率；（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析，则应从月收入在[2500,3000)内的居民中抽取多少人？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】作出不等式区域如图所示：求目标函数的最小值等价于求直线的最小纵截距.平移直线经过点A(-2,0)时最小为-2.故选C.2、D【解题分析】

根据题意，分直线是否经过原点2种情况讨论，分别求出直线的方程，即可得答案．【题目详解】根据题意，直线分2种情况讨论：①当直线过原点时，又由直线经过点，所求直线方程为，整理为，②当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点的坐标得，解得，此时直线的方程为，整理为．故直线的方程为或.故选：D．【题目点拨】本题考查直线的截距式方程，注意分析直线的截距是否为0，属于基础题．3、D【解题分析】

由正弦定理及余弦定理可得，，然后求解即可.【题目详解】解：由可得，则，①又，所以，即，所以②由①②可得：，由余弦定理可得,故选：D.【题目点拨】本题考查了正弦定理及余弦定理的综合应用，重点考查了两角和的正弦公式，属中档题.4、C【解题分析】

求得圆心，代入直线的方程，然后利用基本不等式求得的最小值.【题目详解】圆的圆心为，由于直线平分圆，故圆心在直线上，即，所以，当且仅当时等号成立.故选：C【题目点拨】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用基本不等式求最小值.5、B【解题分析】

直接利用公式：平均值方差为，则的平均值和方差为：得到答案.【题目详解】平均数是，方差是，的平均数为：方差为：故答案选B【题目点拨】本题考查了平均数和方差的计算：平均数是，方差是，则的平均值和方差为：.6、C【解题分析】

根据定义可知，在方向上的投影为，代入即可求解．【题目详解】，，那么在方向上的投影为．故选：C．【题目点拨】本题考查向量数量积的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础试题．7、A【解题分析】

先计算甲、乙两人射击5次，命中环数的平均数，再计算出各自的方差，根据方差的数值的比较，得出正确的答案.【题目详解】甲、乙两人射击5次，命中环数的平均数分别为：，甲、乙两人射击5次，命中环数的方差分别为：，，因为，所以甲比乙的射击技术稳定，故本题选A.【题目点拨】本题考查了用方差解决实际问题的能力，考查了方差的统计学意义.8、D【解题分析】画出表示的可行域，如图所示的开放区域，平移直线，由图可知，当直线经过时，直线在纵轴上的截距取得最大值，此时有最小值，无最大值，的取值范围是，故选A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9、B【解题分析】分析：先根据等比数列、等差数列的通项公式表示出、，然后表示出和，然后二者作差比较即可．详解：∵an=a1qn﹣1，bn=b1+（n﹣1）d，∵，∴a1q4=b1+5d，=a1q2+a1q6=2（b1+5d）=2b6=2a5﹣2a5=a1q2+a1q6﹣2a1q4=a1q2（q2﹣1）2≥0所以≥故选B．点睛：本题主要考查了等比数列的性质．比较两数大小一般采取做差的方法．属于基础题．10、B【解题分析】

依题意得，豆子落在阴影区域内的概率等于阴影部分面积与正方形面积之比，即可求出结果.【题目详解】设阴影区域的面积为，由题意可得，则.故选：B.【题目点拨】本题考查随机模拟实验，根据几何概型的意义进行模拟实验计算阴影部分面积，关键在于掌握几何概型的计算公式.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、（或）【解题分析】

先设，根据题意得到，再由两角和的正切公式求出，得到，进而可得出结果.【题目详解】设，则所以，所以，因此.故答案为【题目点拨】本题主要考查三角恒等变换的应用，熟记公式即可，属于常考题型.12、【解题分析】

由等比中项，结合得，化简即可.【题目详解】由等比中项得，得，设等比数列的公比为，化简.故答案为：4【题目点拨】本题考查了等比中项的性质，通项公式的应用，属于基础题.13、【解题分析】14、1【解题分析】

直接利用数列的通项公式，建立不等式，解不等式求出结果．【题目详解】解：数列的通项公式，则：，所以：当时，即：，当时，成立，即：的最小值为1．故答案为：1【题目点拨】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15、【解题分析】试题分析：因为,所以.考点：向量坐标运算.16、15【解题分析】

由a比c长4，b比c长2，用c表示出a与b，可得出a为最大边，即A为最大角，可得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，同时利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a与b代入，并根据最大角的余弦值，得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【题目详解】根据题意得：a=c+4，b=c+2，则a为最长边，∴A为最大角，又cosA=-12，且∴A=120cos整理得：c2-c-6=0，即(c−3)(解得：c=3或c=−2(舍去)，∴a=3+4=7，b=3+2=5，则△ABC的面积S=12bcsinA=15故答案为：153【题目点拨】余弦定理一定要熟记两种形式：（1）a2=b2+三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

(1)利用倾斜角与斜率的关系与点斜式求解即可.(2)利用点斜式求解即可.【题目详解】解：（1）∵所求直线的倾斜角为,斜率,又∵经过,故方程为∴即方程为.（2）∵所求直线在轴上的截距是-5,又有斜率,故方程为∴所求方程为【题目点拨】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系以及直线方程的点斜式运用.属于基础题.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）根据边上的高所在直线方程求出的斜率，由点斜式可得的方程，与所在直线方程联立即可得结果；（2）设则，代入中，可求得点坐标，利用两点式可得结果.【题目详解】（1）由边上的高所在直线方程为得，所以直线AB所在的直线方程为，即联立解得所以顶点的坐标为（4,3）（2）因为在直线上，所以设则，代入中，得所以则直线的方程为，即【题目点拨】本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.19、（1），；（2）．【解题分析】

（1）随机抽取一人，是团员的概率为，得，再由总人数为480得的另一个关系式，联立求解，即可得出结论；（2）根据团员男女生人数的比例，可求出抽取一个样本容量为5的样本，男生为2人，女生为3人，将5人编号，列出从5人中抽取2人的所有基本事件，求出至多有1个女生的基本事件的个数，按古典概型求概率，即可求解.【题目详解】解：（1）由题意得：，解得，．（2）在团员学生中，按性别用分层抽样的方法，抽取一个样本容量为5的样本，抽中男生：人，抽中女生：人，2名男生记为，3名女生记为，在这5名团员中任选2人，基本事件有：共有10个基本事件，两人中至多有1个女生包含的基本事件个数有7个，∴两人中至多有1个女生的概率．【题目点拨】本题考查分层抽样抽取元素个数的分配，考查古典概型的概率，属于基础题.20、（1）（2）【解题分析】（1）由得则有=得即.（2）由推出；而,即得,则有解得21、（1）0.15（2）2400（3）25人【解题分析】

(1)由频率分布直方图计算可得月收入在[3000,3500）内的频率；(2)分别计算小长方形的面积值，利用中位数的特点即可确定中位数的值；(3)首先确定10000人中月收入在[2500,3000]内的人数，然后结合分层抽样的特点可得应抽取的人数.【题目详解】（1）居民月收入在[3000,3500]