第28章 锐角三角函数 2022-2023学年陕西省各地九年级上学期期末综合复习题(含解析)

第二十八章锐角三角函数一、单选题1．（2022·陕西渭南·九年级期末）如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则下面四个等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·陕西咸阳·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是()A．sinB＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanB＝3．（2022·陕西宝鸡·九年级期末）在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，sinA＝，那么BC边的长是（）A．2 B．8 C．4 D．124．（2022·陕西咸阳·九年级期末）如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，则（

）A． B． C． D．5．（2022·陕西渭南·九年级期末）2cos45°的值为（）A．2 B． C． D．16．（2022·陕西西安·九年级期末）在中，，都是锐角，且，，则的形状是（

）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定7．（2022·陕西咸阳·九年级期末）如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成32°的夹角，已知缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到山顶B需16分钟，则山的高度为（

）A．800•sin32° B． C．800•tan32° D．8．（2022·陕西宝鸡·九年级期末）如图，路灯距地面米，身高米的小明从距离灯底（点）米的点处，沿所在直线行走米到达点时，小明身影长度（

）A．变长2.5米 B．变短2米 C．变短2.5米 D．变短3米二、填空题9．（2022·陕西咸阳·九年级期末）如图所示的是一款可折叠的木制宝宝画板．若，，则的长为____________cm．10．（2022·陕西宝鸡·九年级期末）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为________．11．（2022·陕西咸阳·九年级期末）在中，，则∠C的度数为____．12．（2022·陕西宝鸡·九年级期末）已知sinA=，则锐角∠A=______．三、解答题13．（2022·陕西西安·九年级期末）计算：14．（2022·陕西咸阳·九年级期末）计算：．15．（2022·陕西宝鸡·九年级期末）计算：4cos230°+|2﹣4|+6．16．（2022·陕西渭南·九年级期末）计算：．17．（2022·陕西咸阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．18．（2022·陕西宝鸡·九年级期末）在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度.方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E.请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度.（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）19．（2022·陕西渭南·九年级期末）某地有一座大桥（图1），某初中数学兴趣小组想测量该大桥的外拱塔的最高点距离桥面的高度，他们在桥面上选取了一个测量点测得点的仰角为26.6°，然后他们沿方向移动40m到达测量点（即），在点测得点的仰角为37°，如图2所示．求外拱塔的最高点距离桥面的高度．[参考数据：，，，，，]20．（2022·陕西汉中·九年级期末）某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面上取，两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点成一线；从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点也成一线．已知、、、、在同一直线上，，，，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．21．（2022·陕西咸阳·九年级期末）如图，琪琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度AD，琪琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B，C的俯角分别为∠EAB＝60°和∠EAC＝30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC＝36米，求无人机的飞行高度AD．22．（2022·陕西渭南·九年级期末）如图，小华利用标杆和等腰直角三角尺测量楼高，他先在E处竖立一根高1.5米的标杆DE，发现地面上的点A、标杆顶端D与楼顶B在一条直线上，测得米；然后他站在F处利用等腰直角三角形测得视线GB与水平面的夹角，小华的眼睛到地面的距离米，米．已知点F、A、E、C在同一直线上，，，．请根据以上所测数据，计算楼高BC．23．（2022·陕西安康·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的与对角线相交于点E，连接BE，且．(1)求证：BE是的切线；(2)若，BC长为6，求的半径．24．（2022·陕西西安·九年级期末）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处．(1)求证：△ABF∽△FCE；(2)已知AB＝3，AD＝5，求的值．参考答案：1．B【解析】根据∠B的正弦、余弦、正切的定义列式，根据等式的性质变形，判断即可．解：在△ABC中，∠C=90°，∵sinB=，∴c=，A选项等式不成立；∵cosB=，∴a=c•cosB，B选项等式成立；∵tanB=，∴a=，C选项等式不成立；∵tanB=，∴b=a•tanB，D选项等式不成立；故选：B．本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角是三个三角函数的定义是解题的关键．2．C∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴AB=，∴sinB=，cosB=，tanB=，故选C.3．B【解析】根据锐角三角函数和勾股定理求解即可．解：由sinA＝＝，不妨设BC＝2k，则AB＝3k，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（4）2+（2k）2＝（3k）2，解得k＝4（取正值），所以BC＝2k＝8，故选：B．本题考查锐角三角函数，勾股定理，理解锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的前提．4．B【解析】过A作AP轴于点P，根据勾股定理求出OA，再根据锐角三角形函数的定义求解即可过A作AP轴于点PA(，)由勾股定理得：故选：B．本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解和计算能力．5．C【解析】根据45°角的三角函数值代入计算即可.解：．故选C．此题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题关键.6．C【解析】根据特殊角锐角三角函数值，可得，再由三角形的内角和等于180°，可得，即可求解．解：∵，，∴，∴，∴，∴是等边三角形故选：C本题主要考查了等边三角形的判定，特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．7．A【解析】根据题意可得，，，米，再根据三角函数的定义，即可求解．解：根据题意可得，，，米，根据三角函数的定义可得：∴（米）故选：A本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形并熟悉三角函数的定义是解题的关键．8．D【解析】利用相似三角形的对应边成比例可求出AM的长，同理求出BN的长，再求出AM与BN的差即可.∵OF⊥OM,DA⊥OM，∴QF∥AD，∴△ADM∽△OFM，∴，即，解得AM＝5cm；同理可得，∵△BNE∽△ONF，∴即，解得BN＝2m，∴AM－BN＝5－2＝3m.故选D.本题考查了相似三角形的应用和中心投影，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.9．32【解析】过点A作AD⊥BC于点D，根据余弦定义可求BD，然后根据等腰三角形的性质即可求出BC．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，，又AB=70cm，，∴，∴BD=16cm，又AB=AC，∴BC=2BD=32cm．故答案为：32．本题考查了锐角三角函数，等腰三角形的性质等知识，添加辅助线AD是解题的关键．10．【解析】由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB=BC=2，∠ABC=∠BAF=120°，进而求出∠BAC=30°，∠CAE=60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH=CH，BH=1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH=，得到AC=2，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，=120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∴∠BAC=（180°-∠ABC）=×（180°-120°）=30°，过B作BH⊥AC于H，∴AH=CH，BH=AB=×2=1，在Rt△ABH中，AH==，∴AC=2，同理可证，∠EAF=30°，∴∠CAE=∠BAF-∠BAC-∠EAF=120°-30°-30°=60°，∴∴图中阴影部分的面积为2π，故答案为：．本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．11．【解析】先根据平方、绝对值的非负性求得、，再利用锐角三角函数确定、的度数，最后根据直角三角形内角和求得．解：∵∴∴∴∴．故答案是：本题考查了平方、绝对值的非负性，锐角三角函数以及三角形内角和，熟悉各知识点是解题的关键．12．30°【解析】根据sin30°=进行解答即可．∵sinA=，∠A为锐角，∴∠A=30°，故答案为30°．本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．13．-7【解析】首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的混合运算．解：原式===．本题考查特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算，解决问题的关键是牢记特殊角的三角函数值以及掌握二次根式的运算法则．14．【解析】先将特殊角三角函数值代入，再计算乘方，然后计算乘法，最后计算加减即可．解：原式本题考查特殊角的三角函数值，实数混合运算，熟记特殊角三角函数值和实数运算法则是解题的关键．15．7【解析】首先代入特殊角的三角函数值，再利用绝对值的性质和二次根式的乘法法则进行计算，最后计算加减即可．原式＝4×+4﹣2+2＝4+3=7．此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握特殊角的三角函数值和绝对值的性质，注意计算顺序．16．【解析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂的性质进行计算．解：原式．本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．17．（1）见解析（2）【解析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，，∴，即．此题考查了作图−位似变换，平移变换，以及解直角三角形，熟练掌握位似及平移的性质是解本题的关键．18．人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米.试题分析：由题意得，四边形ACDB，ACEN为矩形，从而得EN=AC=1.5.AB=CD=15，在Rt△MED中，由题意可得ME=DE，设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，在Rt△MEC中，可得ME=EC⋅tan∠MCE，从而有x≈0.7(x+15)，求出x的值，从而得MN=ME+EN≈36.5.试题解析：由题意得，四边形ACDB，ACEN为矩形，∴EN=AC=1.5，AB=CD=15，在中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，∴∠EMD＝∠MDE＝45°，∴ME＝DE，设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，在中，∠MEC＝90°，∠MCE＝35°，∵，∴，∴，∴，∴，∴人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米.19．外拱塔的最高点距离桥面的高度为60m【解析】分别在两个直角三角形中由三角函数值建立方程，联立即可求出．解：设，在中，，∴∴在中，，∴∴∵，∴即，解得，答：外拱塔的最高点距离桥面的高度为60m．本题考查了解直角三角形应用题，一般步骤为弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型，将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形，寻找直角三角形，并解这个三角形．20．古建筑的高度为25m．【解析】设，，证明，得到，再证明，得到，利用求出，将代入得：．解：设，，∵，，∴，∵，∴，∴，即，同理：，∴，∵，∴，∴，解得：，将代入得：，∴古建筑的高度为25m．本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，解题关键是利用相似三角形的性质求出，求出y，再进一步求出x．21．米【解析】由锐角三角函数定义得，，再由米，即可求出的长．解：，，，，，，米，（米．答：无人机的飞行高度为米．本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，掌握仰角俯角定义和锐角三角函数定义．22．9m【解析】连接GD，并延长交BC于点H，证明BH=GH，设BC=x，则BH=x-1.5，用x表示出GH、BH、EC、DH，根据列出关于x的方程，解方程即可得出BC．解：连接GD，并延长交BC于点H，∵GF⊥CF，DE⊥CF，HC⊥FC，∴，∵GF=DE，∴四边形DEFG为平行四边形，∵∠GFE=90°，∴四边形DEFG为矩形，∴DG=EF，∵，，∴，∵∠DEC=∠EDH=∠ECH=90°，∴四边形DECH为矩形，∴∠DHC=90°，DH=CE，DE=CH=1.5m，∴∠DHB=90°，∵∠BGH=45°，∴∠GBH=45°，∴∠BGH=∠GBH，∴GH=BH，设BC=x，则BH=x-1.5，∴GH=BH=x-1.5，∴EC=DH=GH-DG=x-1.5-2.5=x-4，∴，∵，∴，解得：，即楼高BC为9m．