高中数学《超几何分布》教案、导学案与同步练习

《7.4.2超几何分布》教案

【教材分析】

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布

列》，本节课主本节课主要学习超几何分布

超几何分布是一类应用广泛的概率模型，常常与二项分布问题综合运用，本节是学生已经

学习了随机事件、等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率和相互独立事件概率的求

法、也学习了分布列的有关内容。它是对前面所学知识的综合应用。节课是从实际出发，

通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.理解超几何分布,能够判定随机变量是1.数学抽象：超几何分布的概念

否服从超几何分布；2.逻辑推理：超几何分布与二项分布的联系与区别

B.能够利用随机变量服从超几何分布的知3.数学运算：超几何分布的有关计算

识解决实际问题,会求服从超几何分布的4.数学建模：模型化思想

随机变量的均值.

【重点与难点】

重点：超几何分布的概念及应用

难点：超几何分布与二项分布的区别与联系

【教学过程】

教学过程教学设计

一、探究新知

问题1：已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4

件.设抽取的4件产品中次品数为X,求随机变量X的分布列.

(1)：采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？

采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08,且各次抽样的结果相互通过具体的问题

独立,此时X服从二项分布，即X〜B(4,0.08).情境，引发学生

(2)：如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布思考积极参与互

吗？若不服从，那么X的分布列是什么？动，说出自己见

不服从，根据古典概型求X的分布列.解。从而引入超

解：从100件产品中任取4件有Cfoo种不同的取法，从100件产品中任几何分布的概

取4件，次品数X可能取0,1,2,3,4.恰有k件次品的取法有瑞斯"种.念，发展学生逻

由古典概型的知识，得随机变量X的分布列为辑推理、数学运

算、数学抽象和

数学建模的核心

X01234

素养。

Pa「400

5“2C值

GtoGooGoo

超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽

取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为

pkpn-k

P（X=k）=」J,k=m,m+1,m+2,•••,r.

5

其中n,N,M£N*,MWN,nWN,m=max{0,n—N+M),r=min{n,M),则

称随机变量X服从超几何分布.

1.公式p(x=.)=

C"C,y.M中个字母的含义

C"N

N-总体中的个体总数

M-总体中的特殊个体总数（如次品总数）

n一样本容量

k一样本中的特殊个体数（如次品数）

2.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算,不必机械记忆这个概率

分布列.

3.“任取n件，恰有k件次品”是一次性抽取,用组合数列式.

4.各对应的概率和必须为1.

1.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（）

A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X

B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选

出女生的人数X

C.某射手射击的命中率为0.8,现对目标射击1次，记命中目标的次数为

X

D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次

摸出黑球时的总次数

解析：由超几何分布的定义可知B正确.

答案：B

二、典例解析

例1：从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率.

解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1),则X服从超

几何分布，且N=50,M=l,n=5.因此，甲被选中的概率为

4

P(X=l)=^c'c^=±1

<4io

例2.一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行

检测，求至少有1件不合格的概率.

解:设抽取的10个零件中不合格品数为X,则X服从超几何分布,且

N=30,M=3,几=10,

X的分布列为P(X=k)=第二k=0,1,2,3

C30

至少有1件不合格的概率为P(X21)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

C鸠C犯》95456146

—CiC?7.-L.，，,-1-,—七07192

嗡3U屐3U？十JU—203203203203

另解：(X21)=l-P(X=0)=1=1-—«0.7192

C30203

(1)当研究的事物涉及二维离散型随机变量(如：次品、两类颜色等问

题)时的概率分布可视为一个超几何分布；

(2)在超几何分布中，只要知道参数N,M,n就可以根据公式求出X取不

同值时的概率.

跟踪训练1.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对

人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受通过问题分析，

甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心让学生掌握超几

理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A-Az,何分布的概念及

A3,A„As,人和4名女志愿者B”B2,BS,B”从中随机抽取5人接受甲种其特点。发展学

心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.生逻辑推理，直

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含Ai但不包含B,的概率；观想象、数学抽

(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.象和数学运算的

解析：(1)记“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A”核心素养。

5

但不包含BJ'的事件为M,则P(M)=C

鬲18.

(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,则

P(X=O)=^P(X=D=詈4,

10..C；C；5

_.£L£LP(X=3)=~p—

P(X2)212?

C；C：1

P(X=4)——p-

42-

因此X的分布列为

X01234

151051

P

4221212142

探究1：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？

设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产

品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=5，则p是N件产品的

次品率，而-是抽取的n件产品的次品率，

n

E(-)=p,即E(X)=np.

n

超几何分布的均值

设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产

品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.☆P=则E(X)=_

np_.

例6.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球，从中

随机摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.

(1).分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列；通过典例解析，

(2).分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的在具体的问题情

比例，境中，深化对超

求误差不超过0.1的概率.几何分布的理

解。发展学生逻

匕=P(X=k)=C^O.44XO.620-*，左=0,1,2,…,20.辑推理，直观想

象、数学抽象和

，=P(X=Z)=?^,Z=0,l,2,…,20.

数学运算的核心

C|oo

素养。

解：(1)对于有放回摸球，由题意知(20,0.4),X的分布列为

对于不放回摸球，由题意知X服从超几何分布，X的分布列为

(2)

Jk*/*“

OO-OOO04O.OOOO111O.07099O.06376

1O.OOO49O.OOO1512O.03550O.O2G67

2O.00309O.OO13513O.01456O.00867

3O.01235O.0071414O.00485O.00217

4O-03499O.0255115O.OO129O.OOO41

§O.07465O.0653016O.OOO27O.OOO06

6O.12441O.1242217O.OOO04O.OOOO1

7O.16588O.1797218O.OOOOOO.OOOOO

8O.17971O.2007819O-OOOOOO.OOOOO

9O.15974O.1748320O.OOOOOO.OOOOO

1OO.11714O.11924

样本中黄球的比例力0=4是一个随机变量

有放回摸球：P(|/20-0.4WO.1)=P(6WXW10)^0.7469；

不放回摸球：P(|心()—0.4|W0.1)=P(6WXW10)*0.7988.

因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些。

两种摸球方式下,随机变量X服从二项分布和超几何分布.这两种分布的均

值相等都等于8.

但从两种分布的概率分布图看，超几何分布更集中在均值附近.

当n远远小于N时，每次抽取一次，对N的影响很小.此时，超几何分布可

以用二项分布近似.

二项分布与超几何分布区别和联系

1.区别：一般地，超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样，而二项分

布的模型是“独立重复试验”对于抽样，则是有放回抽样.

2.联系：当次品的数量充分大,且抽取的数量较小时,即便是不放回抽样,也

可视其为二项分布.

三、达标检测

1.一袋中装5个球，编号为1,2,3,4,5,从袋中同时取出3个，以€通过练习巩固本

表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量€的分布列为()节所学知识，通

e123W1234过学生解决问

A・j_j_j_B・J_J_色

产T二历|可|而|题，发展学生的

8123$123数学运算、逻辑

c-pAA±D・-LAA

5101010105推理、直观想

象、数学建模的

Q2Q核心素养。

解析：随机变量g的可能值为1,2,3,P(&—1)—/—口，

C55

r2or2I

P(32)=前下，P("3)=,F.故选C.

答案：c

2.已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品

中次品数的数学期望为_______.

解析：次品数服从超几何分布，则E(X)=3X羽=0.3.

答案：0.3

3.在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有5个红

球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，至少摸

到2个红球就中奖，求中奖的概率.

解析：由题意知，摸到红球个数X为离散型随机变量，X服从超几何分

布，则至少摸到2个红球的概率为

P(X22)=P(X=2)+P(X=3)

CsC；o,c"；。_22

-如*Cl-9i-

故中奖的概率为22言.

4.在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：

(1)不放回抽样时，抽取次品数g的均值；

(2)放回抽样时，抽取次品数n的均值.

解析：(1)方法一P(g=0)=方-=七；

C1015

,C；C：7C；1

3"C；。15'"a15'

随机变量€的分布列为

€012

771

p

151515

7713

E(€)=0X—+1X—+2X—=~.

1515155

「k「3-k

方法二由题意知P(g—k)—3(k-0,1,2),

,随机变量&服从超几何分布，n=3,M=2,N=10,

nM3X23

••.E(8)一N-10-5•

21

(2)由题意，知每次取到次品的概率为/=-，

105

•,・…卜，［J,

.*.E(n)=3X-=-.

55

二、小结

1.超几何分布通过总结，让学

生进一步巩固本

P(X-k)=M若二"k=m,m+1,m+2,•••,r.

节所学内容，提

2.超几何分布的均值高概括能力。

「八八nM

E(X)=np=

【教学反思】

课后通过对教学过程的反思与研究，才能不断完善教学设计中的不足，才能提升教材分析

的能力和课堂教学实效.

1.多元展示，多方评价.在教学过程中我借问题牵引，保证了课堂教学的顺利实施；而在

整个过程中，我对学生所作练习、疑问及时解析评价；学生之间、小组之间的互相评价补

充，使学生共享成果分享喜悦，坚定了学好数学的信念，实现了预期目标.

2.创造性的使用教材.有别于教材，我在教学中，让学生考察了分别考察了两类题型之后

再引导学生进行归纳，这样更贴近学生的认知水平，学生课后反馈，效果较为理想.

《7.4.2超几何分布》导学案

【学习目标】

1.理解超几何分布,能够判定随机变量是否服从超几何分布；

2.能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题,会求服从超几何分布的随机变量

的均值.

【重点与难点】

重点：超几何分布的概念及应用

难点：超几何分布与二项分布的区别与联系

【知识梳理】

1.超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放

回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为

「kpti-k

P(X=k)=飞手k=m,m+1,m+2,,,,,r.

其中n,N,MSN4,MWN,nWN,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},则称随机变量X服

从超几何分布.

1.公式p（x中个字母的含义

N-总体中的个体总数；M—总体中的特殊个体总数（如次品总数）

n一样本容量；k一样本中的特殊个体数（如次品数）

2.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算,不必机械记忆这个概率分布列.

3.“任取n件，恰有k件次品”是一次性抽取,用组合数列式.

4.各对应的概率和必须为1.

2.超几何分布的均值

设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地

随机抽取n件产品中的次品数.令p=?,则E（X）=_np_.

1.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（）

A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X

B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数X

C.某射手射击的命中率为0.8,现对目标射击1次，记命中目标的次数为X

D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的总

次数

【学习过程】

一、问题探究

问题1：已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件.设抽取的4

件产品中次品数为X,求随机变量X的分布列.

(1)：采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？

(2)：如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？若不服从，那

么X的分布列是什么？

二、典例解析

例1：从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率.

例2.一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1

件不合格的概率.

(1)当研究的事物涉及二维离散型随机变量(如：次品、两类颜色等问题)时的概率分布

可视为一个超几何分布；

(2)在超几何分布中，只要知道参数N,M,n就可以根据公式求出X取不同值时的概率.

跟踪训练1.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体

方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种

心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现

有6名男志愿者A“Az,Aa,脑,As,Ae和4名女志愿者B”Bz,B”B”从中随机抽取5人

接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含Ai但不包含B1的概率；

(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.

探究1：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？

例6.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个

球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.

(1).分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列；

(2).分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，

求误差不超过0.1的概率.

二项分布与超几何分布区别和联系

1.区别：一般地，超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样，而二项分布的模型是“独

立重复试验”对于抽样,则是有放回抽样.

2.联系：当次品的数量充分大,且抽取的数量较小时,即便是不放回抽样,也可视其为二项分

布.

【达标检测】

1.一袋中装5个球，编号为1,2,3,4,5,从袋中同时取出3个，以€表示取出的三个

球中的最小号码，则随机变量g的分布列为()

f123E1234

A.11b.1132

Pn—1P

333105105

A

ei23123

C.D.

PA31p133

101010105

2.已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学

期望为.

3.在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白

球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，至少摸到2个红球就中奖，求中奖

的概率.

4.在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：

(1)不放回抽样时，抽取次品数&的均值；

(2)放回抽样时，抽取次品数n的均值.

【课堂小结】

1.超几何分布

p（X=k）=,k=++

2.超几何分布的均值

nM

E(X)=np不

【参考答案】

知识梳理

1.解析：由超几何分布的定义可知B正确.

答案：B

学习过程

一、问题探窕

问题1：(1)采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08,且各次抽样的结果相互

独立,此时X服从二项分布，即X-B(4,0.08).

(2)：不服从，根据古典概型求X的分布列.

解：从100件产品中任取4件有Cf00种不同的取法，从100件产品中任取4件，次品数

X可能取0,1,2,3,4.恰有k件次品的取法有C§C打k种.

由古典概型的知识，得随机变量X的分布列为

X01234

PC；C；2

CooGoo

二、典例解析

例1：解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1),则X服从超几何分布,

c'c41

且N=50,M=l,n=5.因此，甲被选中的概率为尸(X=1)=士组=一

C501。

例2.解:设抽取的10个零件中不合格品数为X,则X服从超几何分布，月.N=30,M=3,n=10,

X的分布列为P(X=k)=*pkp一lO—k，k=0,1,2,3

So

至少有1件不合格的概率为P(X》1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

CJC?7C?C?7C|C?795456146

=第+钙+"5冢=丽+赤+丽=丽"HZ

另解：(XN1)=1-(X=O)=1-=1--®0.7192

跟踪训练1.解析：(1)记“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A”

1

C5

但不包含BJ'的事件为M,则P(M)=/

18'

(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,则

P(X=0)=

^七'P(E)=詈/)

,、c"；10/、CC：5

P-2)=丁=万'P(X=3)=工=方

P(X=4)=^~..

5o-乙

因此X的分布列为

X01234

151051

P

4221212142

探究1：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，

不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令pg,则p是N件产品的次品率，而乙是抽取

的n件产品的次品率，

E(-)=p,即E(X)=np.

n

例6.解：⑴对于有放回摸球，由题意知X、B(20,0.4),X的分布列为

%=P(X=k)=C*04*x06°“，攵=0,1,2,…,20.

对于不放回摸球，由题意知X服从超几何分布，X的分布列为

「k020-£

P?k=P(X=k)=―「20-，左=0,1,2,…,20.

C100

(2)

/4“k户，*

OO-OOO04O.OOOO111O.07099O.06376

1O.OOO49O.OOO1512O.03550O-02667

2O.00309O.OO13513O.014S6O.00867

3O.01235O.0071-114O.00485O.00217

4O.03499O.0255115O.OO129O.OOO41

5O.07465O.0653016O.OOO27O.OOO06

6O-12-111O-1242217O.OOO04O.OOOO1

7O.16588O.1797218O.OOOOOO.OOOOO

8O-17971O.2007819O-OOOOOO-OOOcx)

9O.15974O.1748320O.OOOOOO.OOOOO

1OO.11714O.11924

x

样本中黄球的比例力0=.是一个随机变量

有放回摸球:P(|f2o-0.4|<0.1)=P(6WXW10)*0.7469；

不放回摸球:P(|f20-0.4|^0.1)=P(6WXW10)比0.7988.

因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些。

A

两种摸球方式下,随机变量X服从二项分布和超几何分布.这两种分布的均值相等都等于8.

但从两种分布的概率分布图看，超几何分布更集中在均值附近.

当n远远小于N时，每次抽取一次，对N的影响很小.此时，超几何分布可以用二项分布近

似.

达标检测

(fO

L解析：随机变量&的可能值为1,2,3,P(g=1)=于--,

C55

《3C；1

P(g=2)=e-=—,P(&=3)=—=—.故选C.

答案：C

2.解析：次品数服从超几何分布，则E(X)=3X砺=0.3.

答案：0.3

3.解析：由题意知，摸到红球个数X为离散型随机变量，X服从超几何分布，则至少摸到

r2r1r3c099

2个红球的概率为P(X22)=P(X=2)+P(X=3)=)4+干心=言.

故中奖的概率为瓦.

工c；7

4.解析：(1)方法一P(€=0)=75—=—；

7

15

，随机变量&的分布列为

€012

771

P

151515

7713

E(€)-0X-+1X-+2X-

方法二由题意知P(€=k)=(k=0,1,2),

...随机变量&服从超几何分布，n=3,M=2,N=10,

nM3X23

••E(C=M=丁="

21

(2)由题意,知每次取到次品的概率为m=5，

.•.n〜B(3,I

13

...E(ri)=3X-

《7.4.2超几何分布》基础训练

一、选择题

1.在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不

方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（）

A.N=15,M=7,n=10B.N=15,M=10,n=7

C.N=22,M=10,n=7D.N=22,M=7,n=10

2.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则

P（X<2）等于（）

781314

A.—B.—C.—D.—

15151515

3.校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每

名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二（1）班的候选人的人数，则

E（X）=（）

3834

A.-B•—C.-D.一

4985

4.我校团委决定举办读书活动，经过选拔，共10人的作品被选为优秀作品，其中高一年

级5人，高二年级5人，现采取抽签方式决定作品播出顺序，则高二年级5名同学的作品

在前7顺位全部被播放完的概率为（）

5.（多选题）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的

白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（）

A.X表示取出的最大号码

B.X表示取出的最小号码

C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分

D.X表示取出的黑球个数

6.（多选题）在一个袋中装有质地大小一样的6黑球，4个白球，现从中任取4个小球,

设取出的4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是（）

3

A.P（X=2）=-B.随机变量X服从二项分布

7

Q

C.随机变量X服从超几何分布D.E(X)=—

5

二、填空题

7.一批产品共50件，有5件次品，其余均为合格品.从这批产品中任意抽取2件，出现

次品的概率为_

8.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已

过保质期的概率为.（结果用最简分数表示）

9.一袋中有除颜色不同其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3

个，有黄球的概率是，若4表示取到黄球球的个数，则E（J）=.

10.10名同学中有a名女生,若从中抽取2个人作为学生代表，恰好抽取1名女生的概率

为",则a=.

三、解答题

11.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念.记交通指数

为T,其范围是[0,10],分别有五个级别：Te[0,2）为畅通；Te[2,4）为基本畅通；T6

[4,6）为轻度拥堵；TG[6,8）为中度拥培；TC[8,10]为严重拥培.晚高峰时段，从某市交

通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图所示：

频率/组距

0.3------------------------

0.2------------------------------

0.15-----------------------------------

0.1-----------

0.051—

~0~^34567—；；交通相数

（1）这20个路段中轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？

（2）从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的

分布列.

12.第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期

开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人

口发展战略和政策体系、促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口

和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体

户进行申报，所有非住校生（走读生及半走读生）按原家庭申报，己知该班住校生与非住校

4

生人数的比为7:2,住校生中男生占一，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学

7

担任集体户户主进行人口普查登记.

（1）应从住校的男生、女生中各抽取多少人？

（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训

①求这3人中既有男生又有女生的概率；

②用X表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量X的分布列与数学期望.

答案解析

一、选择题

1.在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不

方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（）

A.N=15,M=7,n=10B.N=15,M=10,n=7

C.N=22,M=10,n=7D.N=22,M=7,n=10

【答案】A

【详解】根据超几何分布概率模型知选A.

2.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则

P（X<2）等于（）

781314

A.—B.—C.—D.—

15151515

【答案】D

C]C]C214

【详解】P（X<2）=P（X=l）+P（X=0）=-^+#=/，故选：D

doJo

3.学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设

每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二（1）班的候选人的人数，则

E(X)=()

3834

--C--

A.4B.98D.5

【答案】D

【详解】超几何分布列如下

一丝巴丝片x-2）.也6

p(x=o)-45'（）一金一45'（）一C；

*o45

X012

15246

P

454545

24c64

E(X)=lx—+2x——=

45455

4.我校团委决定举办读书活动，经过选拔，共10人的作品被选为优秀作品，其中高一年

级5人，高二年级5人，现采取抽签方式决定作品播出顺序，则高二年级5名同学的作品

在前7顺位全部被播放完的概率为（）

1113

A.—B.—C.-D.一

12324

【答案】A

【详解】由题意知：若X表示抽到高二年级同学的作品数，则服从乂可

类比：在含有5件次品的10件商品中取7次，恰好将5件次品全部取出的概率，即

〃=7,M=5,N=1O,

=二.故选:

P(X=5)=A.

5.（多选题）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的

白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（）

A.X表示取出的最大号码

B.X表示取出的最小号码

C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分

D.X表示取出的黑球个数

【答案】CD

【详解】AB不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，即AB

错；

CD选项符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的

数学模型计算概率，即CD正确；故选：CD.

6.(多选题)在一个袋中装有质地大小一样的6黑球，4个白球，现从中任取4个小球，

设取出的4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是()

3

A.P(X=2)=-B.随机变量X服从二项分布