第三章 重点突破训练：图形平移与旋转类型题举例-简单数学之2020-2021学年八年级下册同步讲练（解析版）（北师大）

第三章重点突破训练：图形平移与旋转类型题举例

典例体系（本专题41题47页）

考点1：利用图形的平移解决问题

典例：（2020•浙江杭州市•七年级其他模拟）如图，已知在每个小正方形的网格图形中，口A5c的顶点都在

（1）先将口46。先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，请在图中画出平移后口。石厂，（点A，B,

C所对应的顶点分别是。，E，F）

（2）求出口。石厂的面积；

（3）连结4）,BE,直接说出AD与班的关系（不需要理由）.

【答案】（1）见解析：（2）8；（3）AD=BE且AD〃BE

【详解】

解：⑴如图，ADEF即为所作;

（3）如图，由平移可知:

方法或规律点拨

本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离.作图时要先找到图

形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移

后的图形.

巩固练习

1.（2021•浙江温州市•七年级期末）将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和

5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（）

（图1）（图2）

A.16B.24C.30D.40

【答案】D

【详解】

设1号正方形的边长为x,2号正方形的边长为y,则3号正方形的边长为x+y,4号正方形的边长为2x+y,

5号长方形的长为3x+y,宽为y-x,

由图1中长方形的周长为32,可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16,

解得：x+y=4,

如图，

•.•图2中长方形的周长为48,

AB+2(x+y)+2x+y+y-x=24,

，AB=24-3x-4y,

根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，

：.2(AB+AD)=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2(24-x-y)=48-2(x+y)=48-8=40,

故选：D.

2.(2020•浙江杭州市•七年级其他模拟)如图，将DABC沿AC方向平移1cm得到口。所，若口45。的

周长为l()cm,则四边形A8EF的周长为()

C.12cmD.10cm

【答案】C

【详解】

解：根据题意，将周长为10cm的AABC沿AC向右平移1cm得到^DEF,

BE=lcm,AF=AC+CF=AC+lcm,EF=BC；

又：AB+AC+BC=10cm,

二四边形ABEF的周长=BE+AB+AF+EF=l+AB+AC+l+BC=l2cm.

故选：C.

3.(2021.山东烟台市.八年级期末)如图，将AABC向右平移8个单位长度得到ADEF,且点B,E,C,F

【答案】B

【详解】

解：；4DEF是由AABC向右平移8个单位长度得到，

，BC=EF,CF=8,

BC=EF=EC+CF=4+8=12.

故选：B.

4.（2021.上海宝山区.七年级期末）如图，口A6c经过平移后得到口。石尸，下列说法:

①AB/1DE

②AD=BE

③ZACB=ZDFE

④口A6c和口。瓦'的面积相等

⑤四边形4CED和四边形BCFE的面枳相等，其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【详解】

解：UABC经过平移后得到口DEF，

AAB//DE,故①正确；

AD=BE，故②正确；

ZACB=NDFE，故③正确；

□A5c和口£）防的面积相等，故④正确；

四边形ACFD和四边形BC咫都是平行四边形，且AD=B=3E,即两个平行四边形的底相等，但高

不一定相等，

四边形ACFD和四边形BCFE的面枳不一定相等，故⑤不正确；

综上：正确的有4个

故选A.

5.（2020・上海松江区•七年级期末）如图，PIABC沿射线方向平移到口。石尸（点E在线段3c上），

如果BC=8cm,EC=5cm,那么平移距离为（）

A.3cmB.5cmC.8cmD.13cm

【答案】A

【详解】

解：根据平移的性质，

易得平移的距离=8£=8-5=3＜：01,

故选：A.

6.（2020•山东泰安市•泰山外国语学校八年级月考）如图，将周长为8的口抽。沿BC方向平移1个单位

得到口。即，则四边形A8FD的周长是（）

【答案】B

【详解】

解：：将周长为8的口相。沿BC方向平移1个单位得到口。石厂，

AAD=CF=1,AC=DF,AB+BC+AC=8,

二四边形ABFD的周长=AD+AB+BC+CF+DF=AB+BC+AC+2AD=8+2=10.

故选：B.

7.（2020•河南洛阳市•七年级期末）如图所示，口A3C沿8c平移后得到VA*C',则口A6c移动的距离

A.线段8C的长B.线段的长C.线段的长D.线段C8'的长

【答案】C

【详解】•/AABC沿BC平移后得到△ABC一

」.△ABC移动的距离是BB，.

故选：C.

8.（2020・东营市实验中学七年级月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将口ABC沿AB方向平移2cm

得到口。所，CH=2cm,EF=4cm,下列结论：①BH/1EF；®AD=BE-,③BD=CH：④

NC=NBHD；⑤阴影部分的面积为6cm2.其中正确的是（）

A.①②③④B.②③④⑤C.①②③⑤D.①②④⑤

【答案】D

【详解】解：因为将口抽。沿48方向平移2cm得到口。所，

所以BH//EF,AD=BE，DF〃AC,故①②正确；

所以NC=NBHD,故④正确；

而BD与CH不一定相等，故③不正确；

因为S=2cm,所=BC=4cm,

所以BH=2cm,

又因为BE=2cm,

所以阴影部分的面积=SAABC-SADBH=SADEF-SADBH=S松彩BEFH=-^x（2+4）x2=6cm2.故⑤正确；

综上，正确的结论是①②④⑤.

故选：D.

9.（2020•浙江杭州市•七年级其他模拟）一块长为a（cm）,宽为仇cm）的长方形地板中间有一条裂缝（如

图甲）.若把裂缝右边的一块向右平移xcm（如图乙），则产生的裂缝的面积可列式为（cm2）.

甲乙

【答案】bx

【详解】解：如图乙，

产生的裂缝的面积=SM»,ABCD-ab=（a+x）b-ab=bx（cm2）.

故答案为：bx.

4B

D乙C

10.（2021・上海浦东新区•七年级期末）如图，已知直角三角形ABC,ZA=90°,AB=4厘米，AC=3

厘米，3c=5厘米，将DABC沿AC方向平移1.5厘米，线段在平移过程中所形成图形的面积为

平方厘米，

B

【答案】6

【详解】

解：如图：线段6c在平移过程中所形成图形为平行四边形且底CE=1.5cm,高DF=AB=4cm,

所以线段8c在平移过程中所形成图形的面积为CE-DF=1.5x4=6cm2.

故答案为6.

BD

k

AFCE

12.（2020・上海宝山区•七年级期末）如图，已知口钻。中，45=4、AC=5、BC=6,将DABC沿

直线BC向右平移得到VA'B'C',点A、8、C的对应点分别是A'、B'、C',连接A4'.如果四边形AA'C'B

的周长为19,那么四边形AA'C'5的面积与口48。的面积的比值是.

【详解】

解：过点A作BC上的高/?

，四边形AA'C'B为梯形

•.•四边形AAC'B的周长为19,

/.AY+AC'+BC+AB=19

/.A4'+5+6+CC'+4=19

.-.2AA'=4

•••A4'=2

CC'=2

：.BC'=BC+CC'=8

,（封+BC）2+85

，四边形AAC'B的面积与□ABC的面积的比为2~；------------===彳

-hBC63

2

故答案为：—.

3

13.（2019・四川德阳市•八年级期末）如图，在AABC中，AB=4,BC=6,ZB=60°,将AABC沿射线BC

的方向平移2个单位后，得到VA'3'C',连接AC,则VA'B'C的周长为.

AA

L

BRCC，

【答案】12

【详解】

•.•□ABC平移两个单位得到的口4'8。'，

:.BB=2,

QAB=4,BC=6,

..A?=AB=4，BC=BC—BB=6-2=4,

..AB'=B'C=4,

又•••4=60。，

.•.NA&C=60。，

.,□A8c是等边三角形，

的周长为4x3=12.

故答案为：12.

14.（2020•濮阳市第一中学九年级月考）如图，将R2ABC沿CB的方向平移BE距离后得到RSDEF,已

知AG=2,BE=4,DE=8,则阴影部分的面积是.

【答案】28

【详解】

RtAABC沿CB的方向平移BE距离后得到RtADEF,

SABC=SDEF'BE=CF~4,DE=AB=8,

._(BG+DE)BE_(8-2+8)x4_

一影一»梯形BMG―2—2—

故答案为：28.

15.(2020•浙江杭州市•七年级其他模拟)如图，要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯，则

红地毯至少要米.

【答案】18.

【详解】

解：根据平移不改变线段的长度，可得地毯的长=台阶的长+台阶的高，则红地毯至少要13+5=18米.

故答案为：18.

16.(2019•甘肃庆阳市•七年级期中)如图，把直角梯形ABCD沿方向平移到梯形EFG”，HG=28a〃,

MG=5cm,MC^4cm,则阴影部分的面积是—

【答案】130cm2.

【详解】

解：•••直角梯形EFGH是由直角梯形ABCD平移得到的，

二梯形EFGHg梯形ABCD,

；.GH=CD,BC=FG,

•.•梯形EFMD是两个梯形的公共部分，

••S制UfsABCD-S样"，EFMD=S机修EFGH-S松心EFMD,

,S瞰=SMMGHD=3(DM+GH)•GM=^-(28-4+28)x5=130(cm2).

故答案是130cm2.

17.(2020•山西大同市•七年级月考)如图，长方形ABCO的周长为30,则图中虚线部分总长为

【详解】

解：根据题意，

虚线部分的总长为：A8+8C=』x30=15.

2

故答案为：15.

18.(2020.重庆市万州第三中学八年级期中)如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角

形沿着点B到C的方向平移到aDEF的位置，AB=10,DO=4,平移距离为6,则阴影部分面积为一

【详解】解:由平移的性质知，BE=6,DE=AB=10,

，OE=DE-DO=10-4=6,

SHia)MODFC=SSBKABEO——(AB+OE)*BE——x(10+6)x6=48.

22

故答案为48.

考点2：三角形的旋转问题

典例：(2020•深圳市龙岗区龙岗街道新梓学校初一期中)已知R5OAB和RM0CD的直角顶点0重合，Z

AOB=/COD=90。，且OA=OB,OC=OD.

(1)如图1,当C、D分别在OA、0B上时，AC与BD的数量关系是ACBD(填“>”，或“=”)

AC与BD的位置关系是ACBD(填“〃”或U")；

(2)将RtAOCD绕点0顺时针旋转，使点D在OA上，如图2,连接AC,BD,求证：AC=BD；

(3)现将RMOCD绕点O顺时针继续旋转，如图3,连接AC,BD,猜想AC与BD的数量关系和位置关

系，并给出证明.

【答案】(1)=;_L(2)见解析(3)AC=BD且ACJ_BD；证明见解析

【解析】解：⑴VOA=OB,OC=OD

AOA-OC=OB-OD,

AAC=BD.

VZAOB=ZCOD=90°,

AAO±BO,

VC>D分别在OA、OB±,

AAC1BD；

(2)在ZkOCA和ZiODB中，

OC=OD

<ZCOA=BOD=90°,

AO=BO

AAOCA^AODB,

AAC=BD；

(3)AC=BD,AC±BD.

理由：

丁ZAOB=ZCOD=90°,

ZAOB+ZAOD=ZCOD+ZAOD,

AZAOC=ZBOD,

在ZiOCA和aODB中，

OC=OD

<ZCOA=BOD,

AO=BO

.".△OCA^AODB,

AAC=BD,ZBDO=ZACO,

VZACO+ZCFO=90°,ZCFO=ZDFE,

.*.ZBDO+ZDFE=90°,

...NDEF=I8O°-9O°=9O°,

.\AC±BD.

本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判

定方法（即SSS、SAS、ASA,AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相

等）是解题的关键.

巩固练习

1.（2020・洪泽外国语中学初一月考）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45。的三角尺ADE固定不动，

将含30。的三角尺4BC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行.如图2：当NC4E=15。

时，BC//DE.则/CAE（0。＜/。后＜180。）其它所有可能符合条件的度数为.

【答案】60。或105。或135°

【解析】

解：对△ABC沿A点进行旋转，分情况进行讨论

（1）当BC//EA.ZBAE=90°＞ZBAC=30°，即NC4E=60°：

(2)当BC〃ZM,NC=60°，所以NZMC=60°，ZDAE=45°.即NC4E=105°;

c

(3)当C4//QE,N£>=NZMC=90°，NZME=45°，即NCAE=135°

综上所述，NC4E=60°或105°或135°；

故答案为：60°.105%1350-

2.（2020•揭阳产业转移工业园月城中学初二月考）如图，已知^BAD和ABCE均为等腰直角三角形，ZBAD=

NBCE=90。，点M为DE的中点.过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.

⑴当A,B,C三点在同一直线上时（如图1）,求证：M为AN的中点.

（2）将图1中ABCE绕点B旋转，当A,B,E三点在同一直线上时（如图2）,求证：aCAN为等腰直角三角

形.

⑶在（2）条件下，已知AD=1,CE=V2＞求AN的长.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）AN=ViO

【解析】解：（1）:点M为DE的中点，

，DM=ME.

VAD/7EN,

NADM=/NEM,

又•.,/DMA=NEMN,

.,.△DMA❷△EMN,

/.AM=MN,即M为AN的中点.

(2)由(1)中△DMAgZ\EMN可知DA=EN,

又：DA=AB,

，AB=NE,

,.,ZABC=ZNEC=135°,BC=CE,

/.△ABC^ANEC,

；.AC=CN,NACB=NNCE,

，:/BCE=NBCN+NNCE=90。，

/.ZBCN+ZACB=90o,

:.ZACN=90°,

/.△CAN为等腰直角三角形.

(3)由(2)知，NE=AD=I,

在等腰直角三角形BAD中，AD=1,

，AB=AD=1,

在等腰直角三角形BCE中,CE=0,

，BE=2,

；.AE=AB+BE=3

由(2)知,NAEN=90。，

在RtAAEN中,AE=3,NE=1,根据勾月殳定理得,AN=W.

(图1)02)

3.(2020•北京初二期中)如图1,z\ABC是等边三角形，点D,E分别是BC,AB上的点，且BD=AE,AD

与CE交于点F.

(1)求NDFC的度数；

(2)将CE绕着点C逆时针旋转120。，得到CP,连接AP,交BC于点Q.

①补全图形(图2中完成)；

②用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明.

A

【解析】

(1)•..△ABC是等边三角形，

.\AB=AC=BC,

ZBAC=ZB=ZACB=60°,

在AABD和zkCAE中

AB=AC

<ZB=ABAC

BD=AE

AAABD^ACAE(SAS),

NBAD=NACE,

ZBAD+ZDAC=60°,

二ZDFC=ZACE+ZDAC=60°；

(2)补图

VCE绕着点C逆时针旋转120。，得到CP,

，CE=CP,NECP=120°,

又NDFC=60°,

；.AD〃CP,

r.ZADC=ZDCP,

VAABD^ACAE,

；.CE=AD,

，AD=CP,

在ZiADQ和aPCQ中

ZADC^ZDCP

<ZAQD=NPQC

AD^CP

.,.△ADQ^APCQ(AAS),

.♦.CQ=DQ=gc£>,

VAB=BC,BD=AE,

，BE=CD,

/.CQ=-B£.

2

4.(2020•湖北省初三月考)在AABC与ZkCOE中，NACB=NCDE=90。,AC=BC,CD=ED,连接AE,

BE,F为AE的中点，连接QF,ZkCCE绕着点C旋转.

(1)如图1,当点。落在AC上时，DF与BE的数量关系是：；

(2)如图2,当ACDE旋转到该位置时，。尸与8E是否仍具有(1)中的数量关系，如果具有，请给予证明；如

果没有，请说明理由；

(3)如图3,当点E落在线段CB延长线上时，若CD=AC=2,求OF的长.

图1图2图3

【答案】⑴8'=g8E；（2）见解析；（3）04；

【解析】（1）VZACB=ZCDE=90°,AC=BC,CD=ED,

.\ZACE=ZBCE=45°,

.1△ACE四△BCE,

AE=BE,因为DF是直角ZkADE的中线，

1

.*.DF=-AE

2

1

.；DF=-BE

2

(2)如图，将△C£)E沿着CO翻折，得到ADCM也△£><?£,连接AM,

由ACCE为等腰直角三角形易知ACME为等腰直角三角形,

在AACM和ABCE中，

AC=BC,NACM=NBCE,CM=CE,

：.l\kCMqXBCE,

：.AM=BE

•.•尸为AE的中点，。为ME的中点

...O广为ZkAA/E的中位线，

1…

.,.DF=-AM,

2

：.DF=—BE.

2

（3）将AEOC沿DC翻折得到AOCW

CD=DE^2,由勾股定理可知CE=2&

BE=CE—CB=2y[2-2

由前面的结论可知：DF=—BE

2

:.DF=O-1.

5.（2019•山东省初三期末）（1）如图1,O是等边4ABC内一点，连接OA、OB、OC,且OA=3,OB=4,

OC=5,将ABAO绕点B顺时针旋转后得到回CD,连接OD.求：

①旋转角的度数;线段0D的长为.

②求NBDC的度数；

(2)如图2所示，0是等腰直角AABC(/ABC=90。)内一点，连接OA、OB、0C,将ABAO绕点B顺

时针旋转后得到ABCD,连接0D.当OA、OB、0C满足什么条件时，NODC=90。？请给出证明.

222

【答案】（I）①60°,4;②150°；（2）<9A+2OB=（9C.证明见解析.

【解析】解：（1）①'.•△ABC为等边三角形，

，BA=BC,ZABC=60°,

VABAO绕点B顺时针旋转后得到ABCD,

二ZOBD=ZABC=60°,

二旋转角的度数为60。；

•/旋转至ABCD,

:.BO=BD=4,NOBD=NABC=60°，CD=AO=3,

：.AB。。为等边三角形

•••ZBDO=60°.OD=OB=4,

故答案为：60°；4

②在AOCO中，CD=3,OD=4,OC=5,

32+42=52

：-CD2+OD2=OC2

：.\OCD为直角三角形，ZODC=90°，

/•ZBDC=NBDO+ZODC=600+90°=150°

（2）32+2052时，NQDC=90°，

理由如下：

A5AO绕点B顺时针旋转后得到ABCD,

ZOBD^ZABC=90°>BO=BD,CD=AO,

...△O8D为等腰直角三角形，

OD=近OB

当CZ^+OD?=。。2时，△OCD为直角三角形，ZODC=90°-

，OA2+（aOB）2=OC2，即+2OB2=OC2

当OA,OB,OC满足32+2o§2=oci时，々DC=90°.

6.（2020•河南省初三二模）已知AABC是等边三角形，A。，8c于点。，点E是直线AO上的动点，将破

绕点3顺时针方向旋转60。得到8尸，连接E/LCF,AF.

（1）问题发现：如图1，当点E在线段A。上时，且N4FC=35。，则NE4C的度数是；

图1

（2）结论证明：如图2,当点E在线段AT＞的延长线上时，请判断NA尸C和NE4C的数量关系，并证明

你的结论；

（3）拓展延伸：若点E在直线AO上运动，若存在一个位置，使得AACE是等腰直角三角形，请直接写

出此时NEBC的度数.

【答案】（1）55。；（2）ZAFC+ZFAC=90°.见解析；（3）15。或75°

【解析】（D55°,理由:

•••AABC是等边三角形，

AB=AC=BC，ZABC=NBAC=ZACB=60°，

VAB^ACrADIBC,

：.ZBAD=30°,

,/将BE绕点B顺时针方向旋转60。得到BF，

:•BE=BF，NEB尸=60°,

NEBF=ZABC,

在AADC和ABDA中,

AB=BC

<NABE=ZFBC,

BE=BF

：.MBE^ACBF(SAS),

NBAE=NBCF=30°,

/.NAC尸=90。，

ZAFC+ZFAC=90°；

---ZAFC=35°,

NE4c=55。；

(2)结论：NAFC+NE4c=90°,理由如下：

,/A4BC是等边三角形，

，AB=AC=BC，ZABC=ZBAC^ZACB=60°,

VAB=AC,ADJLBC，

：.ZBAD=30°,

,将班;绕点3顺时针方向旋转60。得到BF，

:•BE=BF，Z£B尸=60°,

/EBF=ZABC,

^△ADC和ABDA中，

AB=BC

<NABE=NFBC,

BE=BF

：.MBE^CBF(SAS),

：.NBAE=/BCF=30。，

NACF=90。，

/.ZAFC+ZFAC^90°；

(3)N£BC=15°或75。分两种情况：

①点E在点A的下方时，如图：

VAACF是等腰直角三角形,

二AC^CF,

由（2）得AABE咨ACBF,

J.CF^AE,

AC=AE=AB-

180°—30°

ZABE==75°

2

，ZEBC=ZABE-ZABC=75°-60。=15。：

②点E在和点A的上方时，如图：

同理可得ZEBC=ZABE+ZABC=75°.

7.（2020•陕西省初二期末）问题提出：

（1）如图1,在口45。中，=点D和点A在直线8C的同侧，BD=BC,ZBAC=90°,

ZDBC=30°,连接A£>,将△AB。绕点A逆时针旋转90。得到口AC。，连接BD'（如图2）,可求出

NAD8的度数为.

问题探究：

（2）如图3,在（1）的条件下，若NB4C=a,NDBC=。,且e+〃=120°,ADBC<ZABC,

①求NAD8的度数.

②过点A作直线AE_L8£）,交直线BO于点E,BC=7,AD=2.请求出线段的长.

【答案】(1)30°；(2)①30°;②7-百

【解析】解：(1)根据题意，•••AB=ACHBC,ZBAC=90°,

...AABC是等腰直角三角形，

:.NA6C=NACB=45。，

NDBC=30°,

：.ZABD=15°,

由旋转的性质，则AABD也A4C。'，

/.ZADB=ZAD'C,ZABD=ZACD=15°,BC=CD'.

:.Z.BCD=60°，

/.^BCD'是等边三角形，

二ZBZ)'C=60。，BD'=CD'

•：AB=AC,A£X=AEX，

/.MBD'名MCD'.

/.ZAD'B=ZAD'C=30°,

NAD8=NAO'C=30。；

(2)①•；NDBC<ZABC,

/.60°<a<\20°.

如图1,将八45。绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ACD',连接BD'.

・・.ZABC=ZACB,

ABAC=a，

ZABC=1(180°-tz)=90°-^«,

ZABD=NABC-ZDBC^9()--a-S,

2

ZDCB=ZACD+ZACB=90°—ga—4+90°—ga=180°—(a+〃).

•：a+/3=120,

NO'CB=60°.

BD=BC,BD=CD,

BC-CD,

：^DBC为等边三角形，

DB=DC<

.UAD'B^ADC，

：.ZADB=ZADC，

ZAPB=-ZBDC=30°,

2

：.ZADB=30°.

②如图2,由①知，ZADB=30°,

在RrAADE中，ZADB=30\AD=2,

:.DE=^.

•.•□BCD'是等边三角形，

..5。=8C=7，

:.BD=BD=7，

：.BE=BD-DE=7-y/3.

考点3：平面直角坐标系中图形旋转

典例：(2020•黑龙江省初一期末)如图，在平面直角坐标系中，点。为原点，A(0,a),B(b,0),已知

4+8=6

、〃满足方程组《

。-30=30

（1）求A、B两点的坐标;

（2）点C从。出发，以每秒2个单位长度的速度沿），轴正半轴的方向运动，设点C的运动时间为f秒，连

接BC,AABC的面积为S,用含，的式子S表示（并直接写出f的取值范围）；

（3）如图3,在（2）的条件下，当C点在0A上，S=30时，点E在CB的延长线上，连接AE,将线段

AE绕点A逆时针旋转90。至线段4。，点D恰好在x轴的正半轴上，将线段BA绕点A逆时针旋转90。至线

段胸，当点F在直线BC上时，求？值和点。的坐标.

-6/+36(0<r<6)

【答案】(1)A(0,12),B(-6,0)；(2)S=《；(3)r=l,D(14,0).

6f-36(/>6)

a+b=6

【解析】（1）[a-3b=30

a=12

h--6

(0,12),8(-6,0)；

(2)当点C在线段04上时，即03<6,CA=12-2t,

\'BO±OA,

:.S=—CA・OB=—(12-2/)x6=-6/+36；

22

当点C在。A的延长线上时，r>6,C4=2r-6,

VBO1OA,

.*.5=—CA'OB=—(2/-12)x6=6f-36,

22

[-6z+36(0,,/<6)

即5=《；

6-36(r〉6)

(3)如图，•.•点C在线段OA上，5=30,

-61+36=30,

：.C(0,2),

过点广作QGJ_y轴于G,过点E作轴于从

・・・NAG/=90。，

，ZAFG+ZMG=90°,

由旋转知，NBAF=90。,

：.ZFAG+ZOAB=90°,

：.ZOAB=ZGFA9

由旋转知，AB=AF9ZAOB=ZFGA,

•••△A60g△阳G(AAS),

:・FG=AO,AO=BO=6,

,:ZAHE=90°9

・・・NHE4+NE4H=90。，

由旋转知，AE=AD,ZEAD=90%

•♦・NE4"+NOAO=90。，

：.ZHEA=ZDAO,

'/NAOD=NEHA,

：./^AEH^/\DAO(MS),

:,EH=AO=12,AH=DO,

：.EH=FG=AO=\2,

ZFGC=ZEHC=9Q09ZECH=ZGCF,

:.XGCF9XHCE(A4S),

:・GC=CH,

\'GC=OA-OC-AG=12-2-6=4,

:・CH=CG=4,

：.OO=A〃=10+4=14,

：.D(14,0).

方法或规律点拨

此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解方程组的方法，三角形的面积公式，全等三角形的判

定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.

巩固练习

1.（2020•黑龙江省朝鲜族学校中考真题）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2,2百）,

将菱形绕点。旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（）

ty.A

O\/BX

C

A.（-2,-2百）或（26,-2）B.（2,2百）

C.（一2,26）D.（一2,-26）或（2,2百）

【答案】D

【解析】解：如图所示，过点A作AELx轴于点E,

则tanNA0E=3叵=6，OA=

2

，ZAOE=60°,

•••四边形ABCD是菱形，

.,.△AOB是等边三角形，

当A落在x轴正半轴时，点C落在点C位置,

此时旋转角为60。，

VZBOC=60°,NCOF=30°,

二ZC,OF=60°-30°=30°,

•；OC'=OA=4,

二OF=C'OcosZC'OF=2AA，

CT=C'OsmZC'OF=2,

：.C(-2,-25/3).

当A落在x轴负半轴时，点C落在点C”位置,

TZAOC=ZAOC+ZBOC=120°,

.,.ZA,,OC=120°,/GOC'=30°

又；OA=OC",

此时C”点A重:合，CC”（2,2百），

综上，点C的对应点的坐标为（-2,-2月）或（2,2百），

故答案为：D.

4-

2.（2020•河南省初三一模）如图，直线y=-§x+4与％轴，>轴分别交于A，3把AAO3绕点A顺时针

旋转90°后得到反。，则点。的坐标是（）

C.(7,4)D.(7,3)

【答案】D

4

【解析】当x=0时,>=一一x+4=4,则B点坐标为（0,4）；

3

4

当y=0时，-§x+4=0,解得x=3,则A点坐标为（3,0）,

则OA=3,OB=4,

AAOB绕点A顺时针旋转90。后得到MCD，

；.NOAC=90°,NACD=/AOB=90°,AC=AO=3,CD=OB=4,

即AC_Lx轴，CD〃x轴,

...点D坐标为(7,3).

3.（2020•辽宁省初二期中）如图，等边AOAB的顶点0为坐标原点，AB〃x轴，0A=2,将等边ZkOAB绕

原点O顺时针旋转105。至AOCD的位置，则点D的坐标为（）

A.（2,-2）B.（g,一百）C.（V2.V2）D.(5/2，—>/2)

【答案】D

【解析】解：如图，过点D向x轴作垂线，垂足为E,

,/△OAB是等边三角形，旋转角是105°,

.../AOB=/B=/COD=60°,ZAOC-I050,

二ZBOC=ZAOC-ZAOB=105°-60°=45°,

又：AB〃x轴，

.../BOE=/B=60。（两直线平行，内错角相等），

:.ZCOE=ZBOE-ZBOC=60°-45°=15°,

/.ZEOD=ZDOC-ZCOE=60°-15°=45°,

/.△EOD是等腰直角三角形，

二EO=ED

VOD=OA=2,

AOD2=4=EO2+ED2（勾股定理），

EO=ED=42

•；D点在第四象限，

••.D点的坐标为：（0,-72）

故选D：

4.（2020•天津初三二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=经过点4,作ABLx轴于点8,

将AABO绕点B逆时针旋转60。，得到△C8D,若点B的坐标为（4,0）,则点C的坐标为.

【答案】（-2,273）

【解析】作轴于H点，如图，

当44时，产百x=4百，则A（4,4下））,

：.AB=4y/j.

/\ABO绕点B逆时针旋转60°,得到△C8D,

：.BC=BA=4y/j，NABC=60。，

，NCBH=30°,

在RiaCB“中，CH=；8C=2G，BH=YJBC2-CH2

OH=BH-OB=6-4=2,

.♦.C点坐标为（-2,273）

考点4：旋转中的最值问题

典例：（2020•射阳县实验初级中学初三其他）已知△A8C是等边三角形，点。在8C边上，点E在4B的延

长线上，将。E绕。点顺时针旋转120。得到QF,设处=t.

CD

A

E

（1）如图1,若点尸恰好落在4c边上，求证：t=l；

（2）如图2,在（1）的条件下，若NDFC=45。,连接AQ,求证：BE+CF=AD；

（3）如图3,若BE=CD,连CR当CF取最小值时，直接写出t的值.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3

【解析】解：（1）证明：如图1中，作。于M,DNLAC于N.

:△ABC是等边三角形，

・•・ZA=ZDBM=ZC=60°,

,:NAMD=NAND=90。,

:.^MDN=360°-ZAMD-ZAND-ZA=120°,

・・,将DE绕。点顺时针旋转120。得至ljDF,

.\Z£DF=120°,DE=DF,

・・・ZMDN=/EDF=120°,

:・/EDM=/FDN,

•：NDME=NDNF=90。,DE=DF,

：./\DME^ADNF(AAS\

1・DM=DN,

・.,NO8M=NC=60°,/DMB=/DNC=90°,

:•△DMBQADNC(A4S),

：.DB=DCf

\t=1.

（2）证明：如图2中，作于M,DNtAC于N.

AL

图2

Y4DMBqADNC,

:,CN=BM,

：.EM=FNf

：.BE+CF=BE+CN+FN=BE+BM+EM=2EM=2FN,

•：4DFN=45°,NON尸=90。，

:・DN=FN,

♦：BD=CD,AB=AC,NBAC=60。,

：.ZDAN=-ZBAC=30°,

2

:.AD=2DN=2FN=BE+CF.

(3)解：如图3中，连接AT,AD,延长CB到M,使得BM=BE,作AN_LBC于M

•••△BEM是等边三角形，

・•・ZM=ZACD=60°,EM=BE=CD,

：.DM=BC=AC,

•・.△MOEg△CAD(SAS),

:.DE=DA=DF9

：.ZDAE=ZDEAfZDAF=ZDFAf

VZ£DF=120°,

・・・2ZDAE+2ZDAF=240°,

：.ZDAE+ZDAF=120°9

・・・N8AC=60。，

AZ£4C=ZACB=60°,

：.AF//BC,

根据垂线段最短可知，当CVLAF时，C/的值最小,

VANLBC,CFLBC,

:・AN=CF,BN=CN,

'：DA=DF,ZAND=ZFCD=W0,

ARtAX^D^AFCD(HL),

:・DN=DC,

:・BD=3CD,

方法或规律点拨

本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短、旋转的性质等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

巩固练习

1.（2020•江苏省初三二模）如图，VABCVCDE是两个直角三角板，其中

ZECD=ZACB=90°,ZCED=45°,ZC4B=30°,若AB=DE=2,将直角三角板C0E绕点。旋转

一周，贝（J|AO—B目的最大值为.

【答案】V3-1

【解析】解：如图，在CA取一点J,使得CJ=CB,连接DJ.

在RtAACB中，AB=2,ZCAB=30°,ZACB=90°,

，CB=CJ=JAB=I,AC=V5BC=G

VZECD=ZBCJ=90°(

/.ZDCJ=ZECB,

VCD=CE,CJ=CB,

/.△DCJ^AECB(SAS),

:.DJ=BE,

.,.|AD-BE|=|AD-DJ|,

V|AD-DJ|<AJ,

.*.|AD-BE|<V3-1.

.••IAD-BEI的最大值为0-1.

故答案为：V3-1,

2.(2020•内蒙古自治区初三三模)如图，在Rtz^ABC中，ZACB=90°,将AABC绕顶点C逆时针旋转得到

△A'B'C,M是BC的中点，尸是A'B'的中点，连接尸M.若8c=4,NBAC=30。，则线段PM的最大值是—.

【解析】如图，连接尸C,

在RtziABC中，VZA=30°,BC=4,

；.48=8,

根据旋转不变性可知，A/B'=AB=8,

：.A'P=PB',

PC=-A'B'=4,

2

'：CM=BM^2,

又♦；PMSPC+CM,即PMW6,

尸M的最大值为6(此时P、C、M共线).

3.(2020•江苏省初三其他)如图1,等边AABC与等边ABOE的顶点8重合，D、E分别在AB、BC上，AB=

2夜，加=2.现将等边ABDE从图1位置开始绕点8顺时针旋转，直线A。、CE相交于点P.

(1)在等边ABOE旋转的过程中，试判断线段A。与CE的数量关系，并说明理由；

(2)在等边ABOE顺时针旋转180。的过程中，当点B到直线AO的距离最大时，求PC的长；

(3)在等边ABDE旋转一周的过程中，当A、D、E三点共线时，求CE的长.

2

【答案】(1)AD=CE,理由详见解析；(2)2-yV3；(3)布+1或布-1

【解析】解：(1)AD=CE,

理由：:△ABC与ABDE都是等边三角形，

；.AB=BC,BD=BE,NABC=/DBE=60。，

.,.ZABD=ZCBE,

/.△ABD^ACBE,

.♦.AD=CE；

(2)如图2,

过点B作BHJ_AD于H,在RtABHD中，BD>BH,

A

5xtxc

E

图2

・・・当点D,H重合时，BD=BH,

，BH<BD,

・••当BDJ_AD时，点B到直线AD的距离最大,

JNEDP=90。-ZBDE=30°,

同（1）的方法得，△ABDg/XCBE,

AZBEC=ZBDA=90°,EC=AD,

在Rt/kABD中，BD=2,AB=20,

根据勾股定理得，AD=JAB?-BD?=2,

・・・CE=2,

VZBEC=90°,ZBED=60°,

・・・NDEP=90。-60°=30°=ZEDP,

.♦・DP=EP,

如图2-1,过点P作PQ_LDE于Q,

在RMEQP中，ZPEQ=30°,

3EQ_1「亚,

cosZDEPcos303

•,.PC=2一——；

3

(3)①当点D在AE上时，如图3,

.•.ZADB=1800-ZBDE=120°,

/BDE=60。，

过点B作BF±AE于F,

在RtABDF中，NDBF=30。，BD=2,

，DF=1,BF=G

在RtAABF中，根据勾股定理得，AF=NAB2-BF?=亚，

AD=AF-DF=V^-1,

.*.CE=AD=75-1：

.,.AD=AF+DF=V5+1>

ACE=AD=75+1)

即满足条件的CE的长为6+1和、6-I.

4.(2020•山东省中考真题)如图1,在RABC中，/4=9O°,AB=AC=0+1,点D,E分别在边AB,AC

上，且AD=AE=1,连接。E.现将U4)石绕点A顺时针方向旋转，旋转角为a(0<a<360"),如

图2,连接CE,BD,C£>.

（2）如图3,当a=90°时，延长CE交8。于点尸，求证：C/垂直平分BD；

（3）在旋转过程中，求口BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角。的度数.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）口BCD的面积的最大值为3近+5,旋转角a的度数为

2

135°

【解析】⑴根据题意：AB=AC,AD=AE,ZCAB=ZEAD=90°,

ZCAE+ZBAE=ZBAD+ZBAE=90°,

.♦.NCAE=/BAD,

AC=AB

在ZkACE和aABD中，=

AE=AD

/.△ACE=AABD（SAS）,

.\CE=BD；

（2）根据题意：AB=AC,AD=AE,ZCAB=ZEAD=90°,

AC=AB

在AACE和ZkABD中，＜ZCAE=ZBADf

AE=AD

•・.△ACE=AABD（SAS）,

AZACE=ZABD,

VZACE+ZAEC=90°,且NAEONFEB,

・