第13讲 数据的分析-基础班

第13讲数据的分析

'平均数

中位数和众数

数据的分析，

统计图的选择

、数据的离散程度

知识点1平均数

1.平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；

2.加权平均数：在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分I；匕称为这个数的权重，每个数

乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数.

【随堂练习】

1.（2018•桂林）某学习小组共有学生5人，在一次数学测验中，有2人得85

分，2人得90分，1人得70分，该学习小组的平均分为一分.

【解答】解：（85x2+90x2+70）-（2+2+1）

=（170+180+70）+5

=420+5

=84（分）.

答：该学习小组的平均分为84分.

故答案为：84.

2.（2018•柳州）一位同学进行五次投实心球的练习，每次投出的成绩如表：

投实心球序12345

次

成绩（m）10.510.210.310.610.4

求该同学这五次投实心球的平均成绩.

【解答】解：该同学这五次投实心球的平均成绩为：

105+10.2+10.3+10.6+1。4=]0彳

-5''

故该同学这五次投实心球的平均成绩为10.4m.

知识点2中位数与众数

中位数：将一组数据按照大小N页序排列，若数据的个数是奇数，则处于最中间位置的那个数

据就是该组数据的中位数；若数据的个数是偶数，则处于最中间位置的两个数据的平均数就

是该组数据的中位数。一组数据的中位数是唯一的。

众数：一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

【典例】

1.一组数据：1,2,1,0,2,a,若它们.的众数为1,则这组数据的平均数为

【答案】|

6

【解析】本题考查众数、平均数的概念.根据众数为1,求出〃的值，然后根据平均数的概念

求解..••众数为1,."=L.♦.平均数为1+2+1：°+2+11

66

2.在“爱满扬州”慈善一日捐款活动中，学校团总支为了了解本校学生的捐款情况，随机抽取

了50名学生的捐款数进行了统计，并绘制成下面的统计图.

20

14

6

2

010152025捐款/元

第11题图

(1)这50名同学捐款的众数为元，中位数为.

(2)求这50名同学捐款的平均数；

(3)该校共有600名学生参与捐款，请估计该校学，生的捐款总数

【解析】（1）解：15,15；（4分）

（2）.解:x=^x（5x8+10x14+15x20+20x6+25x2）=13；

（3）解：600x13=7800（元）；

答：估计该校学生的捐款总数为7800元

【方法总结】L中位数也是反映一组数据的集中趋势的量，有时我们更关注的是该组数据的

中位数，因为中位数不受极端值的影响。求中位数第一步必须按照顺序进行排列

2.一组数据中的众数可能不止一个，众数是反映一组数据的“多数水平”的数据代表

【随堂练习】

1.（2018•临安区）某青年排球队12名队员的年龄情况如表：

年龄1819202122

人数14322

则这个队队员年龄的众数和中位数是（）

A.19,20B.19,19C.19,20.5D.20,19

【解答】解：数据19出现了四次最多为众数；20和20处在第6位和第7位，

其平均数是20,所以中位数是20.

所以本题这组数据的中位数是20,众数是19.

故选：A.

2.（2018•平度市一模）小明调查了班级里20位同学本学期购买课外书的花费

情况，并将结果绘制成了如图的统计图.在这20位同学中，本学期购买课外书

的花费的众数和中位数分别是（）

⑤①

5%10%

①100元

②80兀

③50匹

④30匹

⑤20元

A.50,50B.50,30C.80,50D.30,50

【解答】解：由扇形统计图可知，

购买课外书花费为100元的同学有：20xl0%=2（人），

购买课外书花费为80元的同学有：20x25%=5（人），

购买课外书花费为50元的同学有：20x40%=8（人），

购买课外书花费为30元的同学有：20X20%=4（人），

购买课外书花费为20元的同学有：20x5%=1（人），

20个数据为100,100,80,80,80,80,80,50,50,50,50,50,50,50,

50,30,30,30,30,20,

在这20位同学中，本学期计划购买课外书的花费的众数为50元，

中位数为（50+50）+2=50（元）；

故选：A.

知识点3从统计图计算集中趋势

数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图.

要点诠释：

这三种统计图各具特点：

条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；

折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；

扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额.

【典例】

某校分别于2012年、2014年随机调查相同数量的学生，对数学课开展小组合作学习的情况

进行调查(开展情况分为较少、有时、常常、总是四种)，绘制成部分统计图如下，请根据

图中信息，解答下列问题：

2014年小组合作的

情况扇形统计图

(1)a=%力=%，“总是”对应阻影的圆心角为°；

(2)请你补全条形统计图；

(3)若该校2014年共有1200名学生，请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习

的学生有多少名？

(4)相比2012年，2014年数学课开展小组合作学习的情况有何变化？

【答案】

【解析】(1)解：80-40%=200(A),a=38-200=19%,6=100%-40%-21%-19%=20%,

40%x360°=144°；

(2)解：2014年“有时”的人数为:20%x200=40(人)，

2014年“常常”的人数为：200x21%=42(人),

补全统计图如解图所示：

9O

8O

7O

6O

5O

4O

3O

2O

1O

O

(3)解：1200x-=480(A),

答：数学课“总是”开展.小组合作学习的学生有480人；

(4)解：相比2012年，2014年数学课开展小组合作学习情况有所好转

【方法总结】

1.解决统计图问题的方法，通常是结合两种统计图，对照统计图中各已知量，分析要

求解的量.一般地，首先求出总量，再由总量及部分中的一个已知项求出另一个未知项，由

此逐一求出所有的未知量，从而由所得结果补全统计图

2.统计图中相关量的计算方法：

(1)条形统计图：一般涉及补图，也就是求未知组的频数，方法如下：

①未知组频数=样本容量-已知组频数之和；

②未知组频数=样本容量x该组所占样本容量的百分比.

(2)扇形统计图：一般涉及求未知组的百分比或其所占扇形圆心角的度数

若求未知组在扇形统计图中圆心角的度数，利用36(rx其所占百分比即可.

(3)折线统计图一般涉及求增长量.

(4)用样本估算总体：样本频数=总数x样本频率

【随堂练习】

1.(2018•娄底)为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知

识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、

B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解

答下列问题：

(1)求样本容量；

(2)补全条形图，并填空：n=；

(3)若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多

少？

【解答】解：(1)样本容量为18・30%=60；

(2)C等级人数为60-(24+18+6)=12人，n%=Axi00%=10%,

补全图形如下：

故答案为：10；

(3)估计本次测试成绩为A级的人数为5000x^1=2000人.

2.(2018•陇南)“足球运球”是中考体育必考项目之一.兰州市某学校为了解今

年九年级学生足球运球的掌握情况川迨机抽取部分九年级学生足球运球的测试成

绩作为一个样本，按A,B,C,D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统

计图.(说明：A级：8分-10分，B级：7分-7.9分，C级：6分-6.9分，D

级：1分-5.9分)

根据所给信息，解答以下问题：

(1)在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是______度；

(2)补全条形统计图；

(3)所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在—等级；

(4)该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多

少人？

【解答】解：(1):总人数为18+45%=40人,

，C等级人数为40-(4+18+5)=13人,

则C对应的扇形的圆心角是360耿丝=117。，

40

故答案为：117；

(2)补全条形图如下：

扇除计图

(3)因为共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21

个数据均落在B等级，

所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级，

故答案为：B.

(4)估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300XA=30人.

知识点4数据的离散程度

极差：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们

就把这样的数据叫做极差。一般来说，极差越小则说明数据的波动幅度越小。

方差：各个数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，

记作s2.

标准差：方差的算术平方根叫做一组数据的标准差，记作s

【典例】

1.甲乙两人8次射击的成绩如图所示(单位：环).根据图中的信息判断，这8次射击中成绩

比较稳定的是(填“甲”或“乙”)

【答案】甲

【解析】本题考查了方差,乙的8次成绩为5,9,6,8,6,8,8,6；甲的8次成绩为6,

79

7,7,8,5,9,5,9,乙=:加甲=,二8次射击中成绩比较稳定的是甲.

44

2.某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示：

工种人数每人每月工资/元

电工57000

木工46000

瓦工55000

现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名.与调整前相比，该工

程队员工月工资的方差________（填“变小”，“不变”或“变大”）

【答案】变大

【解析】变化前每月工资数据为5个7000,4个6000,5个5000,变化后每月工资数据为6

个7000,2个6000,6个5000,因为两组数据的平均数均为6000，明显变化后数据的波动较大,

方差较大，所以调整后的该工程队员工月工资的方差变大.

【随堂练习】

1.（2018春•赣县区期末）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛"，初、高中

部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两

个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示.

平均分（分）中位数（分）众数（分）方差（分2）

2

初中部a85bs初中,

高中部85C100160

(1)根据图示计算出a、b、c的值；

(2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？

(3)计算初中代表队决赛成绩的方差s初中2,并判断哪一个代表队选手成绩较

【解答】解：(1)初中5名选手的平均分0J5+80+85+85+10°二瓯,众数b=85,

5

高中5名选手的成绩是：70,75,80,100,100,故中位数c=80；

(2)由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，

故初中部决赛成绩较好；

2(75-85)2+(80-85)2+(85-85)2+(85-85)2+(100-85)2”

(§>S初中:-----------------------------g------------------------=7。，

••2/2

,S初中<s高中，

，初中代表队选手成绩比较稳定.

2.(2017秋•宁德期末)某射击队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查,

根据射击运动员的年龄(单位：岁)，绘制出如下的统计图.

(1)你能利用该统计图求出平均数、众数和中位数中的哪些统计量？并直接写

出结果；

(2)小颖认为，若从该射击队中任意挑选四名队员，则必有一名队员的年龄是

15岁.你认为她的判断正确吗？为什么？

(3)小亮认为，可用该统计图求出方差.你认同他的看法吗？若认同，请求出

方差；若不认同，请说明理由.

A16安、/z14A夕\

［解答］解,(I)平均数」3X10%+、x30%+15X25%+16X20%+17X15蚊］§

众数为14,中位数为15；

(2)判断错误.可能抽到13岁，14岁，16岁，17岁；

(3)可以.

设有n个运动员，

则S2=l«［10%«n(13-15)2+30%*n(14-15)2+25%«n»(15-15)2+20%*n*(16

-15)2+15%*n(17-15)2］=1.5.

综合运用：

1.某班体育委员对本班学生一周锻炼时间(单位：小时)进行了统计，绘制了如图所示的折

线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

【答案】11

【解析】解：由统计图可知，

一共有：6+9+10+8+7=40(人)，

，该班这些学生一周锻炼时间的中位数是第20个和21个学生对应的数据的平均数，

该班这些学生一周锻炼时间的中位数是11,

故答案为：11.

2.2017年6月2日，贵阳市生态委发布了《2016年贵阳市环境状况公报》，公报显示，2016

年贵阳市生态环境质量进一步提升，小颖根据公报中的部分数据，制成了下面两幅统计图,

请根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)a=,b=；(结果保留整数)

(2)求空气质量等级为“优”在扇形统计图中所占的圆心角的度数；(结果精确到1。)

(3)根据了解，今年1~5月贵阳市空气质量优良天数为142天，优良率为94%,与2016

年全年的优良率相比，今年前五个月贵阳市空气质量的优良率是提高还是降低了？请对改善

贵阳市空气质量提一条合理化建议

2016年贵阳市空气质量扇形妩计图201年贵阳市空气度量条形统计图

【答案】

225225

【解析】解：(l)ax3.83%=14,b=14-225-1-1=125;

61.48%61.48%

故答案为：14,125;

(2)因为2。16年全年总天数为：3225+W(天)，则36。。,装=123。,

所以空气质量等级为“优”在扇形统计图中所占的圆心角的度数为123°;

(3)如6年贵阳市空气质量的优良率为埒萨xM%‘95.6%,

V94%<95.6%,

.♦.与2016年全年的优良相比，今年前5个月贵阳市空气质量优良率降低了，建议：低碳出

行，少开空调等.

3.家庭过期药品属于“国家危险废物“，处理不当将污染环境，危害健康.某市药监部门为了

解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调直.

(1)下列选取样本的方法最合理的一种是—.(只需填上正确答案的序号)

①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取忿在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽

取；③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取.

(2)本次抽样调查发现，接，受调查的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：

A:继续使用

B:直接抛弃

C:送回收站

D:撬置家中

E:卖给药贩

©m=,n=;

②补全条形统计图；

③根据调鳗据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？

④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户

家庭处理过期药品的方式是送回收点.

【答案】

【解析】解：（1）根据抽样调查时选取的样本需具有代表性，可知下列选取样本的方法最

合理的一种是③.

①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取您在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽

取；③在全市常住人口中以家，庭为单位随机抽取.

(2)①抽样调直的家庭总户数为：80+8%=1000(户)，

m%=-^-=20%,m=20,

1000

n%==6%,n=6.

1000

故答案为20,6;

②C类户数为：1000-(80+510+200+60+50)=100,

条形统计图补充如下：

J5-x&IX

\A:继续鲫

400(B:直接抛弃

C:送回峰

B

3002(K)\\谭，D:搁置家中

2002曾\51%\

80100V\/E:卖给药贩

100□Hmh^,

ABCDEF处理方式

③根据调杳数据，即可知道该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是B类;

④180X10%=18(万户).

若该市有180万户家庭，估计大约有18万户家庭处理过期药品的方式是送回收点.

4.（2017秋•宝丰县期末）某公司对应聘者A,B,C,D进行面试，并按三个

方面给应聘者打分，每方面满分20分，最后打分结果如下表，根据实际需要,

公司将专业知识、工作经验和仪表形象三项成绩得分按6：3：1的比例确定各人

的成绩，此时谁将被录用？

ABCD

专业知识14181716

工作经验18161416

仪表形象12111414

【解答】解：A的最后得分：14X6+18X3+12X1=15.0,

6+3+1

B的最后得分：18X6+16X3+11X1=16.7,

6+3+1

的最后得分：

C17X6+14X3+14X1=15.8,

6+3+1

D的最后得分：16X6+16X3+14X1

=15.8,

6+3+1

由于B的最后得分最高，应录用B.

5.(2017•金东区模拟)某市为了解高峰时段从总站乘16路车出行的人数，随

机抽查了10个班次乘该路车人数，结果如下：

14,23,16,25,23,28,26,27,23,25.

(1)计算这10个班次乘车人数的平均数；

(2)如果16路车在高峰时段从总站共出车60个班次，根据上面的计算结果，

估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少？

【解答】解：(1)这10个班次乘车人数的平均数为上x

10

(14+23+16+25+23+28+26+27+23+25)=23；

(2)60x23=1380,

答：估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有1380人.

6.(2018•福州二模)李先生从家到公司上班,可以乘坐20路或66路公交车,

他在乘坐这两路车时，对所需的时间分别做了20次统计，并绘制如下统计图

次叫路公交

920

8

7

6

5

4

3

2

1

请根据以上信息，解答下列问题

公交线路20路66路

乘车时间统计量平均数34(i)

中位数(ii)30

(I)完成右表中(i),(ii)的数据：

(II)李先生从家到公司，除乘车时间外，另需10分钟钟(含等车，步行等).该

公司规定每天8点上班，16点下班

(i)某日李先生7点20分从家里出发，乘坐哪路车合适？并说明理由；

(ii)公司出于人文关怀，允许每个员工每个月迟到两次.若李先生每天同一时

刻从家里出发，则每天最迟几点出发合适？并说