工程流力（第二版）-第二章

第二章流体静力学

§2.1作用在流体上的力

§2.2静止流体中的应力特性

§2.3流体静力学基本方程

§2.4压强的测量

§2.5液体的相对平衡

§2.6静止液体对固体表面的作用力

§2.7浮力与浮体的稳定性§2.1作用在流体上的力2.1.1表面力

表面力的定义大小与表面积有关，且分布作用在流体微团表面上的力。

在流体中任取一分离体；在该分离体表面取一微元面积；作用在该微元面积上的表面力为；将该表面力沿法向和切向进行分解：内法向应力，即流体的压强。切向应力，即流体的粘性力。质量力也称为体积力，或彻体力。2.1.2质量力质量力的定义与流体微团质量有关并且集中作用在流体微团质心上的力。习惯上用单位质量流体所受的质量力来表示，简称单位质量力。

单位质量力的表示方法例质量力为重力时，则：§2.1作用在流体上的力静压强的定义§2.2静止流体中的应力特性流体处于静止或相对静止时，流体的压强称为流体静压强。静压强的两个重要特性特性一：流体静压强的作用方向总是沿其作用面的内法线

方向。证明采用反证法可以很容易证明。（1）作用在静止流体质点上的切向分力如果不等于0，则在其作用下必将使流体流动起来。与流体是静止的相矛盾。

故作用在静止流体上的表面力只能沿法线方向。（2）流体分子间引力较小，不能承受拉应力。因此，法向分力的作用方向只能沿其内法线方向。

§2.2静止流体中的应力特性特性二：在静止流体中任意一点上的压强与作用方位无关，

其值均相等。证明在静止流体中取出一个微元四面体OABC。ABCO四个面上的压强可认为是均匀的。

沿x轴方向，四面体受3个力作用：(1)OBC面的压力：(2)ABC面的压力在x轴的投影：(3)四面体质量力在x轴的投影：由x轴方向的受力平衡，得：当微元四面体收缩为一个点时，得：同理，有：§2.3流体静力学基本方程2.3.1平衡微分方程式取一微元正交六面体。左侧面压力：右侧面压力：再考虑x

轴方向的质量力，可列出x

轴方向的平衡方程：化简得：同理有：流体的平衡微分方程式又称Euler平衡方程式Euler方程表示流体在质量力和表面力作用下的平衡，是平衡流体中普遍适用的基本公式压强差公式将Euler公式进行变形，可得压强差公式：对不可压缩流体，其密度为常数，则压强差公式可改写为：§2.3流体静力学基本方程2.3.2力的势函数上式中，-π

称为质量力的势函数。例2-1试求重力场中，平衡流体的质量力势函数。解重力场中的单位质量力为：

等压面的定义在平衡流体中，压力相等的各点所组成的面称为等压面。特性一：在平衡流体中，过任意一点的等压面，必与该点

所受的质量力互相垂直。问题：为什么说“水平如镜”？§2.3流体静力学基本方程2.3.3等压面

等压面的两个特性特性二：两种互不相混的液体处于平衡时，它们的分界面

必为等压面。等压面方程：2.3.4流体静力学基本方程前提条件：重力场中处于平衡状态的不可压缩流体。重力场中的单位质量力为：§2.3流体静力学基本方程代入Euler平衡微分方程得：对不可压缩流体，上式积分得：上式称为流体静力学基本方程式。适用范围：流体静力学基本方程只适用在重力作用下处于

平衡状态的不可压缩流体。静力学基本方程式的另一表达形式：静力学基本方程的物理意义实验装置：装有液体的密闭容器，侧面接一真空的玻璃管。实验过程：在压强作用下，液体将沿玻

璃管上升一定的高度。压强势能：玻璃管中液体上升的高度，

就是A点单位重量流体具有

的压强势能。位置势能：A点相对于水平基准面的高

度，为单位重量流体具有的

位势能。：压强势能，压强水头：位置势能，位置水头物理意义：在不可压静止流体中，任何点的单位重量流体

的总势能守恒，静水头线为水平线。§2.3流体静力学基本方程假设自由表面上的边界条件为：可得静力学基本方程的另一表达形式：§2.3流体静力学基本方程液体内部静压强分布规律问题：连通器原理？帕斯卡原理液面压强的任何变化都会引起流体内部所有流体质点的同样变化，即液面压强等值地在流体内部传递。帕斯卡原理的实际应用：千斤顶问题：工程、生活上，应用帕斯卡原

理的实例？§2.3流体静力学基本方程例2-2如图所示，直径为12cm的圆柱体，其质量为5.1kg，在其顶部加力F=100N。当淹没深度h=0.5m时，圆柱体处于平衡状态。求测压管中水柱的高度H。解根据帕斯卡原理，圆柱体两端均受大气压作用，故大气压的作用不必考虑。由圆柱体受力平衡，得：解得圆柱体底面上的压强为：应用静力学基本方程，可得测压管水柱高度为：§2.3流体静力学基本方程2.3.5可压缩流体中压强的变化大气的分层对流层、平流层、中间层、暖层和散逸层。对流层气温随高度的变化：Ta为海平面的温度，系数β=-0.0065K/m由完全气体状态方程：代入压力差方程，并积分得：§2.4压强的测量绝对压强：以完全真空为基准计量的压强。2.4.1压强的计量标准相对压强：以当地大气压为基准。（计示压强、表压强）真空：当相对压强为负值时，其绝对值称为真空。绝对压强、相对压强、真空之间的关系p相对压强真空绝对压强大气压强绝对真空绝对压强=当地大气压+相对压强相对压强=绝对压强–当地大气压真空=当地大气压–绝对压强真空度：工程上常用百分比表示真空的程度，称为真空度

1.应力单位用单位面积上的作用力来表示。其国际单位为Pa(N/m2)。§2.4压强的测量2.4.2压强的计量单位1个标准大气压=1.01325×105PaPa是一个比较小的单位，常用kPa、MPa来表示压强

工程制中还常采用kgf/cm2。

2.液柱高度

3.大气压单位常用的单位有米水柱(mH2O)，毫米汞柱(mmHg)等。将要计量的压强换算成标准大气压的倍数。1个标准大气压=1.01325×105Pa=760mmHg

各种压强单位换算表§2.4压强的测量Pabarkgf/cm2atmTorrmmH2OmmHgPsi帕10.000010.000010.000010.00750.101970.00750.00014巴10000011.019720.9869750.06210.1972750.06214.504工程大气压98066.50.9806710.9678735.610.000735.614.22标准大气压1013251.013251.033176010.33276014.7托133.30.001330.001360.00132113.610.01934毫米水柱9.80670.0000980.00010.00009680.0735610.073560.00142毫米汞柱133.3220.001330.001360.00132113.595110.01934磅/寸26894.760.068950.070310.0680551.7149703.0751.71491上表中，托（Torr）为真空压强单位。例如，一般电子显微镜必须维持在10-4至10-6Torr的真空压强内，才能正常工作。测压管由一根管子构成，将管的下端与被测液体连接，管的上端与大气相通。§2.4压强的测量2.4.3液柱式测压计

1.测压管测压管的内径不小于5mm。为什么？

2.U形管测压计结构：U形的玻璃管，内装不与被测流体相混合的工作液体。用法：U形管一端与被测点相连，另一端开口通大气。注意：当被测流体是气体时，U形管中气柱高度可忽略不计。构造：底座、容器、工作液、测压管。

3.倾斜式微压计原理：容器上口接入待测压强信号后，

工作液液面将下降，并使测压

管液面上升。由工作液体积守恒，得：测压管中液面上升的高度为：被测的压强差为：上式中，K称为微压计系数，刻在微压计的弧形支架上。量程与精度：0~500,0~10000Pa。0.5、1.0、1.5级精度。§2.4压强的测量§2.4压强的测量

4.金属压力表构造：金属压力表由表壳、

弹簧管、传动机构、

刻度盘、指针组成。量程：可高达1000MPa。精度：1.0，1.6，2.5，4.0，四个精度等级。

5.压力传感器电容式压力传感器：利用电容敏感元件将被测压力转换成与之成一定关系的电量输出的压力传感器。耐高温压力传感器：采用新型半导体材料碳化硅制成。能

承受2000℃瞬时高温冲击。光纤压力传感器：利用敏感元件受压时的形变与反射光强度相关的特性，检测光线的微小改变量，测出压力。§2.4压强的测量例2-3双杯二液式微压计：两个直径相同的圆形杯中分别装入酒精和煤油。当气体的压强差为0时，两种工作液体的交界面在O点处。已知U形管直径d=5mm，杯的直径D=50mm

。求使交界面升到h=280mm处的压强差?解酒精的密度：煤油的密度：在初始平衡状态，有：引入压力差后，左边杯中液面下降。根据体积守恒，得：以U型管中新的液体交界面为基准：代入已知数据，得：§2.5液体的相对平衡2.5.1容器作等加速直线运动盛有液体的容器向右以匀加速度a作直线运动。a坐标系：坐标原点取在自由液面上。xz质量力：agf将质量力代入压力差方程，得：积分，得：边界条件：自由液面上的压强为大气压：静压强分布规律：等压面方程：自由液面方程：例2-4容器底面积为bxb=200x200mm2，质量m1=4kg。静置时水的高度为h=150mm。在质量m2=25kg的重物作用下沿平面滑动，如果容器底面与平面间的摩擦系数为Cf=0.3。求水恰好不溢出时容器的最小高度H？解容器与重物连在一起，其加速度相同，记为a

列出容器和重物的运动方程：

其中。解得加速度为：

则自由液面水平倾角为：

由容器内水的体积守恒：

解得：

§2.5液体的相对平衡2.5.2容器作角速度旋转运动ω2xrω2ω2y盛有液体的容器绕z轴等角速度旋转。坐标系：坐标原点取在自由液面最低点。质量力：代入压力差方程：积分得：静压强分布规律：等压面方程：自由液面方程：边界条件：处，§2.5液体的相对平衡例2-5液体转速计由中心圆筒和活塞及与其联通的两根细管组成。试推导活塞位移与转速之间的关系式？解静止时，由于活塞重量的作用，使圆筒和细管存在液位差：

§2.5液体的相对平衡旋转时，圆筒的液位将下降h、细管液位上升b。由体积守恒得：

由边界条件处得压强分布：

活塞底面z=0，其压强分布为：

作用在活塞底面上的总压力应该等于活塞自身的重量：§2.6静止液体对固体表面的作用力2.6.1静止液体对平面的作用力xOy为分析方便，将平面旋转900，并建立坐标系。取微元面积，其上的作用力为：dAdFp作用在整个面积A上的作用力为：面积A对x

轴的面积矩有关系式：总作用力为：hC

是平面形心的淹没深度。ChC§2.6静止液体对固体表面的作用力xOydAdFp

压力中心总作用力与平面的交点就是总压力的作用点，称为压力中心。根据合力矩定理，可得：DFphD右边积分项称为面积A对x轴的惯性矩：总作用力的作用点为：根据惯性矩平移定理：则，总作用力的作用点为：§2.6静止液体对固体表面的作用力例2-6如图为矩形挡水闸，长l=2.5m，宽b=1.5m，A点到水面高度

h=3m。求水闸关闭时，在B点处必须施加的作用力F？解作用在闸门上的总压力为:闸门形心闸门惯性矩压力中心为：对A点列合力矩方程，得：§2.6静止液体对固体表面的作用力2.6.2静止液体对曲面的作用力讨论如图的二向曲面所受液体总压力。取一微元面积，将作用力分解为水平方向和垂直方向两个分力：dF水平分力：垂直分力：Vp为曲面上方的液柱体积，称为压力体。总作用力的大小和方向：§2.6静止液体对固体表面的作用力

压力体的确定方法（1）取自由液面或其延长线；ABCDE（2）取曲面本身；（3）曲面两端向自由液面投影，得到两根投影线；（4）以上四根线将围出一个或多个封闭体积，这些体积在考虑了力的作用方向后的矢量和就是所求的压力体。压力体是一个纯数学概念，而与该体积内是否充满液体无关。§2.6静止液体对固体表面的作用力例2-7圆柱体半径

r=2m，长l=5m，如图放置在斜面上。求作用在圆柱上的水压力大小及作用