三角形内角和一节的教学思考 论文

“三角形内角和”一节的教学摘要：本文在对40余篇有关三角形内角和的研究文章进行梳理分析的基础上，指出了教材中三角形内角和是180°的常用验证方法存在的问题。提出通过创设情境，为测量求和、拼接、折叠的验证方法提供支架的两种策略，降低了学生想到拼接、折叠两种方法的难度，从而较好的解决一些文章中提出的这类问题。同时，就此提出，教师在进行教学设计时，要准确把握学情，把学生的认知起点作为教学设计的出发点，通过创设合适的教学情境，选择合适的问题解决策略，在引导学生达成知识技能目感悟到数学的本质，渗透数学思想方法，引发有深度的数学思考。关键词：三角形内角和，验证，推理，迁移引言：《义务教育数学课程标准》在第二学段安排有关三角形内角和的内容，其课程内容要求是：通过观察、操作，了解三角形内角和是180°。这一内容指出了学习路径和学习目标。各版本教材编写思路大致可分为两类，一是侧重“验证”，北师大版；二是侧重“推理”，如苏教版、西师大版。验证主要是通过“测量求和--猜想--验证--得出结论”的程序设计教学过程；“推理”主要是先通过“测量特殊三角形的角求和---猜想--验证一般三角形内角和--得出结论”的程序设计教学过程，体现了从特殊到一般的合情推理数学思想。在验证这一环节，各版本教材基本都采用了三角形三个内角的拼接的操作来进行验证，人教版、北师大版还安排了折叠的验证方法。但这些验证方法得出的是近似结果，“充其量增加了猜想成立的可能性，算不上验证”。笔者检索查阅了较权威期刊上发表的40余篇有关“三角形内角和”方面的研究文章。尝试对三角形内角和的主流验证、推理方法分别进行剖析，并提出对有关问题的解决策略和个人观点。一、验证方1．测量求和笔者通过文献检索对有关三角形内角和一节的文章进行分析，发现其教学设计也基本可分为侧重“验证”和侧重“推理”为两类。部分作者在课前进行的调查中发现，多数学生已经知道“三角形的内角和是180°”这一结论。在运用测量求和的操作时，会出现学生测量出两个角的度数时，算出第三个角度数的情况。而有些学生在求出的三角形内角和不等于180°的情况下，教师用误差来解释求和结果与180°的差异时显的苍白无力。这些情况的出现凸显了通过测量求和得出猜想这一教学设计的窘境。基于这种情况，部分教师转变思路，把三角形内角和等于180°作为教学起点。如特级教师顾志“真的吗（提出质疑）、为什么（探求、验证”的层层递进设疑方式重新燃起学生的探求欲望。引导学生系统深刻地再经历知识得出和形成的过程。在验证环节，除了让学生测量任意三角形的内角进行验证外，还采用了铅笔旋转的方式进行验证，有效解决了“误差”问题。2.拼接验证在拼接验证这一方法上，不同版本的教材也一些细微的差别。北师大版、浙教版用的的“撕拼”，人教版、冀教版、苏教版用的是“剪拼”，浙拼”的方式进行验证。这些方法各有千秋。使用“剪拼”的好处是，剪下来的角不容易变形，容易拼成平角；而撕角时，纸张容易出现皱褶，拼成平角就有困难，只能是近似感知而已。“撕拼”的好处是，三个角在拼接时由于撕掉的角另一边不齐整，在拼接时一般不会把非三角形内角拼在一起，而剪拼时由于剪掉的部分也是一个三角形，在拼接时容易出现把不是原三角形的三个角拼在一起所情况。因此，在使用剪拼方法时，应提醒学生在剪开之前，先把角标注好，拼接时是把标注的角拼在同一顶点处。而使用相同三角形“连拼”的方式相对于破坏性的“撕拼”、“剪拼”更具可行性和探索意义，有利于激发学生的学习兴趣和探索欲望。3.折叠验证人教版、北师大版还安排了折叠的验证方法。这种方法的弊端在于，一是学生怎么会凭空想到把三个角折叠到一个边上？二是学生能否折叠成功？这种折叠必须先把一个角沿中位线折叠后，另两个角才可能和这个角拼成一个平角，而学生显然并不具备这样的知识储备。周利云等人的调查显示，在126名学生中，只有3人想到使用折叠的方式进行验证。而刘宪升的研究表明：在明确告知采用折叠的方法后，也只有四分之一的学生能折叠成功。因此，这种折叠验证的方法对于课堂验证三角形的内角和是180°不具有普遍性，并没有太大的实际意义，可以作为课外活动的内容供一些学生探索更多验证方法。这也可能是其它版本教材没选用这种方法的原因。二、推理方偏重推理的方法多数是按照从特殊到一般的思路。一种是由测量特殊直角三角形或三角板的三个角求和，得出直角三角形内角和是180°；二是由长方形剪成两个相同的直角三角形，由长方形四个角都是直角得出直角三角形内角和是180°，在此基础上猜想一般三角形的内角和是否也是180°。在探索过程中，可以通过把一般三角形转化为直角三角形的方式验证猜想；也可以把直角三角形分成一个钝角三角形和一个锐角三角形，通过测量、计算的方式验证猜想。从而得出对于任意三角形，其内角和都是180°的结论。让学生通过推理，体悟从特殊推及一般、把一般转化为特殊的数学思想和研究方法，也有助于学生积累解决问题的策略经验。也有部分作者把数学文化因素引入教学，较常见的就是把帕斯卡少年时证明三角形内角和的方法作为激发学生学习兴趣或鼓励学生的依据。三、利用迁移思想创设情境，为验证方1.利用原有学习经验，由边平行迁移到角。调查表明，在验证三角形内角和是180°时，73%左右的学生能想到测量求和的方法，但想到拼接方法的仅占近4%。这主要是由于拼接的方法具有一定破坏性，使学生的思维受到限制。在这种情况下，教师可以利用以前学过的三角形周长的求法教师可以提出问题：用三根木棒组成的三角形，你有什么方法可以求出它的周学生很容易想到，一种是测出每一根木棒的长度相加求和，另一种是把三根木棒连接在一条直线上，量出它的总长。而第一种方法能触发更多学生想到测量求和；第二种连接求长的方法能触发学生想到把三个角拼在一起来求三角形三个内角的和。这当然比直接告诉学生用撕（剪）的方法更有利于培养学生的数学思考能力和渗透数学思想。如果直接告诉学生用书后面附录里的三角形去通过撕（剪）后拼接验证，学习就沦为了纯粹的手工操作，失去了促进学生数学思维能力发展的意义。2.利用游戏创设情境，触发学生折叠联想。周利云等人的调查表明，只有2.6%的学生能想到折叠的方法。而刘宪升在明确告知使用折叠方法的情况下，也只有1/4的学生能折叠成功。那么在使用人教版和北师大版进行教学时，由于教材中出现了折叠的方法，我们有没有更好的方法来触发学生想到折叠验证并提高成功率的方法呢？笔者想到了学生们经常玩的“东南西北”游戏（图1）。其第一步就是把一张正方形纸片的四个角向中心折叠形成教师可以就此设问：如果现在把新的正方形沿中线对折（图2），并沿折痕剪开，所得的图形（长方形）展开后是什么图形（先让学生猜测，再展开验证猜想）？当学生看到展开后的图形是一个等腰直角三角形时（图3），一方面，学生不难想到未展开前的三个角拼成了一个平角（180°），另一方面也有利于激发学生去通过折叠的方法去探求一般三角形的三个角是否可以拼成平角的欲望。图1图2图3四、两点启1.把学情做为教学设计的起点。以三角形的内角和为例，大多数学生已经知道其内角和是180°。教师此时如仍僵化地把它作为未知问题而提出，一方面是无法激起学生的学习兴趣，另一方面也必然导致在此基础的教学设计无法顺利实施。如果教师缺乏应变能力，必然会导致教学混乱。在学生缺乏折叠验证理论依据的情况下，即使个别学生能够碰巧折叠成功，也教师如果花费较多的时间去解释，既未必能让学生明白，也必然偏离本节的教学目标，甚至完不成教学任务。因此，充分了解学生对新授内容的学习基础，并以此作为我们教学设计的起点至关重要。2.感悟数学本质，体悟数学思想，引发数学思考。在进行三角形内角和教学时，如果仅把本节的教学目标设定为了解三角形的内角和是180°，并能够应用此结论解决相关问题，这只能说是完成了知识与技能的目标。事实上，本节内容是从图形外在特征到图形内在本质的一个转折，是从研究图形构成要素（三角形由三条边和三个角构成）到研究要素之间关系（三个角的和是一个定量）的一次飞越，是第一次涉及图形的的本质属性。不管外界如何纷我亦初心不变（内角和不变），让学生初步体验到数学的神奇与魅力。因此，在日常教学中，我们不能仅关注学生知识与技能目标的掌握情况，更应该思考，这一节课我们还需要让学生感悟到什么样的数学本质，体悟了什么样的数学思想，引发了怎样的数学思考。参考文献[1]刘宪升：关于教材中三角形有关内容探索活动的设计研究（二）——三角形内角和探索活动的比较分析[J].小学教学参考(数学），2020(11)：8-[2]刘宪升：关于教材中三角形有关内容探索活动的设计研究（三）——三角形内角和折叠验证方法的实验分析[J].小学教学参考(数学)，2020(12)：12-[3]周利云：李建良：直面学情“验证”开路追求增量“重组”施教——“三角形内角和解读与教学建议[J].教学月刊·小学(数学)，2017(7-8)：5[4]刘秀凤：基于儿童视角的“三角形的内角和”教学[J]江苏教育·小学教学，2015(