广东省广州市各区2021年中考模拟数学试题汇编：图形变化综合

广东省广州市各区2021年中考模拟数学试题汇编:

图形变化综合

1.(2021•广州模拟)在平面直角坐标中，边长为1的正方形O48C的两顶点4C分别

在y轴、x轴的正半轴上，点。在原点.现将正方形O/6C绕。点顺时针旋转,当/

点第一次落在直线y=x上时停止旋转.旋转过程中，28边交直线y=x于点例，8c边

交x轴于点/V(如图1).

(1)求边28在旋转过程中所扫过的面积；

(2)设△例8/V的周长为p,在旋转正方形O/8C的过程中，。值是否有变化？请证明

你的结论；

(3)设MN=m,当m为何值时△。例/V的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时

AS/M/V内切圆的半径.

2.(2021•广州模拟)已知,乙OAB=90°,4ABO=30°,斜边28=4,将Rb

048绕点。顺时针旋转60°,如图1,连接BC.

(1)填空：4OBC=°;

(2)如图1,连接/C,作O2L/C,垂足为P,求。户的长度；

(3)如图2,点例，/V同时从点。出发，在AOCS边上运动，例沿8—8路径匀

速运动，N沿8AC路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点例的运动速度

为1.5单位/秒，点”的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△。例/V的面积为y,

求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？

3.(2021•广州模拟)如图，在东西方向的海岸线/上有T为1千米的码头MN,在码

头西端股的正西方向30千米处有一观察站。.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位

于。的北偏西30。方向，且与。相距2W?F米的/处；经过40分钟，又测得该轮船

位于。的正北方向，且与。相距20千米的8处.

(1)求该轮船航行的速度；

(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明

理由.(参考数据：414,73^1.732)

4.（2021•广州模拟）如图,在“6C中，点。，£"分别在AB,BC./C边上,DE\\

AC,EFWAB.

（1）求证：^BDE-^EFC.

/r、、aAF1

（2）设而三，

①若BC=12,求线段跳的长；

②若的面积是20,求6c的面积.

5.（2021•广州模拟）矩形ABCD^，点£是OC上一点，连接力£

（1）在8c上取一点尸，使“生=90°,且88忆.（用尺规作图，找出点，保留作

图痕迹）；

（2）连接力尸，EF,延长EF与48的延长线交于点G,求证：8R=BG-AG-B（?.

6.（2021•广州模拟）如图，在“6C中，点。是48边上一点，且8。=。.（本题作

图部分要求用尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写作法.）

（1、炸乙CBF=LABC,其中点力和点尸分别在直线跋的两侧；

（2）作射线。关于直线8c对称的图形，使其交8尸于点E.如果30°,CD=

6,求四边形8。上的面积.

7.（2021•广州模拟）在中，^ABC=120°,线段/C绕点C顺时针旋转60。得到线

段。，连接8。.

（1）如图1,若AB=BC,求证:BD平令乙ABC：

（2）如图2,若28=2BC,①求黑的值；

8.（2021•广州模拟）如图，在平行四边形力8。中，AB=8C,点P线段/C上的一个

动点，点《是平行四边形力6。边上一点，且乙DPK.

(1)如图1,若N/8C=60°,求证：黑嘴；

11I*

(2)若//跋=90°,，8=4,

①如图2,连接DK交ZC于点巳罂*，求小•依的值•

Er0

②如图3,点P从点/运动到点C,则点K的运动的路径长.

图1

9.(2021•越秀区校级一模)为等边三角形,AB=8,6c于点D,f为线段

力。上一点，AE=2氏.以〃为边在直线2。右侧构造等边三角形AEF,连接CE.N

为比的中点.

(1)如图1,EF与4C交于点G,连接NG,求线段/VG的长；

(2)如图2,将“匕绕点力逆时针旋转，旋转角为a,例为线段用的中点，连接DN,

/WV.当30。<a<120。时，猜想NO/W的大小是否为定值，并证明你的结论；

(3)连接8/V,在下绕点A逆时针旋转过程中，求线段8/V的取值范围.

图1图2备用图

10.（2021•广州模拟）图（1）为某大型商场的自动扶梯，图（2）中的力8为从一楼到二

楼的扶梯的侧面示意图小明站在扶梯起点/处时测得天花板上日光灯C的仰角为37。，

此时他的眼睛。与地面的距离AD=1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端8后又沿BL（BL

IIMN）向正前方走了2m,发现日光灯C刚好在他的正上方.已知自动扶梯的坡度

为1:2.4,的长度是13/77,求日光灯C到一楼地面的高度.（参考数据：sin37°。

0.6,cos37°=0.8tan37°~0.75）

图⑴图(2)

11.（2021•海珠区一模）如图，花城广场对岸有广州塔力6,小明同学站在花城广场的C

处看塔顶点，的仰角为32。，向塔前进360米到达点D，在。处看塔顶力的仰角为45°.

（1）求广州塔的高度（sin32°~0.530,cos32°~0.848,tan32°~0.625）;

（2）一架无人机从广州塔顶点/出发，沿水平方向力下飞行300米到4处，求此时从

4处看点。的俯角的正切值.

12.(2021・广州模拟)如图，某电影院的观众席成"阶梯状"，每一级台阶的水平宽度都

为Im,垂直高度都为0.3/77.测得在C点的仰角N/C£=42°,测得在。点的仰角尸

=35°.求银幕28的高度.(参考数据:sin35°~0.57,cos35°~0.82,tan35°~0.7,

sin42°~0.67,cos42°~0.74,tan420~0.9)

13.(2021•天河区二模)如图，矩形ABCD中，/8=4,8,点£是边Z8上的一

点，点尸是边8c延长线上的一点，且ZF=26.连接AC,交EF于点。，过M乍EP

±AC,垂足为P.

(1)求证：4DAESZDCF;

(2)求证：。户长为定值；

(3)记，。与的交点为Q,当PQ-|oP时，直接写出此时2。的长.

B

14.（2021•越秀区校级二模）如图，某校有一教学楼AB.其上有一避雷针/U为2米，

教学楼后面有一小山，其坡（坡面为EF）的坡度为/=1:V3,山坡上有一休息亭£供

爬山人员休息，测得山坡脚尸与教学楼的水平距离BF为9米，与休息亭的距离任为10

米，从休息亭S则得教学楼上避雷针顶点C的仰角为30°.

（1）求）的坡角；

（2）教学楼的高度.（结果保留根号）

口

口

目

口

15.（2021•南沙区一模）如图，身高为1.6米的小明在距离一棵大树10米的点8处看大

树顶端C的仰角为45。,在大树的另一边点/处看这棵大树顶端C的仰角度数为a.（4

£8在同一条直线上，忽略眼睛到头顶间距离）

（1）求大树的高度.

（2）若点力与点8之间的距离为（10+1073）米，求a的值.

C

,G

EB

16.(2021•越秀区校级二模)已知408=90。，AC=BC=4,。是26的中点，

P是平面上的一点，且。P=1,连接CP

(1)如图，当点P在线段8。上时，求。的长；

(2)当ABPC是等腰三角形时，求6的长；

(3)将点8绕点户顺时针旋转90。得到点夕，连接28,求/夕的最大值.

参考答案

1.解：(1)如图，S阴=SAO/8+S扇形OBB-S,、OAB-S扇形OAA

45/i-\24512n

=sc扇形083一sc扇形w=(,2)'-360nxl=~

(2)夕值无变化

证明：延长必交y轴于E点,

在与AOQV中，

"ZA0E=ZC0N=90o-ZAOb

<Z0AE=Z0CN=90°

OA=OC

；QOAmocN<AAS)

:.OE=ON,AE=CN

圣OME与AOMN中,

rOE=ON

<ZM0E=ZM0N=45°

OM=OM

:aOM&OMN〈SAS)

:.MN=ME=AM+AE=AM+CN

：.P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2;

(3)设AM=n,则BM=1-n,CN=m-n,BN=1-m+n,

"OMmOMN,

：&MON=S、MOE=EM--^m

在RfS/VW中，BW+BN^=MN^

/.(1-/7)2+(1-m+n)2=rrP-^ri2--mn+1-m=0

;a=/7T2-4(1-/77)20nm22M'2或m<-2&-2,

.•.当m=2加-2时，AO/VW的面积最小，为&-1.

止匕时"=&-1,

贝！IBM=1-n-2-y/2,BN-1-m+n=2-yf2,

.•.Rf8例/V的内切圆半径为郎+E，7W.=3.2&.

2.解：(1)由旋转腼可知：OB=OC,^BOC=60°,

8c是等边三角形，

:.^OBC=60°.

故答案为：60.

(2)如图1中，

.08=4,"80=30°,

:.OA^~OB=2,AB=MOA=2M，

.'.SKAOC-4*OA*AB--^x2x2^/3=2-73,

・・•△8OC是等边三角形,

"O8C=60°,^ABC=^ABO+^OBC=90°,

7AB2+BC2=2V7,

2sAAOC_

:.OP=

-AC2V7一~~

(3)①当0<七!■时，例在0c上运动，/V在08上运动，此时过点/V作NE1。。且

O

交OC于点£

图2

・•.£OMN=/OM*NE=1.5XX零X,

.7=号蜃

8_

.•・'=§时，y有最大值，最大值=华.

SO

②当£<*44时，例在6c上运动，/V在08上运动.

O

作MHL08于H.则BM=8-1.5x,MH=8%sin60°V3（8-1.5%）

2

:.y=±xONxMH=-平~"+2Mx.

J2

当x=当时/取最大值，片挛,

33

③当4V%<4.8时，M、/V都在8c上运动，作OG1.BC于G.

MN=12-2.5%,OG=AB=273，

:.y=MN・OG=12A/3-,

22

当x=4时，y有最大值，

：x>A,

.,少最大值<2M,

综上所述，y有最大值，最大值为等.

3.解（1）过点/作ZCLO8于点C.由题意，得

OA=20V5=F米,05=20千米,^AOC=30°.

■■AC-yOA=yX20/3=10/3（）­

•.在Rb/OC中，OC=OA>COSAAOC=2073X2y-=3O（千米）.

..8C=OC-。8=30-20=10（千米）.

.,.在RtA/8C中,AB=7AC2+BC2=7（10V3）2+102=20（千米）・

二轮船航行的速度为：204■黑=30（千米/时）.

60

(2)如果该轮船不改变航向继续航行,不能行至码头MN靠岸.

理由：延长交/于点。.

■：AB=OB=20(千米),30°.

:.^OAB=^AOC=3G°,:.AOBD=^OAB+^AOC=^G°.

.•.在RNS。。中，OD=(95«tanzO5P=20xtan60°=2m(千米).

••-2Ch/3>30+l,

，该轮船不改变航向继续航行,不能行至码头MN靠岸.

北

4——

4.(1)证明：,・・。日4C,

：.^DEB=^FCE,

：EF\\AB,

：.^DBE=^FEC,

：QBDE-FC;

(2)解：①•.白126,

.BE=AF=1

一而一而-5'

：EC=BC-BE=12-BE,

.BE=1

"12-BE~~2'

解得：8£=4;

②••迪-工

FC21

,FC_2

"AC'

■：EF\\AB,

:eEFJBAC,

5冬3£=(生)2=(-2)2=A

SAABCACJ'3J9

gQ

■■^ABC--7^EFC--x20=45.

44

5.解：(1)根据题意作图如下，

(2)如图2,

.zAFE=90°,

：.^AFG=90°,

••四边形28。为矩形，

"ABC=NGBF=9Q0,

：.^BAF+^AFB=z.BAF+^G=9G°,

：.z.AFB=Z.G,

:.〉ABF54FBGt

,BF_AB

''BG"FB1

:,BR=BGAB.

:.B(?=BG{AG-BG),

:.BR=BG・AG-BG-.

图2

6.(1)解：

厂为所求（2分）

（2）解：如图，射线CE为所求（4分）

过点。作DMLCE,垂足为点M

•.射线QZCE关于直线8c对称

.-.Zl=乙BCD=30°,即N。华60°（5分）

在A8。和A82中

"ZDBC=ZEBC

BC=BC

ZDCB=Z1

“BCC^BCE,（7分）

：.CD=CE=6,BD=BE=6,即四边形8。%为菱形.（8分）

，在RfC。例中，DM=DC*s\^DCM=3y,（9分）

，S四边形BDCE=CE*DM-6x3^3=18y.（10分）

7.（1）证明：连接2。，

由题意知，乙4。=60°,C4=。，

是等边三角形，

：.CD=AD,

又:：AB=CB,BD=BD,

“ABD^CBDISSS、,

：./.CBD-/.ABD,

二6。平分

（2）解：①连接AD，作等边三角形力。的外接圆。。，

：z.ADC=60°,^ABC=120°,

：.^ADC+^ABC=180°,

二点8在。。上，

•:AD=CD,

••AD=CT-

"CBD=zCAD=60。，

在8。上截取BM,使BM=BC,

则为等边三角形，

.•"例8=60°,

"CMD=120。=zCBA,

又：CB=CM,4BAC=^BDC.

:aCB第CMD〈AAS),

.-.MD=AB,

设BC=BM=1,则AB=MD=2,

:.BD-3,

过点(:作CN'BD于N,

在RfBCTV中，z(^A/=60°,

.-.z5C7V=30°,

:.BN=-BC=—,CN=®BC=返,

2222

:.ND=BD-BN=3,

2

在Rb67V。中，

CD=22

VCN+DN=J号'产+得)2=V7.

.-./C=V7,

.BD_J__377.

"ACV77'

②如图3,分别过点8,。作/C的垂线，垂足分别为H.Q,

设CB=1,AB=2,CH=x,

贝II由①知，ZC=有，AH=有-x,

在RbSCH与RN必”中，

BQ-C4A®-A年，

即1-庐=22-（祈-x）2,

解得，x=平，

二明=/2_（半^=翠,

在Rf/WQ中,DQ=*AD=^x,

V21

.BH=T=2

"DQ~72T~7,

~2~

♦./C为"跋与"C。的公共底，

S

.AABCBH=2

2AACDDQ7

,：SaABC=*'，

_7a

--^ACD：-，

4

.<-_研

•S四边形ABCD-~,

故答案为：挛.

4

图1

8.解：（1）如图1中，

图1图2

.•四边形是平行四边形，AB=BC,

，四边形是菱形，

:.AB=BC=CD=AD,N8=AADC=60°,

：.^ABC,A/OC都是等边三角形，

:.z.CAD=^ACD=^°,

•2。欣=N8=60°,乙CPD=4CPK+乙DPK=^CAD+乙ADP,

:.乙ADP=^CPK,

:aDAP…PCK,

.DA=DP

"PC-PK'

(2)①如图2中，过点。作PM1CD于M，PN1BC于N,连接PB.

1•四边形是菱形，N/6c=90°,

，四边形，6。是正方形，

:.^PCD=^PCB,

■：CP=CP,CD=CB,

iPCC^PCBlSAS),

:.PB=PD,APBK=^CDP,

•.N/W=90°,z/7C/r=90°,

:.乙PKC+乙CPD=180°,

•:4PKC+/PKB=180°,

:，乙PKB=ACPD,

:.z.PBK=^PKB,

:.PB=PK=PD,

■：PMA.CD,PN，CB,zPCM=zPCN,

:.PM=PN,

■：PD=PK,4PMD=4PNK=90°,

:.^PMC^X^PNK{HL),

:.DM=NK,

■：PB=PK,PNrBK,

:.BN=NK=DM，设BN=KN=DM=x,则CM=4-x,C=4-2x,PC=4-x）,

■：CE\PE=A:5,

.衣=平（4-x）,

■：CK\\AD,

.CK=CE

"AD-EA,

<ZC=4我，

.•/F=4料-率（4-x）,

吗4.x）

.4-2x_9、'J

4W2^P-（4-x）

y

解得，x=l或-2（舍弃），

经检验，x=1是分式方程的根，

：.EC二女,PE二也,

33

..乙PDE=AECK=A5°,^DEP=z.CEK,

.uDEPszCEK,

,DE=PE

"EC"EK"

:,DE・EK=PE.EC=^^^=^.

339

②如图3中，当点P运动到ZC的中点时，点《从8运动到C,点长的运动路径的长为

4.

当点K在线段。上时，如图4中，过点。作。。_£/右于O,过点《作KJ'AC^J,

设次=y,OM=x.

图4

=〃=4扬AD=DC,DO^AC,

.-.OA=OC=2扬

­.z/rC/=45°,CK=y,

：.KJ=CJ=*y,

..ZDOP=LDPK=LPJK=9S,

:，乙DPO+乙ODP=qO°,NOPO+N狼=90°,

:aDOP3PK,

.KL=PJ

"OPDO"

.-y-y=2V2~x-y-y,

x2V2

整理得，2*-（4&-®）x+4y=0,

.••（4V2-V2/）2-32y>0,

解得y412-8点或度12+8&（舍弃），

的最大值为12-8-./2,

当点P从。运动到C时，点K的运动路径是2CK=24-1672,

二点户从点2运动到点C,则点长的运动的路径长为28-16&.

9.解：（1）如图1中，连接CF.

A

图1

•・•△板是等边三角形，ADA.BC,

：.AB=BC=AC=2>,BD=CD=4,N必。=NC4O=30°,

:.AD=4^>BD=AA,

.s/匕是等边三角形，

.•.z£4A=60°,

..N£4G=NG4尸=30°,

：.EG=GF,

・-AE=2g

:QE=AE=2M，

：BE=VBD2+DE2=742+（273）2=2^7,

■^ABC,是等边三角形，

：.AB=AC,AE=AF,^BAC=z.EAF=60°,

：.z.BAE=Z.CAF,

：.^BA^CAF{SAS）,

：.CF=BE=2vL

：EN=CN,EG=FG,

:.GN=^CF=41■

(2)结论：乙DNM=120。是定值.

图2

理由：连接6.同法可证△8/匡A。1/7(SAS),

:.z.ABE-Z-ACF,

■：^ABC+AACB=60°+60°=120°,

:.^EBC+^BCF=AABC-^ABE+^ACB+^ACF=120°,

■：EN=NC,EM=MF,

:.MN\\CF,

:.^ENM=^ECF,

■：BD=DC,EN=NC,

:.DN\\BE,

:.乙CDN=^EBC,

・.2END=LNDC+ANCD,

:zDNM=4DNE+乙ENM=zNDC+^ACB+^ACN+zECF=zEBC+^ACB+^ACF=z

EBC+/BCF=120°.

(3)如图3-1中，取/C的中点,连接BJ,BN.

图3-1

：AJ=CJ,EN=NC,

:.JN*AE=M,

•:BJ=AD=40,,

：.BJ-JN<BN<BJ+JN,

：3y[3<BN<543.

10.解：过点c作CF±MN于F、交以于G,过点6作BE±MN于E,过点。作DJr

CF于Z交BETH,如图(2)所示：

贝！IBG=2m,四边形BEFG、四边形力防是矩形，N皿=37°,

：.EF=BG=2m,AD=FJ=1.8m,AF=DJ,

设力£=A777,

的坡度为1:2.4,

.BE=1

"AE"274'

2.4

在RfZBF中，由勾股定理得：冢+(-L-x)2=132,

2.4

解得：x=12(m),

：.AF=AE+EF=12+2=14(m),

..DJ=14/77,

在叱血中，tan/皿=器,

.•.署0.75,

14

.-.C/=10.5(m),

.-.67=O+£/=10.5+1.8=12.3(m),即日光灯C到一楼地面的高度为12.3m.

图⑵

11.解：（1）设广州塔的高度为x米,

.22。8=45°,"60=90°,

.2028=45°,

.'.Z.ADB-Z.DAB,

.BD-AB-x,

..BC-360+x,

■：^ACB=32°,

BC

瞽一”0625,

360+x

解得，*=600（米）,

答：广州塔28的高度约为600米;

（2）过。作。“1/尸于〃,

则四边形28。〃是正方形，

:.AH=HD=AB=600米,乙AHD=90°,

■：/\A=300,

.•.4H==300（米），

.tanz/?y4/皿-600_2

.X^DAH-

H-3Q0-2,

由题意知，N/G0=N/HU=9O。，

在Rf/G。中，z.ADG=35°,

.-.tan350=—,

DG

即DG=—第

tan35

在中，N/C4=42°,

-42。=鲁

即心端

■：AH=AG+GH,GH=0.3,

.0/=AG+0.3

tan42°

■：DG-CH=1,

AGAG+0.3i

tan350tan42°-'

AGAG+0.3=i

0/7-0.9-

解得：47=4.2,

../8=/IG+G”+6"=4.2+0.3+0.6=5.1.

答：银幕的高度约为5.1/77.

13.(1)证明：在矢舱/8CO中，AB=CD=4,z£M£=zZ?C5=90°,

.206=90°,

:.z.DAE-Z.DCF,

：AE=2CF,AD=BC=8,

,AE_AD_9

"CF'CD"，

:QDAES^DCF;

(2)证明：如图1,过点£作EG\\BC,交/C于点G,

.♦.N/£G=N6=90°,4AGE=^ACB,^EOG-^FOC,

在Rt"8c中，AB=A,BC=8,

•,■^^=742+82=4V5-

■：EPA_AC,

:.^AEP+^BAC=9Q°,

■：^CAD+^BAC=90°,

:.z.AEP-Z.CAD,

1CDARAPPR1

.".tanzCAD—tanN/C8=tanN/GF=XAK\Z.AEP——,§P——■=——=———=——-=—

2ADEGEPPG2

:.EG=2AE,

-：AE=2CF,

:.EG=ACF,

设ZP=Z77(777>0),OC=〃(">0)，则户£=2/77,PG=4/77,

△EOG-△FOC,

.EG^G-4

"CF0C'

.♦QG=4OC=4〃，

:.AC-AP+PG+OG+OC-6+4/77+4〃+/?=4娓,

:.m+,

5_

:.OP=PG+OG=4/77+4〃=,

5

所以。户是一个定值；

图2

由(2)知：AP=m(/77>0),AE=-1^m,

■：AE\\CD,

.•QAEQSZCDQ.

,AE_AQ

"CD=CQ1

+逆

二隼=—上告一,解得：利=塔±2,

4

力挈工5

■-0<A/5^7<4,

:.0<,

5

,^=675.2.

5

14.解：(1)过日乍EN1BF于N,EM1BC于M,如图所示：

"ENF=90。,炉=10米，用的坡度为/=1:V3=||=tanzF/W,

.・tan/£7W=返，

3

:zEFN=30°,

即£下的坡角为30°;

(2)：/ENF=90°