初三数学总复习-探究型-专项训练习题（含解析）-模考

2021初中数学毕业考试复习专题训练

专题17探究型问题

一、单选题

3

1.如图，直线y=-.x+3与X轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C(-1,0)为圆心，1为半径的圆

上一点，连接PA,PB,则APAB面积的最小值是()

A.5B.10C.15D.20

【答案】A

【解析】

作OLLAB于〃交。〃于E、F.连接BC.

'：A(4,0),B(0,3),.•.好4,吩3,A/f=5.

11

CH=^AOOB,:*AB。C+AGOB,二5服(4+1)X3,解得：上3,.,.册3-1=2.

1

当点。与6重合时，△必8的面积最小，最小值=]X5X2=5.

故选A.

【关键点拨】

本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

n

2.定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F(n)=3n+l；②当n为偶数时，F(n)=/(其

中k是使F(n)为奇数的正整数)……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24,则：

若n=13,则第2018次“F”运算的结果是()

A.1B.4C.2018D.42018

【答案】A

【解析】

若n=l3,

第1次结果为：3n+l=40,

40

第2次结果是：/=5,

第3次结果为:3n+l=16,

16

第4次结果为：产1,

第5次结果为：4,

第6次结果为：1,

可以看出，从第四次开始，结果就只是1,4两个数轮流出现，

且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4,

而2018次是偶数，因此最后结果是1,

故选A.

【关键点拨】

本题考查了规律题一一数字的变化类，能根据所给条件得出"13时六次的运算结果，找出规律是解答此题

的关键.

3.如图，在AABC中，AB=20cm,AC=12cm,点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时

出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底

的等腰三角形时，运动的时间是()秒

【答案】I)

【解析】

设运动的时间为x,在中，AB-2QCIH,力年12。见点P从点8出发以每秒3。加的速度向点4运动，点。

从点力同时出发以每秒2面的速度向点。运动，当△4/R是等腰三角形时，上AQ,4420-3x,AQ=2x,即

20-3A=2x,解得x=i.故选D.

【关键点拨】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定

的拔高难度，属于中档题.

4.如图，抛物线丫=/2-7*+工_与乂轴交于点人、8,把抛物线在x轴及其下方的部分记作4,将Q向左

平移得到。2,02与X轴交于点B、D,若直线y=[x+m与G、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是(

)

【答案】C

【解析】

145

•:抛物线丫=寸2-7乂+三与乂轴交于点八、B,

1245

；膏-7x+^-=0,

.'.Xi=5,X2=9,

•••B(5,0),A(9,0)

12

•••抛物线向左平移4个单位长度后的解析式y=2(x-3)2-2,

1

当直线y=[X+m过B点，有2个交点，

5

•••0=-4-m,

5

m=-7

1「

当直线y=]X+m与抛物线相切时，有2个交点,

112

-X4-m=2（x-3）-2,

7

x-7x+5-2m=0,

•••相切，

•••△=49-204-8m=0,

29

如图，

295

故选c.

【关键点拨】

本题考查了抛物线与X轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思想是解答

本题的关键.

1

5.已知抛物线y=4X、l具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0,2）的距离与到x轴的距离始终

1

相等，如图，点M的坐标为（平,3）,P是抛物线丫=,d+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

过点M作ME_Lx轴于点E,交抛物线y=x2+l于点P,此时△PMF周长最小值,

s41

Z2

.*.ME=3,FM=J(A/3-0)+(3-2)=2,

二APMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5.

故选C.

【关键点拨】

本题求线段和的最值问题，把需要求和的线段，找到相等的线段进行转化，转化后的线段共线时为最值情

况.

6.如图，点P是菱形4BCD边上的一动点，它从点4出发沿在ATB—CTD路径匀速运动到点D,设21P4D的面

积为％P点的运动时间为4,则y关于％的函数图象大致为（）

【解析】

设菱形的高为力，有三种情况:

①当0在四边上时，如图1,

*方，

♦.3。随x的增大而增大，人不变,

随x的增大而增大，

故选项C不正确；

②当"在边比1上时，如图2,

图2

1

y=-^AD,h,

4。和方都不变，

...在这个过程中，y不变，

故选项A不正确；

③当"在边⑦上时，如图3,

图3

1

y=-^PD*h,

,如随x的增大而减小，力不变,

.•.y随*的增大而减小，

:2点从点A出发沿IfA路径匀速运动到点D,

。在三条线段上运动的时间相同，

故选项D不正确,

故选B.

【关键点拨】

本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点〃的位置的不同，运用分类讨论思想，分三段求出

△必〃的面积的表达式是解题的关键.

k

7.如图，一次函数y=2x与反比例函数丫=亍(k>0)的图象交于A,B两点，点P在以C(-2,0)为圆心,

3

1为半径的。C上，Q是AP的中点，已知0Q长的最大值为2,则k的值为()

【答案】C

【解析】

如图，连接BP,

由对称性得：0A=0B,

••,Q是AP的中点，

1

.,.0Q=2BP,

3

：0Q长的最大值为2，

3

...BP长的最大值为々X2=3,

如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD_Lx轴于D,

VCP=1,

；.BC=2,

在直线y=2x上，

设B(t,2t),则CD=t-(-2)=t+2,BD=-2t,

在RtaBCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2,

A22=(t+2)2+(-2t)2,

4

t=0(舍)或t=-引

48

飞)，

k

•.•点B在反比例函数y=1(k>0)的图象上,

4832

Ak=-5X(-5)=25,

故选C.

【关键点拨】

本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等,

综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时0Q有最大值是解题的关键.

8.如图，在正方形ABCD中，连接AC,以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点M,N,分别以M,

N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H,连结AH并延长交BC于点E,再分别以A、E为圆

心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P,Q,作直线PQ,分别交CD,AC,AB于点F,G,L,交

KB

CB的延长线于点K,连接GE,下列结论：①/LKB=22.5°,②GE〃AB,③tan/CGFn下,④SACCE：SACAB-1：

4.其中正确的是（）

A.①@③B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】A

【解析】

①;四边形ABCD是正方形，

1

AZBAC-ZBAO450,

由作图可知：AE平分NBAC,

/.ZBAE=ZCAE=22.5°,

•・,PQ是AE的中垂线，

AAE1PQ,

AZA0L=90°,

VZA0L=ZLBK=90°,NALO二NKLB,

AZLKB=ZBAE=22.5O；

故①正确；

②YOG是AE的中垂线，

JAG二EG,

/.ZAEG=ZEAG=22.5°=ZBAE,

AEG/ZAB,

故②正确：

(3)VZLAO=ZGAO,ZA0L=ZA0G=90°,

AZALO=ZAGO,

VZCGF=ZAGO,ZBLK=ZALO,

.\ZCGF=ZBLK,

BK

在RtZiBKL中，tanNCGF=tan/BLK=k，

uL

故③正确；

④连接EL,

D

KBE

VAL=AG=EG,EG//AB,

・♦・四边形ALEG是菱形，

.*.AL=EL=EG>BL,

.EG1

・.・而*2'

VEG/7AB,

.,.△CEG^ACBA,

.SACEG_EG21

△CBA

故④不正确；

本题正确的是：①②③，

故选A.

【关键点拨】

本题考查了基本作图：角平分线和线段的垂直平分线，三角形相似的性质和判定，菱形的性质和判定，三

角函数，正方形的性质，熟练掌握基本作图是关键，在正方形中由于性质比较多，要熟记各个性质并能运

用；是中考常考的选择题的压轴题.

11

-X-1<_(x-I')

9.若数a使关于x的不等式组3一2、乙有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程

^2x-a<3(1-x)

3ya+12

+-1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是()

y—Lz-y

A.-10B.-12C.-16D.-18

【答案】B

【解析】

|11

尸1W#-l)①

-a<3(1-x)②

解①得x2-3,

3+a

解②得xW—5—,

3+a

不等式组的解集是-3WxW—厂.

•••仅有三个整数解，

3+Q

，1W—g—VO

，-8WaV-3,

3ya+12

y^2+2-y~1,

3y-a-12=y-2.

Q+10

，y二—^―,

：y#-2,

.♦.aW-6,

Q+10

又y=——有整数解，

a=-8或-4,

所有满足条件的整数a的值之和是-8-4=T2,

故选B.

【关键点拨】

本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键.

10.如图，AABC中，NA=30°,点0是边AB上一点，以点0为圆心，以OB为半径作圆，。。恰好与AC

相切于点D,连接BD.若BD平分NABC,AD=2/，则线段CD的长是（）

A.2B.3C.|D.

【答案】B

【解析】

连接0D

•；0D是。。的半径，AC是。0的切线，点D是切点,

/.OD±AC

在RtAAOD中，VZA=30°,AD=2A/3,

・・・OD=OB=2,AO4,

AZODB=ZOBD,又「BD平分NABC,

.\ZOBD=ZCBD,

AZODB-ZCBD,

/.0D/7CB,

ADAO2、乃4

：'CD=OB,即R=N

；.CD=©

故选B.

【关键点拨】

本题考查了圆的切线的性质、含30。角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说

明NC=90°,利用/A=30°,AB=6,先得AC的长，再求CD.遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线.

11.如图，在aABC中，NC=90°,AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以』cm/s的速度沿AB方向运动到点B.

动点Q同时从点A出发，以lcm/s的速度沿折线AC->CB方向运动到点B.设4APQ的面积为y（cm2）.运动时

间为x（s）,则下列图象能反映y与x之间关系的是（）

【解析】

在aABC中，ZC=90°,AC=BC=3cm,可得AB=3/，NA=NB=45°,当0<xW3时，点Q在AC上运动，点

P在AB上运动（如图1）,由题意可得AP=/x,AQ=x,过点Q作QNJ_AB于点N,在等腰直角三角形AQN中，

求得QN=4x,所以丫=1。（27=；*8”,4=32（0〈*.3）,即当0<xW3时，y随x的变化关系是二

次函数关系，且当x=3时，y=4.5；当3<xW6时，点P与点B重合，点Q在CB上运动（如图2）,由题意

可得PQ=6-x,AP=3.。，过点Q作QN1BC于点N,在等腰直角三角形PQN中，求得QN=)(6-x),所以

11厂、/23

y=yp-QN^x3。*号(6-X)=-/+9(3WxW6),即当3WxW6时，y随x的变化关系是一次函数，

且当x=6时，y=0.由此可得，只有选项D符合要求，故选D.

【关键点拨】

本题考查了动点函数图象，解决本题要正确分析动线运动过程，然后再正确计算其对应的函数解析式，由

函数的解析式对应其图象，由此即可解答.

12.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点0与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，

k

反比例函数y二(kWO,x>0)的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别交于点M、N,NDLx轴，垂足为D,

连接OM、ON、MN,则下列选项中的结论错误的是()

A.AONC^AOAM

B.四边形DAMN与aOMN面积相等

C.ON=MN

D.若/M0N=45°,MN=2,则点C的坐标为(0,平+1)

【答案】C

【解析】

k

•.•点M、N都在y2的图象上,

111

5卡5=眇，即引C•归拜•AM,

.四边形ABCO为正方形，

/.OC=OA,/OCN=/OAM=90°,

•,.NC=AM,

.♦.△OCN丝△OAM,

；.A正确；

1

•SAOM)-SAOAM=2^»

SAQM)+S四边形DA壮二S&mi+S△(册i,

・・・四边形DAMN与AMON面积相等，

・・・B正确；

VAOCN^AOAM,

AON=OM,

Vk的值不能确定，

.•・NMON的值不能确定，

•••△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形,

AON^MN,

・・・C错误；

作NEJ_OM于E点，如图所示：

VZM0NM50,•'△ONE为等腰直角三角形,

ANE=OE,

设NE=x,则ON=/x,

AOM^x,

/.EM=A/2X-X=(y/2-i)x,

在RtZ\NEM中，MN=2,

VMN2=NE2+EM-,即22=X2+[(—T)x]2,

：.x2=2+yf2,

.,.0N2=（g）2=4+2/，

VCN=AM,CB=AB,

；.BN=BM,

...△BMN为等腰直角三角形，

、展

.♦.BN=5-MN=J2,

设正方形ABCO的边长为a,则OC=a,CN=a-A/2,

在RtAOCN中，*/OC2+CN2=ON2,

a'+（a-./）2=4+2。，解得ai=^/2+],az=~l（舍去），

：.0C=yf2+l,

••.C点坐标为（0,W+l）,

.♦.D正确.

故选：C.

【关键点拨】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象匕点的坐标特征、比例系数的几何意

义和正方形的性质；本题难度较大，综合性强；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行推理计算.

13.如图，一段抛物线y=-x、4（-2WxW2）为C”与x轴交于A。，Ai两点，顶点为工；将G绕点4旋转

180°得到C”顶点为D2；G与&组成一个新的图象，垂直于y轴的直线1与新图象交于点R（x'y）P2

（X2,y2））与线段DR交于点P3（x3,y3）,设x”x2,X3均为正数，t=xi+x2+x3,则t的取值范围是（）

A.6ctW8B.6<tW8C.10<tW12D.10<tW12

【答案】D

【解析】

翻折后的抛物线的解析式为y=(x-4)2-4=X2-8X+12,

•••设X”X2,X3均为正数,

.,.点Pi(X”yl,P2(x2.y2)在第四象限，

根据对称性可知：xi+xz=8,

,.,2Wx：W4,

二IOWX1+X2+X3WI2,

即10WtW12,

故选D.

【关键点拨】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，熟练掌握和灵活

应用二次函数的相关性质以及旋转的性质是解题的关键.

14.已知二次函数y=-x，x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下

方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图所示)，请你在图中画出这个新图象，当直线y=-x+m与

新图象有4个交点时，m的取值范围是()

2525

A.--?-<m<3B.F〈mV2C.-2<m<3D.-6<m<-2

【答案】D

【解析】

如图，当y=0时，-X2+X+6=0,解得XF-2,X?=3,则A(-2,0),B(3,0),

将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=(x+2)(x-3),

即y=x2-x-6(-2Wx<3),

当直线y=-x+m经过点A(-2,0)时，2+m=0,解得m=-2；

当直线y=-x+m与抛物线y=x：'-x-6(-2WxW3)有唯一公共点时，方程x，-x-6=-x+m有相等的实数解,

解得m=-6,

所以当直线y=-x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为-6<m<-2,

故选D.

【关键点拨】本题考查了抛物线与几何变换，抛物线与X轴的交点等，把求二次函数y=ax?+bx+c（a,b,c

是常数，aWO）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解决此类问题常用的方法.

15.如图，正方形ABCD的边长为2,P为CD的中点，连结AP,过点B作BELAP于点E,延长CE交AI）于

点F,过点C作CHJ_BE于点G,交AB于点H,连接HF.下列结论正确的是（）

A.CE=/B.EF=1C.cosNCEP=gD.HF2=EF«CF

【答案】D

【解析】

连接E".

•••四边形4?必是正方形,

ACD-A&-BC-AD-2,CD//AB,

'：BELAP,CGIBE,

：.CH//PA,

二四边形CPZ"是平行四边形,

・•・CP=AH,

■:C4PI±\,

：.AH=PC=\,

在RtA4跖中，,:AlkHB,

:,EaHB,•:HC1BE,

：.BG=EGf

:・CFCB%故选项A错误，

•：C4CH,CFCE,HB-HE,

・・・△%侬△曲

:・/CB4NCE#90°,

9：HP-HF,H打HA,

:.RSHFE^tXHFA,

:"六EF,设EQA户x,

在RtZXCJ户中,W22+(2-X)2=(2+^)2,

1

・••上2,，故B错误，

•:PA"CH,

：.4CEk2EC+2BCH,

BC2J5

AcosZCEP=cosZBCf^^j=-^-,故C错误.

7Cn5

平15

,Er,Fr

:.*EF・FC,故D正确，

故选：D.

【关键点拨】

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

1

16.(x+2)(x-8)xA,ByC,M,AB

如图，抛物线丫=五q与轴交于两点，与轴交于点顶点为以为直径作

OD.下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②。D的面积为16丸；③抛物线上存在点E,使四边形ACED

为平行四边形；④直线CM与。D相切.其中正确结论的个数是()

【答案】B

【解析】

1

•..在y=4(x+2)(x-8)中，当y=0时，x=-2或x=8,

二点A(-2,0)、B(8,0),

—2+8

...抛物线的对称轴为x=一^^3,故①正确；

V0D的直径为8-(-2)=10,即半径为5,

...0D的面积为25。，故②错误；

113

在y=4(x+2)(x-8)=?2-尹-4中，当x=0时y=-4,

二点C(0,-4),

13

当y=_4时，卧"-尹-4=-4,

解得:Xi=0、X2=6,

所以点E(6,-4),

则CE=6,

VAD=3-(-2)=5,

；.AD#CE,

二四边形ACED不是平行四边形，故③错误；

13125

片d)

25

二点“(3,--不)，

25

."佐甲

25

如图，连接。，过点"作也VLy轴于点处则有1(0,-彳)，433,

9225

VC(0,-4),:.C-,:・磁二得溷-m

416

625

在打△0〃。中，/COD=90°,,・・5="+切=25,・•・◎/+〃=*,

1O

252625

•.•〃/=（彳）

=W

af+ajf=mf,

，/加作90°,即〃

•.•切是半径，

二.直线cv与。〃相切，故④正确，

故选B.

【关键点拨】本题考查了二次函数与圆的综合题，涉及到抛物线的对称轴、圆的面积、平行四边形的判定、

待定系数法、两直线垂直、切线的判定等，综合性较强，有一定的难度，运用数形结合的思想灵活应用相

关知识是解题的关键.

17.抛物线y=ax2+bx+c(aH())的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴

是x=l,下列结论中：

①abc>0；②2a+b=0；③方程ax?+bx+c=3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐

标为(-2,0)；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am?+bm+cWa+b+c.

其中正确的有()

【解析】

①对称轴是y轴的右侧，

Aab<0,

.••抛物线与y轴交于正半轴，

c>0,

・・・abc<0,故①错误;

b

②，j

••.b=-2a,2a+b=0,故②正确；

③由图象得：y=3时，与抛物线有两个交点，

••方程ax?+bx+c=3有两个不相等的实数根，故③正确；

④T抛物线与x轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是x=1,

二抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-2,0),故④正确；

⑤抛物线的对称轴是x=l,

•••y有最大值是a+b+c,

•.•点A(m,n)在该抛物线上，

am2+bm+c<a+b+c,故⑤正确，

本题正确的结论有：②③④⑤，4个，

故选B.

【关键点拨】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a#0),二次项系数a决定抛物线

的开口方向和大小：当a>°时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系

数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左：当a与b异号时（即ab<0）,

时称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；也考查了抛物线与x轴

的交点以及二次函数的性质.

18.如图，点E在aDBC的边DB上，点A在ADBC内部，ZDAE=ZBAC=90°,AD=AE,AB=AC.给出下列结

论：

①BD=CE；②/ABD+/ECB=45。；③BD_LCE；④BE12（AD2+AB2）-CD2.其中正确的是（）

A.©©③④B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】

VZDAE=ZBAC=90°,

二ZDAB=ZEAC

VAD=AE,AB=A3

/.△DAB^AEAC,

.•.BD=CE,ZABD=ZECA,故①正确，

AZABD+ZECB=ZECA+ZECB=ZACB=45°,故②正确，

VZECB+ZEBC=ZABD+ZECB+ZABC=450+45°=90°,

.,.ZCEB=90°,即CE_LBD,故③正确,

.".BE2=BC-EC2=2AB-（CD-DE2）=2AB-CD2+2AD2=2（AD2+AB2）-CD2.故④正确，

故选：A.

【关键点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键

是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

19.如图，边长为2的正AABC的边BC在直线1上，两条距离为1的平行直线a和b垂直于直线1,a和b

同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止,

在a和b向右移动的过程中，记4ABC夹在a和b之间的部分的面积为s,则s关于t的函数图象大致为（）

【答案】B

【解析】

如图①,当OWt<l时，BE=t,DE=0,

如图②,当lWtV2时，CE=2-t,BG=t-l,

ADE^(2-t),FG=—(t-1),

1113

_

s-SKB®AFCEO-SAABC_SABGF-SACDI--^2X\f^~2(tT)X./(t-l)-]X(2t)X(2—t)=-./

如图③，当2WtW3时，CG=3-t,GF=W(3-t),

③

1r串r9J3

：.s=S^：Q~X(3-t)X.73(3-t)=合-3臼+今，

综上所述，当OWtVl时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当lWt<2时，函数图象为开口向下

的抛物线的一部分；当2Wt<3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，

故选B.

【关键点拨】

本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生

活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力.

20.如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD,BC及AB的延长线于点F,G,H,

连接HE,HC,0D,连接CO并延长交AD于点M.则下列结论中：

BHAM

①FG=2A0；②OD〃HE；③瓦•二丽；@20E=AH«DE；⑤GO+BH=HC

正确结论的个数有()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

如图，

建立以B点为坐标原点的平面直角坐标系，设正方形边长为2,可分别得各点坐标，

1

A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(2,2),E为CD的中点，可得E点坐标(2,1),可得AE的直线方程，y=--x+2,

0+22+131

由OF为直线AE的中垂线可得。点为（2，2）=（L#设直线0F的斜率为K,得kx（_©=-l,可得

3

k=2,同时经过点0（1,吠，可得0F的直线方程：

1115

y=2x--f可得OF与X轴、y轴的交点坐标G（7,0）,H（0,及F（彳,2）,

32

同理可得：直线C0的方程为：>=-m+3,可得M点坐标％,2）,

1"5~~T_2_

可得：①FG=(，-»+(2-0)2=9,

11;下

A0/E=2-4)+(2-0)='

故FG=2A0,故①正确；

31

②：由0点坐标(L)),D点坐标(2,2),可得0D的方程：y=/+l,

131

由H点坐标(0,-2),E点坐标(2,1),可得HE方程：'=4%一下

由两方程的斜率不相等，可得0D不平行于HE,

故②错误；

21

③由A(0,2),M(5，2),H(0,一/,E(2,1),

1224

可得：BH=2,EC=1,AM=5,MD=2-3=3,

BHAM1

故匹=丽

故③正确；

31

®：由0点坐标(L)),E(2,1),H(0,D(2,2),

,,3215

可得：。铲=(l-2)Z+(]-l)=1+4=4,

15

AH=2+2=2,DE=1,有20E2=AH»DE,

故④正确；

131

⑤：由GQ,O),0点坐标(L[),H(0,-2),C(2,0),

I~~~32F

可得：GO=(1-_)+(2-0)=—^~,

1flr2717

BH^,IIC=22+(2)=

可得:GOWBH+HC,

故正确的有①③④,

故选B.

【关键点拨】

本题主要考查一次函数与矩形的综合，及点与点之间的距离公式，难度较大，灵活建立直角坐标系是解题

的关键.

二、填空题

21.如图，已知等边△。为与，顶点为在双曲线y=g(x>0)上，点%的坐标为(2,0).过％作吗&〃。4交

双曲线于点&,过&作交x轴于点火,得到第二个等边△鸟&4；过作82&〃8[&交双曲线

于点&,过&作43%〃42B2交支轴于点％,得到第三个等边△B2&B3；以此类推，…，则点空的坐标为.

【解析】

•••OC=。/+B[C=2+a,&(2+a,0a).

丁点外在双曲线y=>0)±,

・•.(2+a)・回=口，

解得％=-1+/,。2=-「口(不符题意舍去),

OB2=OBX+2B[C=2+2^/2-2=28,

二点区的坐标为（20,0）；

作“3。1X轴于点D,设员庐6,则=\；2，

AOD=OB2+B2D=20+b,&（28+b/b）.

；点4在双曲线y=g（x>0）±,

•••（2/+b）.皿=/,

解得％=-/+g与二-丁一人（不符题意舍去），

••・OB3=/+28/=2斤2/+2行=2a

二点国的坐标为（2々,0）；

同理可得点合坐标为（2《,0）；

以此类推…，

二点氏的坐标为（26,0）,

二点层的坐标为（2心,0）.

故答案为（2心,0）.

【关键点拨】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质等知识.正确求出B?、B3、B4的坐标进而

得出点反的规律是解题的关键.

22.如图，已知/M0N=120°,点A,B分别在0M,0N±,且OA=OB=a,将射线0M绕点0逆时针旋转得到

0M',旋转角为a（00<a<120°且aW60°）,作点A关于直线0M'的对称点C,画直线BC交0M'于

点D,连接AC,AD,有下列结论：

①AD=CD；

②NACD的大小随着a的变化而变化；

③当a=30°时，四边形OADC为菱形；

@AACD面积的最大值为/a；

其中正确的是.（把你认为正确结论的序号都填上）.

BC

OaAM

【答案】①③④

【解析】①：A、C关于直线0M'对称，

是AC的垂直平分线，

•,.CD=AD,故①正确；

②连接0C,

由①知：0M'是AC的垂直平分线，；.OC=OA,

/.OA=OB=OC,

以0为圆心，以0A为半径作00,交A0的延长线于E,连接BE,

则A、B、C都在。。上，

VZM0N=120°,

/.ZB0E=60°,

V0B=0E,

/.△OBE是等边三角形，

.♦.NE=60°,

,:A、C、B、E四点共圆,

AZACD=ZE=60°,故②不正确；

③当a=30°时，即NA0D=NC0D=30°,

.,.ZA0C=60°,

.♦.△AOC是等边三角形，

AZOAC=60°,OC=OA=AC,

由①得：CD=AD,

AZCAD=ZACD=ZCDA=60°,

.,.△ACD是等边三角形，

，AC=AD=CD,

.*.OC=OA=AD=CD,

，四边形OADC为菱形，故③正确;

@VCD=AD,NACD=60°,

...△ACD是等边三角形,

当AC最大时，4ACD的面积最大,

是。0的弦，即当AC为直径时最大,此时AC=2OA=2a,a=90°,

...△ACD面积的最大值是：2^AC2=^x(2a)2=^a2,故④正确，

所以本题结论正确的有：①③④，

故答案为：①③④.

【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等,

综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线构建图形并能灵活应用相关知识是解题的关键.

1111

23.按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：2,£豆，20,--则这个数列前2018个数的和为

2018

【答案】2019

【解析】

1

由数列知第n个数为“自上11，

11111

则刖2018个数的和为之+石+豆+而+…+2018X2019

11111

—al.________al....-

-1x72X335c$4)T52018X2019

111111111

—i_+—一—+一一一+———+,,•+—

223344520182019

1

=,'2019

2018

=2019,

2018

故答案为：2019-

【关键点拨】本题考查了规律题、有理数的加减混合运算等，熟练掌握有理数混合运算的法则以及得出第n

个数为需F是解题的关键.

24.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAAi的直角边0A在x轴上，点Ai在第一象限，且0A=l,

以点Ai为直角顶点，OAi为一直角边作等腰直角三角形0AA,再以点A?为直角顶点，0由为直角边作等腰直

【解析】

VZ0AA,=90°,OA=AAi=b以OAi为直角边作等腰口△0AA,再以0A-为直角边作等腰RtaOAA,…，

Ulx

二OA1=.00A2=(W)0A20i8=(^/2)■,

Ai>Az、…，每8个一*循环，

：2018=252X8+2

点A2018的在y轴正半轴上，0人20,8=02)2°咚2吗

故答案为：(0,21009).

【关键点拨】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象

限符号.

25.如图,已知等边△0AB,顶点儿在双曲线y=Y-(x>0)上，点怪的坐标为(2,0).过&作B也〃0Ai

交双曲线于点A2,过A?作AzB2〃AB交x轴于点艮，得到第二个等边△BiAB；过B2作B几〃BA交双曲线于

点As,过A3作AaB3〃AB交X轴于点B“得到第三个等边△BAB：,；以此类推，…，则点灰的坐标为

【解析】

如图，作轴于点C,设B£=a,则AQj^a,

0C=0B,+BlC=2+a,A2(2+a,乖a).

J3

•点上在双曲线y='(x>0)上，

/.(2+a)•◎=/,

解得a力2-1,或a=-.72-l(舍去)，

.♦.0B?=0Bi+2BC=2+2/-2=2。，

.•.点B2的坐标为(2/,0)；

作AsDLx轴于点D,设B?D=b,则A3D=J3b,

OD=OB2+BJ)=2/+b,A2(2/+b,/b).

•.•点A：,在双曲线y=((x>0)上，

.，.(2A/2+b)”Wb=8，

解得b=-F+/,或b=舍去)，

.,.063=062+2620=2^/2-2平成平=20,

二点氏的坐标为(2©0)；

同理可得点B,的坐标为(2#,0)即(4,0)；

••,,

...点B”的坐标为(2#,0),

...点氏的坐标为(2g0),

故答案为：(2^/6,0).

【关键点拨】本题考查了规律题，反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出Bz、B3、

B,的坐标进而得出点B”的规律是解题的关键.

26.关于x的一元二次方程X?-2kx+k?-k=0的两个实数根分别是小、xz,且x/+x/=4,则xj-丁Xz+x/的值

是.

【答案】4

【解析】

Vx2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是xi、xz,

J

/.xi+x2=2k,Xi*X2=k-k,

Yx-

(X1+X2)2-2xiXa=4,

(2k)2-2(k2-k)=4,

2k%2k-4=0,

k2+k-2=0,

k=-2或1,

：△=(-2k)2-4X1X(k2-k)20,

k20,

/.k=l,

xjX2=k-'-k=0,

X[2-X1X2+X2J4-0=4,

故答案为：4.

【关键点拨】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的

判别式△》()”是解题的关键.

勺

27.如图，矩形ABCD的顶点A,B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y=」(x>0)的图象经过点C,

x

上2

反比例函数y=—(xVO)的图象分别与AD,CD交于点E,F,若S△卿=7,%+3k2=0,则此等于—

X

【解析】

设点B的坐标为（a,0）,则A点坐标为（-a,0）,

kI-4,D「a,3,

由图象可知，点C(a,_),E(-a,

aaa

1a

,・1+3k2=0,・・・k2=・泰，・・・F(3'a"

4勺

SABCI-CF-FC2

2

k2

2ax

aI

S^ABE=4B・4E

k

22—="2

SABEF=7，

22

1

又,**kz=-，

451

gkIg(-5^])二7，

，ki=9

故答案为：9

【关键点拨】本题是反比例函数综合题，解题关键是设出点B坐标继而表示出相关各点，应用面枳的割补

法构造方程.

28.如图，在平面直角坐标系中，正方形4BCD的顶点”的坐标为（-1,1）,点B在％轴正半轴上，点。在第三

6

象限的双曲线y=3上，过点C作CE〃》轴交双曲线于点E,连接BE,则/BCE的面积为一

【答案】7

【解析】

如图，过D作GHJ_x轴,过A作AG_LGH,过B作BMJ_HC于M,

6

设D(x,

x

・.,四边形ABCD是正方形，

・・・AD二CD=BC,ZADC=ZDCB=