连续时间信号与系统的傅里叶分析课程

连续时间信号与系统的傅里叶分析课程13一月20242主要内容傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质周期信号和非周期信号的频谱分析卷积定理和连续时间LTI系统的频域分析13一月20243概述时域与变换域转换的对应关系时域连续离散变换域变换域非周期周期时域时域实部虚部变换域变换域偶对称奇对称时域13一月20244第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析引言连续周期信号的傅里叶级数表示练习一13一月20245第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析连续非周期信号的傅里叶变换练习二13一月20246第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析傅里叶变换的性质连续周期信号的傅里叶变换练习三13一月20247第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析卷积定理连续LTI系统的频率响应与理想滤波器练习四13一月20248第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析连续时间LTI系统的频域求解练习五13一月202493.0引言傅里叶生平1768年3月21日生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”中1829年狄里赫利第一个给出收敛条件13一月2024103.0引言傅里叶的两个最主要的贡献“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”

——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”

——傅里叶的第二个主要论点13一月2024113.0引言时域分析基本信号：单位冲激信号δ(t)频域分析基本信号：正余弦信号sint或虚指数信号ej

t

傅里叶变换，自变量为j

复频域分析基本信号：复指数信号est

拉氏变换,自变量为s=

+j

Back13一月2024123.1连续周期信号的傅里叶级数表示函数的正交性正交函数集13一月2024133.1连续周期信号的傅里叶级数表示函数的正交分解不完备分解完备分解13一月2024143.1连续周期信号的傅里叶级数表示三角函数完备正交函数集三角函数是基本函数建立了时间与频率两个基本物理量之间的联系三角函数是简谐信号，简谐信号容易产生、传输、处理 三角函数信号通过线性时不变系统后，仍为同频三角函数信号，仅幅度和相位有变化，计算更方便13一月2024153.1连续周期信号的傅里叶级数表示三角形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数周期信号的波形对称性与谐波特性的关系典型周期信号的傅里叶级数关于傅里叶级数的有关结论周期信号的频谱及其特点Back13一月2024163.1.1三角形式的傅里叶级数三角函数在区间(t0,t0+T)内相互正交13一月2024173.1.1三角形式的傅里叶级数三角函数集{cosn

0t,sinn

0t|n=0,1,2,…}是完备正交函数集一般表达式直流分量基波分量n=1

谐波分量n>113一月202418直流分量余弦分量正弦分量3.1.1三角形式的傅里叶级数13一月2024193.1.1三角形式的傅里叶级数狄里赫利条件在一个周期内有有限个间断点在一个周期内有有限个极值点在一个周期内能量有限即绝对可积一般周期信号都满足这些条件13一月2024203.1.1三角形式的傅里叶级数周期信号的三角函数正交集表示13一月2024213.1.1三角形式的傅里叶级数几种系数的关系Back13一月202422复指数函数集是完备正交集

表达式的推导3.1.2指数形式的傅里叶级数由欧拉公式得其中由前知13一月2024233.1.2指数形式的傅里叶级数两种傅氏级数的系数间的关系引入了负频率13一月2024243.1.2指数形式的傅里叶级数两种傅氏级数的系数间的关系(续)13一月2024253.1.2指数形式的傅里叶级数复指数傅里叶级数的特点引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导

cn是实数，Fn

一般是复数当Fn

是实数时，可用Fn的正负表示0和π相位，幅度谱和相位谱合一Back13一月2024263.1.3波形对称性与谐波特性三种对称性偶函数项偶对称奇对称奇谐函数:半周期奇对称任意周期函数有:奇函数项13一月2024273.1.3波形对称性与谐波特性三角表示式周期偶函数：只含直流和余弦项复指数表示式其中an是实数其中Fn是实数13一月2024283.1.3波形对称性与谐波特性偶函数实例：周期三角函数13一月2024293.1.3波形对称性与谐波特性周期奇函数：只含正弦项三角表示式其中bn是实数指数表示式其中Fn是纯虚数13一月2024303.1.3波形对称性与谐波特性奇函数实例：周期锯齿波13一月2024313.1.3波形对称性与谐波特性沿时间轴移半个周期上下反转波形不变半周期反对称奇谐函数13一月2024323.1.3波形对称性与谐波特性奇谐函数的示例波形13一月2024333.1.3波形对称性与谐波特性奇谐函数的傅氏级数奇谐函数的偶次谐波的系数为013一月2024343.1.3波形对称性与谐波特性沿时间轴移半个周期波形不变半周期对称偶谐函数13一月2024353.1.3波形对称性与谐波特性偶谐函数的示例波形13一月2024363.1.3波形对称性与谐波特性偶谐函数的傅氏级数偶谐函数的奇次谐波的系数为0Back13一月2024373.1.4典型周期信号的傅里叶级数周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波余弦信号周期全波余弦信号Back13一月2024383.1.4.1周期矩形脉冲信号信号波形主值周期表达式13一月2024393.1.4.1周期矩形脉冲信号三角形式的傅里叶级数复指数形式的傅里叶级数

13一月2024403.1.4.1周期矩形脉冲信号频谱

13一月2024413.1.4.1周期矩形脉冲信号频谱特点离散频谱，谱线间隔为基波频率ω0，脉冲周期T越大，谱线越密。各分量的大小正比于脉冲幅度E和脉冲宽度τ

，反比于信号周期T。各谱线的幅度按包络线变化。过零点为主要能量在第一过零点内。带宽13一月2024423.1.4.1周期矩形脉冲信号周期矩形的频谱变化规律若T不变，τ改变时的情况若τ不变，T改变时的情况13一月2024433.1.4.1周期矩形脉冲信号TT/4-T/4实偶函数周期矩形对称方波奇次余弦特例：对称方波13一月2024443.1.4.1周期矩形脉冲信号对称方波的频谱变化规律TT/4-T/4Back13一月2024453.1.4.2周期锯齿脉冲信号周期锯齿波：奇函数Back13一月2024463.1.4.3周期三角脉冲信号周期三角函数：偶函数Back13一月2024473.1.4.4周期半波余弦信号周期半波余弦信号：偶函数Back13一月2024483.1.4.5周期全波余弦信号周期全波余弦信号：偶函数Back13一月2024493.1.5关于傅里叶级数的有关结论随着n绝对值增加，an、bn、cn、dn、Fn的绝对值总体趋势是衰减的(但不一定单调衰减)；对于有限项傅里叶级数，随着迭加项数的增加，傅里叶级数与原信号的均方差逐渐减小，但在间断点处的误差仍然较大，存在Gibbs现象；

13一月2024503.1.5关于傅里叶级数的有关结论高频分量为信号中变化快的部分，主要影响信号跳变沿；低频分量为信号中变化慢的部分，主要影响信号峰、谷强度的高低；若信号f(t)为偶函数，则级数中只有an项，所有bn=0；若信号f(t)为奇函数，则级数中只有bn项，所有an=0；

13一月2024513.1.5关于傅里叶级数的有关结论若信号f(t)半波奇对称，则傅里叶级数偶次谐波的系数为0；若信号f(t)半波偶对称，则傅里叶级数奇次谐波的系数为0(此时信号的实际周期为T/2)；

所有周期信号都不满足绝对可积的条件，即信号在(-∞,+∞)内的绝对积分均发散。

13一月2024523.1.5关于傅里叶级数的有关结论周期信号的功率特性P为周期信号的平均功率符合帕斯瓦尔定理Back13一月2024533.1