专题3.1 不等式及其基本性质（重点题专项讲练）（浙教版）（解析版）

专题3.1不等式及其基本性质【典例1】利用不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．（1）x+5＞﹣2；（2）4x＜36；（3）-12x（4）﹣4x+2＜10；（5）3x﹣1≥32（6）1+2x3＞x﹣【思路点拨】（1）根据不等式的性质（不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变）解决此题．（2）根据不等式的性质（不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变）解决此题．（3）根据不等式的性质（不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变）解决此题．（4）根据不等式的性质（不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变）解决此题．（5）根据不等式的性质（不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号方向不变）解决此题．（6）根据不等式的性质（不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变；不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变）解决此题．【解题过程】解：（1）x+5＞﹣2，不等式的两边都减去5得：x＞﹣7；（2）4x＜36，不等式的两边都除以4得：x＜9；（3）-12x不等式的两边都乘以﹣2得：x≤﹣6；（4）﹣4x+2＜10，﹣4x＜10﹣2，﹣4x＜8，x＞﹣2；（5）3x﹣1≥323x-32x32x≥1x≥2（6）1+2x3＞x﹣1+2x＞3x﹣3，2x﹣3x＞﹣3﹣1，﹣x＞﹣4，x＜4．1．（2021春•大埔县期末）据气象台预报，2020年5月某日大埔最高气温27℃，最低气温21℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（）A．t＞21 B．t≤27 C．21＜t＜27 D．21≤t≤27【思路点拨】根据最高气温、最低气温，可得答案．【解题过程】解：2020年5月某日大埔最高气温27℃，最低气温21℃，得21≤t≤27．故选：D．2．（2021春•东城区校级期末）下面给出了6个式子：①3＞0；②4+3y＞0；③x＝3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0，其中不等式有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【思路点拨】依据不等式的定义来判断即可，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式．【解题过程】解：由题可得：①3＞0；②4+3y＞0；⑤x+2≤3；⑥2x≠0是不等式，故不等式有4个．故选：C．3．（2021秋•柯桥区期末）若x＞y，则下列各式中，一定成立的是（）A．x﹣2＞y﹣2 B．x+2＜y+2 C．﹣2x＞﹣2y D．13x＜【思路点拨】利用不等式的性质判断即可．【解题过程】解：A．因为x＞y，所以x﹣2＞y﹣2，原变形正确，故此选项符合题意；B．因为x＞y，所以x+2＞y+2，原变形错误，故此选项不符合题意；C．因为x＞y，所以﹣2x＜﹣2y，原变形错误，故此选项不符合题意；D．因为x＞y，所以13故选：A．4．（2020•南安市校级自主招生）若x+5＞0，则（）A．x+3＜0 B．x﹣3＜0 C．x5＜-1 D．﹣2【思路点拨】根据不等式的性质进行逐一判断即可．【解题过程】解：∵x+5＞0，∴x＞﹣5，∴x+3＞﹣2，A错误；x﹣3＞﹣8，B错误；x5＞-1﹣2x＜10，即﹣2x＜16，D正确，故选：D．5．（2022•郑州模拟）若a＞b＞0，c＞d＞0，则下列式子不一定成立的是（）A．a﹣c＞b﹣d B．cb＞da C．ac＞bc D【思路点拨】根据不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．【解题过程】解：A．当a＝2，b＝1，c＝4，d＝3时，a﹣c＝b﹣d，故本选项符合题意；B．若a＞b＞0，c＞d＞0，则cbC．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bc，故本选项不合题意；D．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，故本选项不合题意；故选：A．6．（2021春•伊川县期末）某饮料瓶上有这样的字样：保质期18个月，如果用x（单位：月）表示该饮料出厂后到饮用时的月数，那么x应该在什么范围内表示该饮料还可以饮用？【思路点拨】将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等关系式即可．【解题过程】解：一般饮料和食品应在保质期内，即不超过保质期的时间内食用，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为：0≤x≤18．故答案是：0≤x≤18．7．（2021春•曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是．【思路点拨】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．【解题过程】解：不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．故答案为：租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．8．（2021春•饶平县校级期末）用“＞”或“＜”填空：若a＜b＜0，则-a5-b5；1a1b；2a﹣12b﹣1；a【思路点拨】根据不等式的性质以及有理数大小比较方法逐一判断即可．【解题过程】解：∵a＜b＜0，∴-a1a2a﹣1＜2b﹣1（不等式两边同时乘2，得2a＜2b；不等式两边同时减去1，可得2a﹣1＜2b﹣1）；a＞a+b（两个负数比较大小，绝对值大的反而小）；故答案为：＞；＞；＜；＞．9．（2021•椒江区校级开学）请在空格里填上合适的内容：下列判断中，①若a＞b，则﹣2a＜﹣2b+1；②若a＞b＞0，则a2＞b2；③若a＞b，则1a＜1b；④若ac2≤bc2，则a＜b；⑤若a＞b，则ac2【思路点拨】根据不等式性质逐个判断即可．【解题过程】解：①若a＞b，则﹣2a＜﹣2b＜﹣2b+1，故①正确；②若a＞b＞0，则a2＞b2，故②正确；③若a＞b，则1a＜1b不正确，比如a＝1，b＝﹣1时，④若ac2≤bc2，则a＜b不正确，只有c≠0时才成立，故④不正确；⑤若a＞b，因c2+1＞0，所以ac2+1故答案为：①②⑤．10．（2021春•大埔县期末）下列结论正确的有（填序号）．①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么ab＞1；③如果a＞b，那么1a＜1b；④如果【思路点拨】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．【解题过程】解：①∵c＜d，∴﹣c＞﹣d，∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣d，故①正确．②当b＜0时，ab故②错．③若a＝2，b＝﹣1，满足a＞b，但1a故③错．④∵ac∴c2＞0，∴a＜b，故④正确．故答案为：①④．11．（2021秋•姑苏区校级期末）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x＜1a-1，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是【思路点拨】根据题目的已知可得a﹣1＜0，然后再化简每一个绝对值进行计算即可．【解题过程】解：由题意得：a﹣1＜0，∴a＜1，∴1﹣a＞0，a﹣2＜0，∴|1﹣a|﹣|a﹣2|＝1﹣a﹣（2﹣a）＝1﹣a﹣2+a＝﹣1，故答案为：﹣1．12．（2021秋•余杭区月考）比较大小，用“＞”或“＜”填空：（1）若x＜y，且（a﹣b）x＞（a﹣b）y，则ab．（2）若a，b为实数，则4+3a2﹣2b+b23a2﹣2b+1．【思路点拨】（1）由不等式的性质可得a﹣b＜0，即可求解；（2）可将两代数式利用作差比较求解即可．【解题过程】解：（1）∵x＜y，且（a﹣b）x＞（a﹣b）y，∴a﹣b＜0，∴a＜b，故答案为＜；（2）4+3a2﹣2b+b2﹣（3a2﹣2b+1）＝4+3a2﹣2b+b2﹣3a2+2b﹣1＝b2+3＞0，∴4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1．故答案为＞．13．（2020•浙江自主招生）若a，b，c，d为整数，且a＜3b，b＜5c，c＜7d，d＜30，则a的最大值为．【思路点拨】根据已知可知当b，c，d取得最大值时，a才能取得最大值，根据d＜30可得d的最大值是29，依次即可求得c，b，a的最大值．【解题过程】解：∵d＜30，a，b，c，d为整数，∴当d的最大值是29；当d＝29时，c＜203；则c的最大值是202．当c＝202时，b＜5c＝1010．则b的最大值是1009，当b＝1009时，a＜3b＝3027，则a的最大值是3026．故答案为：3026．14．（2021春•鼓楼区校级期中）已知实数a，b，c，满足a+b＝8，c﹣a＝10．若a≥﹣2b，则a+b+c的最大值为．【思路点拨】由c﹣a＝10得c＝a+10，与a+b＝8相加得a+b+c＝a+18，由a+b＝8及a≥﹣2b，可得a的最大值为16，从而得出a+b+c的最大值．【解题过程】解：由c﹣a＝10得c＝a+10，由a+b＝8得a+b+c＝a+18，∵a+b＝8及a≥﹣2b，∴a≤16，∴a的最大值为16，∴a+b+c的最大值＝18+16＝34．故答案为：34．15．（2020•丹阳市模拟）已知：6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，则a﹣3b+c的最小值为．【思路点拨】首先根据6a＝3b+12＝2c，分别用b表示出a、c；然后根据b≥0，c≤9，求出a﹣3b+c的最小值为多少即可．【解题过程】解：∵6a＝3b+12＝2c，∴a＝0.5b+2，c＝1.5b+6，∴a﹣3b+c＝（0.5b+2）﹣3b+（1.5b+6）＝﹣b+8∵b≥0，c≤9，∴3b+12≤18，∴b≤2，∴﹣b+8≥﹣2+8＝6，∴a﹣3b+c的最小值是6．故答案为：6．16．用适当的符号表示下列关系：（1）x的13与x的2（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%；（5）小明的身体不比小刚轻．【思路点拨】（1）非正数用“≤”表示；（2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示；（3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；（5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示．【解题过程】解：（1）13x+2x≤0（2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有r≥300；（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a+4b≤268；（4）用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%；（5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有a≥b．17．（2021春•漳平市月考）根据不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）x+7＞9；（2）6x＜5x﹣3；（3）15（4）-2【思路点拨】（1）根据不等式的性质（不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变）解决此题．（2）根据不等式的性质（不等式两边同时减去同一个数或式子，不等号方向不变）解决此题．（3）根据不等式的性质（不等式两边同乘一个正数，不等号方向不变）解决此题．（4）根据不等式的性质（不等式两边同时乘或除一个正数，不等号方向不变；不等式两边同乘或除一个负数，不等号方向改变）解决此题．【解题过程】解：（1）∵x+7＞9，∴x＞2．（2）∵6x＜5x﹣3，∴6x﹣5x＜﹣3．∴x＜﹣3．（3）∵15∴15∴x＜2．（4）∵-2∴﹣2x＞﹣3．∴x＜318．（2021春•万柏林区校级月考）利用不等式的性质，解答下列问题．（1）①如果a﹣b＜0，那么ab；②如果a﹣b＝0，那么ab；③如果a﹣b＞0，那么ab；（2）比较2a与a的大小．（3）若a＞b，c＞d．①比较a+c与b+d的大小；②比较a﹣d与b﹣c的大小．【思路点拨】（1）分别根据不等式的性质解答即可；（2）分a＞0，a＝0，a＜0三种情况讨论；（3）根据不等式的性质解答即可．【解题过程】解：（1）①如果a﹣b＜0，那么a＜b；②如果a﹣b＝0，那么a＝b；③如果a﹣b＞0，那么a＞b；故答案为：＜；＝；＞；（2）当a＝0时，2a＝a；a＞0时，a+a＞a+0，即2a＞a；a＜0时，a+a＜a+0，即2a＜a；（3）①∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d；②∵a＞b，c＞d，∴a﹣d＞b﹣c．19．（2021春•饶平县校级期末）已知4x﹣y＝6，x-12y＜2，求【思路点拨】由已知条件得到y＝4x﹣6，则将x-12y＜2转化为关于x的不等式x-12（4x﹣【解题过程】解：∵4x﹣y＝6，∴y＝4x﹣6，∵x-12y＜∴x-12（4x﹣6）＜解得：x＞1，即x的取值范围是x＞1．20．（2020•浙江自主招生）实数a，