【中考数学考点专项突破课件】-4. 第二章 四、一元二次方程及其应用

01考点解读020304考点梳理真题剖析实战提分第二章方程（组）与不等式（组）四、一元二次方程及其应用01考点解读02考点梳理

（一）一元二次方程1.概念：等号两边都是整式，只含有

个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.2.一般形式：

（a≠0）

ax2+bx+c=03.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.一（二）一元二次方程的解法1.基本思想：解一元二次方程的基本思想是

,即把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.(2)公式法：把方程化成一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中

判别式Δ=b2-4ac.当Δ≥0时，其实数根可写为x=

.2.方法(1)配方法：把方程化成x2=p或(x+n)2=p的形式，若p≥0，可得x=

或x=

.(3)因式分解法：①将方程右边化为

；②左边进行因式分解，化为两个一次式的

的形式；③使这两个一次式分别等于

，从而实现降次，解这两个一元一次方程.转化思想

0乘积

0(三)判别式Δ=b2-4ac与一元二次方程的根的关系1.Δ=b2-4ac>0⇔

有

个不等的实数根；2.Δ=b2-4ac=0⇔

有

个相等的实数根；3.Δ=b2-4ac<0⇔

实数根.两两没有

(五)一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题的一般步骤是:①审题；②找等量关系；③设

；④列出

；⑤解

并验证；⑥作答.

(四)一元二次方程根与系数的关系

若x1，x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的两个根，则x1+x2=

，x1

x2=

.未知数方程方程03真题剖析

【例1】（2020•黑龙江）已知2+是关于x的一元二次方程x2-4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（）．（A）0（B）1（C）-3（D）-1

【点拨与解答】本题考查一元二次方程的根的概念．把方程的一个根x=2+代入方程x2-4x+m＝0，得（2+）2-

4×（2+）+m＝0，解得m=1，故选B.B【变式1】（2020•贵州毕节）关于x的一元二次方程（k+2）x2+6x+k2+k-2=0有一个根是0，则k的值是

．1【例2】（2018•广西梧州）解方程：2x2-4x-30=0．

【点拨与解答】本题考查一元二次方程的解法．解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法，并能根据方程的结构特征选择适当的方法求解，本题较适合采用因式分解法求解．解：∵2x2-4x-30=0，∴x2-2x-15=0，

∴（x-5）（x+3）=0，∴x1=5，x2=-3．（2020•江苏无锡）解方程：x2＋x-1=0．

【例3】（2017•广西河池）若关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）．（A）-1（B）1（C）-4（D）4

【点拨与解答】本题考查一元二次方程的根的判别式．由题意知方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根，则Δ=0，即Δ=22-4×1×（-a）=4+4a=0，解得a=-1．故选A．【变式3】（2020•内蒙古通辽）关于x的方程kx2-6x+9=0有实数根，k的取值范围是（）．（A）k＜1且k≠0（B）k＜1（C）k≤1且k≠0（D）k≤1AD

【例4】（2019•广西贵港）若α，β是关于x的一元二次方程的两实根，且，则m等于（）．（A）-2（B）-3（C）2（D）3

【点拨与解答】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．由题意知α，β是方程x2-2x+m=0的两个实数根，由根与系数的关系，得α+β=2，αβ=m．化简得．再把α+β=2，αβ=m代入，得．解得m=-3．故选B．B【变式4】（2020•贵州遵义）已知x1，x2是方程x2-3x-2＝0的两根，则的值为（）．（A）5（B）10（C）11（D）13D

【例5】（2017•广西来宾）某文具店二月销售签字笔40支，三月、四月销售量连续增长，四月销售量为90支，求月平均增长率．设月平均增长率为x，则由已知条件列出的方程是（）．（A）40（1+x2）=90（B）40（1+2x）=90（C）40（1+x）2=90（D）90（1-x）2=40

【点拨与解答】本题考查通过列一元二次方程来解决实际问题．本题属于平均增长率的问题．解平均增长率问题的基本关系式是a(1±x)n=b，其中a是基数，n是增减的次数，x是百分率，b是n次变化后的最终数值．因为增减的百分率是0＜x＜1，故解答此类问题时，最后应注意对求得的两个解进行取舍．设月平均增长率为x，则该文具店四月份销售铅笔的支数是：40（1+x）2，则40（1+x）2=90．故选C．C【变式5】(2018·广西北部湾六市同城)某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率.设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为().(A)80(1+x)2=100(B)100(1-x)2=80(C)80(1+2x)=100(D)80(1+x2)=100AB

【错解】

C【错因】

运用配方法前，对于二次项系数不是1的方程，一般先将二次项系数化为1，根据等式的性质，在方程两边除以二次项系数，才能保证所得结果仍是等式；而在选项C中，只给方程左边的二次项除以2，没有把其他项也除以2，就会导致所得结果不是等式，改变了原方程，从而出现错解.A04实战提分1．（2020•辽宁营口）一元二次方程x2-5x+6＝0的解为（）．

（A）x1=2，x2=-3（B）x1=-2，x2=3（C）x1=-2，x2=-3（D）x1=2，x2=3D2.（2019·山西）一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为（

）.（A）(x+2)2=3（B）(x+2)2=5（C）(x-2)2=3（D）(x-2)2=5DACCA

【思路点拨】先找出方程的a，b，c，再计算判别式的值，然后根据判别式与0的大小确定方程根的情况.

【思路点拨】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是根据图形得到面积的相等关系。D6k＜-1

【思路点拨】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得Δ＞0，解不等式即可求出k的取值范围；（2）由根与系数的关系可得a+b=-2，ab=-k，再代入整理后的代数式，计算即可.AAD

【思路点拨】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质.题目没有说明4是腰长还是底边长，所以要分类讨论:①当4为腰长时，m=4或者n=4.即x=4.将x=4代入一元二次方程可求出k的值；②当4为底边长时，则m=n.利用等腰三角形的性质可得出根的判别式

Δ=0，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得两腰之和为6，将其与4比较后可知该结果符合题意.B1

x(x+12)=864

【思路点拨】本题考查了