第8讲：数学思想方法之数形结合思想探讨公开课

【高考数学专题讲座】

第8讲：数学思想方法之数形结合思想探讨

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者

的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法常见的数学思想有：建

模思想、归纳思想，分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。

中学基础数学的基本知识分三类：一是数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数

等；二是形的知识，如平面几何、立体几何等；三是数形结合的知识，主要体现是解析几何。

数形结合思想，就是把问题的数量关系和图形结合起来的思想方法，根据解决问题的需要，可

以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究（以形助数），即以形作为手段，数为目的，比如

应用函数的图像来直观地说明函数的性质：或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究（以数

辅形），即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合思想，

不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思想方法，在高考中经常考查。

数与形转换的三条途径：（1）建系：通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解；（2）

转化：通过分析数与式的结构特点，把问题转化到形的角度来考虑，如将后年转化为勾股定理或

平面上两点间的距离等；（3）构造：通过对数（式）与形特点的分析，联想相关知识构造图形或函数等，

比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。

数形结合的三种主要解题方式：（1）数转化为形，即根据所给出的“数”的特点，构造符合条

件的几何图形，用几何方法去解决；（2）形转化为数，即根据题目特点，用代数方法去研究几何问

题；（3））数形结合，即用数研究形，用形研究数，相互结合，使问题变得简捷、直观、明了。

运用数形结合思想分析解决问题要遵循的三个原则：（1）等价性原则：要注意由于所作的草图

不能精确刻画数量关系带来的负面效应；（2）双向性原则：即进行几何直观分析，又要进行相应的

代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易失真；（3）简单性原则：不要为了“数形结合”而

数形结合，而取决于是否有效、简便和更易达到解决问题的目的。

运用数形结合思想分析解决问题时的三点注意事项：（1）要熟记常见函数或曲线的形状和位置，

画图要比较准确，明白一些概念和运算的儿何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既

分析其几何意义又分析其代数意义；（2）要恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好

数形转化；（3）要正确确定参数的取值范围。

结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面七方面探讨数形结合思想的应用：（1）数形结合思想

在集合问题中的应用；（2）数形结合思想在函数问题中的应用；（3）数形结合思想在圆锥曲线问题中的

应用；（4）数形结合思想在方程与不等式问题中的应用；（5）数形结合思想在三角函数问题中的应用；

（6）数形结合思想在平面向量问题中的应用；（7）数形结合思想在立体几何问题中的应用。

一、数形结合思想在集合问题中的应用：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合

的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

典型例题：

例1.（2012年全国大纲卷文5分）已知集合4={x|x是平行四边形},B={x\x是矩形},C={x\

x是正方形},D{xIx是菱形},则【】

A.AjBB.CqBC.DeCD.AcD

【答案】Bo

【考点】集合的概念，集合的包含关系。

【解析】平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系如图，由图知A是大的集合，C是最小的集合，因此，

选项A、C、、D错误，选项B正确。故选B。

正方形

例2.（2012年上海市文4分）若集合A={x|2x-l>0},8=卜卜|<1},则。01久=▲

【答案】（g,1）。

【考点】集合的概念和性质的运用，一元一次不等式和绝对值不等式的解法。

2x—1>0x>_1(\A

【解析】由题意，得<।2=>-<x<l,：.ADB--,1b

N<1_______2UJ

-101/21

例3.(2012年山东省文5分)函数f(x)=--—+<4-x2的定义域为【】

ln(x+l)

A[-2,0)U(0,2]B(-1,0)U(0,2]C[-2,2].D(-1,2]

【答案】Bo

【考点】函数的定义域。分式、对数、二次根式有意义的条件。

ln(x+l)^0[XHO

【解析】根据分式、对数、二次根式有意义的条件，得，x+l>0,解得<x>-1

4-x2>0[-2<x<2

/.函数f(x)=—!一+V4-X2的定义域为(-l,0)U(0,2]。故选Bo

ln(x+l)

例4.(2012年重庆市理5分)设平面点集A=](x,y)(y-x)(y--)>0>,B={(x,y)|(x-l)2+(y-l)2<l),

则所表示的平面图形的面积为【】

、3347t

(A)-n(B)-7t(C)-7T(D)—

4572

【答案】Do

【考点】线性规划中可行域的画法，双曲线和圆的对称性。

y-x>0y-x<0

【分析】(y-x)(y-L)20,

1或<

Xy——>0y--<0

xx

又：(x-l)2+(j-l)2<1,

满足上述条件的区域为如图所示的圆内部分I和山。

y=工,(x-1)2+(y-1)2=1的图象都关于直线产X对称,

X

・•・【和IV区域的面积相等，II和IH区域的面积相等，即圆内部分I和HI的面积之和为单位圆面积

的一半，为工。故选D。

2

二、数形结合思想在函数问题中的应用：函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了

数形结合的特征与方法。特别地，数列是--种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关

于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关

问题转化为函数的有关问题来解决。

典型例题：

例1.(2012年山东省理5分)设a>。a^l,贝广函数f(x)=a*在R上是减函数”，是“函数

g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的1]

A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件

【答案】Ao

【考点】充分必要条件的判断，指数函数和基函数的性质。

【解析】Vp："函数f(x)=ax在R上是减函数”等价于0<a<l,

q：“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”等价于2—a>0且awl,即0<a<2且axl,

；.p是q成立的充分不必要条件“故选A。

例2.(2012年北京市理5分)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2X-2,若同时满足条件：

①VxeR,f(x)V0或g(x)V0,@3xe(-oo,-4),f(x)g(x)<0,

则m的取值范围是▲

【答案】(-4,-2)。

【考点】简易逻辑，函数的性质。

【解析】由g(x)=2X-2<0得x<l。

;条件①VxeR,f(x)V0或g(x)V0,••.当xNl时,f(x)<0»

当m=0时,f(x)=0,不能做到f(x)在xNl时,f(x)<0,所以舍去。

作为二次函数开口只能向下，二!!!*：。，且此时两个根为X1=2m,x2=-m-3o

(八fm<0

m<0

为保证条件①成立，必须<X]=2mvl=^><m<—=>-4cm<0。

2

x=-m-3<l、

—2[m>-4A

又由条件②态£(-8,-4),f(x)-g(x)<0的限制，可分析得出X£(-00,-4)时，f(x)恒负。

・・・就需要在这个范围内有得正数的可能，即一4应该比X],X2两根中小的那个大。

由2m=-m-3得m=-l,

.•.当0)时，—m—3<T,解得交集为空集，舍去。

当m=-l时，两根同为一2>—4,舍去。

当me(-4,-1)时，2m<Tnm<-2。

综上所述，me(-4,-2)。

例3.(2012年全国大纲卷理5分)已知函数y=/-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点，贝ijc=[]

A.-2或2B.一9或3C.-1或1D.-3或1

【答案】A

【考点】导数的应用。

【解析】若函数图像与x轴有两个不同的交点，则需要满足其中一个为零即

可。因为三次函数的图像与x轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可知

只有在极大值点或者极小值点有一点在X轴时满足要求(如图所示)。

32

y-x-3x+cfy'-3x-3=3(x+。

.•.当m±l时，函数取得极值。

由y*=]=0或4=1=0可得c-2=0或c+2=O,BPc=+2»故选A。

例4.(2012年全国课标卷理5分)设点P在曲线>=:产上，点。在曲线y=ln(2x)上，贝最小值

为【】

(A)l-ln2(B)V2(l-ln2)(C)l+ln2(D)72(1+In2)

【答案】B。

【考点】反函数的性质，导数的应用。

【解析】♦.•函数y=与函数y=ln(2x)互为反函数，.•.它们的图象关于y=x对称。

函数y=g/上的点P(x,；/)到直线y=x的距离为4

设函数g(x)=；e,—X，则g'(x)=；e'—l，•••g(x)min=lTn2。

...由图象关.于y=x对称得：|PQ|最小值为24加=0(1—In2)。故选3。

例5.(2012年北京市理5分)某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,

前m年的年平均产量最高。m值为【】

A.5B.7C.9D.11

S(")・

01234567891011”

【答案】C«

【考点】直线斜率的几何意义。

【解析】据图像识别看出变化趋势，利用变化速度可以用导数

来解，但图像不连续，所以只能是广义上的。实际上，前n

年的年平均产量就是前n年的总产量S与n的商：㈣，在

n

图象上体现为这一点的纵坐标与横坐标之比。

因此，要使前m年的年平均产量最高就是要这一点的

纵坐标与横坐标之比最大，即这一点与坐标原点连线的倾斜角最大。图中可见。当n=9时，倾斜角最大。

从而m值为9。故选C。

例6.(2012年天津市理5分)函数/4)=2'+1-2在区间(0,1)内的零点个数是【】

(A)0(B)1(02(D)3

【答案】Bo

【考点】函数的零点的概念，函数的单调性，导数的应用。

【分析】♦.•/。)=2〃〃2+3/>0,函数/(幻=2、+/一2在定义域内单调递增。

又：/(0)=2°+03-2=-1<0,/(1)=2'+13-2=1>0»

函数/。)=2"+/一2在区间(0,1)内有唯一的零点。故选B。

例7.(2012年山东省理5分)设函数f(x)=Jg(x)=ax2+bx(a,beR,a*0),若y=f(x)的图像与

y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A(xi，yi),B(X2，y2),则下列判断正确的是【】

A.当a<0时，xi+x2<0,y)+y2>0B.当a<0时，xi+x2>0,yi+y2<0

C.当a>0时，xi+x2<0,yi+y2<0D.当a>0时，xi+x2>0,yi+y2>0

【答案】Bo

【考点】导数的应用。

【解析】令工=ax?+bx,贝ij1=ax^+bx?(xw())。

x

设F(x)=ax3+bx2,F(x)=3ax2+2bx。

)2b

^FXx)=3ax2+2bx=0,则x=-3

3a

要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点必须：

F(—)=a(-—)3+b(-—)2=1,整理得4b3=27a2。

3a3a3a

取值讨论：可取a=±2,b=3来研究。

当a=2,b=3时,2x^+3x?=1,解得二—1,x?=g，此时=—1,y2=2,止匕时

X]+x2<0,y1+y2>0；

当a=—2b=3时，—2x3+3x2=1,解得二1,x2=—；，此时=1,y2=—2,此时

X)+x2>0,y]+y2<0o故选B。

例8.(2012年重庆市理5分)设函数/(x)在R上可导，其导函数为/(x),且函数y=(l—x)/(x)的图

像如题图所示，则下列结论中一定成立的是【】

(A)函数/(x)有极大值/⑵和极小值/(I)

(B)函数/(幻有极大值/(—2)和极小值/⑴

(C)函数/(%)有极大值/(2)和极小值/(-2)

(D)函数/(x)有极大值/(—2)和极小值/(2)

【答案】D。

【考点】函数在某点取得极值的条件，函数的图象。

【分析】由图象知，)，=(1—x)/(x)与x轴有三个交点，一2,1,2,2)=0,了(2)=0。

由此得到x,y,l-x,/(X)和/(x)在(YO,+8)上的情况:

Xy,-2)-2(-2,1)1(1,2)2(2,4W)

y+0—0+0—

1-X+++0———

——

/(x)+0——0+

/(X)/极大值非极值极小值/

:./(x)的极大值为/(-2),/(x)的极小值为/(2)。故选Do

例9.(2012年天津市理5分)已知函数)=应槿的图象与函数>=履-2的图象恰有两个交点，则实数上

x-1

的取值范围是▲.

【答案】(0』)U(l,4)。

【考点】函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点。

【分析】函数y

x-ix-1

3-

当1时，y=

x-1II

p-1,,

7=++1仁<X<1

当x<1时，y=

l,x<-1

综上函数交上x+Lx>1

<一x—1,—iKxvlo

x—\

x+<-1

作出函数的图象，要使函数y与y=Zx有两个不同的交点，则直线y=Zx必须在蓝色或黄色区

域内，如图，此时当直线经过黄色区域时3(1,2),攵满足lv%<2,当经过蓝色区域时，攵满足

综上实数k的取值范围是(0,1)U(l,4)o

1

［a—ah,a<bf

例10.(2012年福建省理4分)对于实数a和b,定义运算“*”：=设

\bCID9cib.

/(x)=(2x-l)*(x-l),且关于X的方程/(%)=皿"ZWR)恰有三个互不相等的实数根X1，X2fX3，则X1X2X3

的取值范围是▲.

【答案】罟，0)。

【考点】新定义，分段函数的图象和性质，分类讨论和数形结合思想的应用。

(2x—1)~—(2x—1),(x—1)>(2x-l)<(x-l)

【解析】根据新运算符号得到函数为〃x)=(2r-l)*(x-l)=<

(X-1)2-(2X-1)«(X-1),(2x-l)>(x-l)

化简得：/(x)=p^X，x<0

-x+x,x>0

9y2_X<O

,,一和'=m的

|一%~+x,x>0

图象,

如果=m有三个不同的实数解，即直线y=m

与函数/U)的图象有三个交点，如图，

(1)当直线y=机过抛物线y=*+x的顶点或y=〃?=O时，有两个交点;

(2)当直线y=〃z中(根<0)时，有一个交点：

(3)当直线y=m中0<加<，时，有三个交点。

设三个交点分别为：xi，及，X3,且依次是从小到大的顺序排列，所以为即为方程2A2—小于

八时加A7JZB1一巾..q1g、j］一小11］一小

0的解，解得X］=-此时X2=X3=］，所以刈无2%3=-4-X2X2=~16°

y=zn与函数7U)有2个交点的最低位置是当y=m与x轴重合时，此时为也比3=0。

所以当方程/(X)=〃2(加eR)有三个不等实根时，XVX2-X3£,0o

X

例11.(2012年全国课标卷文5分)当0<x《g时，4<logax,则a的取值范围是【

(A)(0,乎)(B)(坐,1)(C)(1,也)(D)枢2)

【答案】B。

【考点】指数函数和对数函数的性质。

【解析】设f(x)=4x,g(x)=k)gax,作图。

X

•.•当0<x《g时，4<logax,

.•.在0<x《g时，g(x)=logaX的图象在f(x)=4x的图象上方。

根据对数函数的性质，a<l。.•.gGTbgaX单调递减。

X

.•.由x=；时，4=logaxW-42=loga,解得a=^^。

要使0<x《g时，4*<logaX,必须a>-^-。

.'.a的取值范围是(半，1)。故选B。

例12.(2012年北京市文5分)函数f(x)=x2_1；］的零点个数为【

A.OB.lC.2D.3

【答案】B。

【考点】基函数和指数函数的图象。

【解析】函数f(x)=x，—的零点个数就是O—(；J=0(即

x一口')解的个数，即函数g(x)=x2和h(x)=(；］的交点个

数。如图，作出图象，即可得到二者交点是1个。所以函数f(x)=x5-(g)的零点个数为1。故选B。

例13.(2012年湖南省文5分)设定义在R上的函数/(x)是最小正周期为2万的偶函数，:(x)是7(x)

jrjr

的导函数，当xw［O,句时，0</(x)<l；当XG(O,乃)且上时,(X—生)r(x)>0,则函数

y=/(x)-sinx在［-2%,2万］上的零点个数为【】

A.2B.4C.5D.8

【答案】B。

【考点】函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题。

JTJT

【解析】由当X£(0,〃)且XW5■时，(1一5)/'(%)>0，知I

jrA/jr

xe0,万J时,/'(x)<0,/(x)为减函数；xely,万时,/'(x)>0,/(x)为增函数。

又xe［0,〃］时，0<#x)Vl,在R上的函数/(x)是最小正周期为2/r的偶函数，在同一坐标系中

作出y=sinx和y=/(x)草图像如下，由图知y=/(x)-sinx在［-2万，2乃］上的零点个数为4个。

例14.(2012年福建省文5分)已知_/(x)=x3—6x2+9;v—a6c,a<6<c,且,/(a)=/(6)=/(c)=0.现给出如下

结论：①A。次i)>o；②穴。求D<o；③穴。加3)>o；④/(oy(3)<o.

其中正确结论的序号是【】

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】Co

【考点】函数的零点和单调性。

【解析】对函数求导得：/(x)=3f—12x+9,

令/(x)=0，解得制=1,尤2=3。

当x<l时，函数./U)单调递增：当1令<3时，函数单调递减；当

x>3时，函数加0单调递增。

因为“<人<£■,且几7)=_/(/>)=/(。)=0,所以函数加0与X轴的交点坐标从左到右依次为“A。

根据火6)=0得犬6)=3-6"+泌一”儿=加(6—3)2一仇］=0,因为原0,所以S-3)2-ac=0。

又因为c>0,且方程有解，故a>0,所以a>0,l<6<3,c>3。

画出函数九r)的图象，如图所示.显然大0)<0,/(1)>0,m)<0,

所以#))①)<0,X0)-A3)>0o所以②③正确。故选C。

例15.(2012年重庆市文5分)设函数/(x)在R上可导，其导函数广(尤)，且函数/(x)在x=-2处取

得极小值，则函数y=4'(x)的图象可能是【】

【答案】Co

【考点】函数的图象，函数单调性与导数的关系。

【分析】由函数/(x)在％=-2处取得极小值可知，

当尸一2时，,f'(x)=0,则4'(x)=0,函数y=4'(x)的图象与x轴相交；

当尸一2左侧附近时，/'(x)<0,贝iJ?'(x)>0,函数y=4'(x)的图象在x轴上方;

当x=—2右侧附近时，/'(x)>0,则4'(x)<0,函数y=4'(x)的图象在x轴下方。

对照选项可知只有C符合题意。故选C。

例16.(2012年陕西省理5分)下图是抛物线形拱桥，当水面在/时,拱顶离水面2米，水面宽4米，水

位下降1米后，水面宽▲米.

[JiJ一]■

等d.L.1Jy111J

【答案】2底。

【考点】抛物线的应用。

【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为》2=机乃

仅

当水面在/时，拱顶离水面2米，水面宽4米，

抛物线过点(2,-2,).

代入x2=my得，22-m(-2),即加=-2。

抛物线方程为x2=-2y.

.,.当y=-3时，x=?G,.,.水位下降1米后，水面宽2标米。

三、数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用：解析几何的基本思想就是数形结合，在圆锥曲

线解题中将数形结合的数学思想运用于对点、线的性质及其相互关系的研究，借助于图象研究曲线的性质

是一种常用的方法。

典型例题：

例1.(2012年全国大纲卷理5分)已知耳且为双曲线C:y—>2=2的左右焦点，点p在。上，

\PF}\=2\PF2\,则cos/6PB=[]

A.-B.-C.-D.-

4545

【答案】Co

【考点】双曲线的定义和性质的运用，余弦定理的运用。

【解析】首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。

22______

由X?—J=2=>————=1可知La=b=V2,I.c=Ja?+房=2。

22

.・・片约二4。

设|尸闯=设|尸周=2"则|P周一|尸闯“。

・・・根据双曲线的定义，得|P用-归周=2=2〃=2夜。

，归周二2啦，归周二4夜。

222

在人/与三中，应用用余弦定理得cosN耳尸鸟=P、；二32；二的=%故选C。

例2.(2012年全国课标卷理5分)设6K是椭圆后：£+，=1(。>。〉0)的左、右焦点，P为直线x=+

上一点，A%PG是底角为30。的等腰三角形，则E的离心率为【】

1234

(A)-(B)-(C)-(D)-

2345

【答案】C。

【考点】椭圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义。

【解析】•.•耳巴是椭圆E：「+4=l(a>b>0)的左、右焦点，

ab

|居司=2c。

VAF?PF1是底角为30°的等腰三角形，

・・・/桃。=6。°。

•.•「为直线》=称上一点，.」6。|=|0。|—|0鸟|=5。一。。*玛卜黑^((…)。

33

又瑞耳|=|P周，即2c=2(0a—c)。，6=巴c=丘。故选C。

例3.(2012年北京市理5分)在直角坐标系xOy中.直线1过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交

于A、B两点，其中点A在x轴上方。若直线1的倾斜角为60。，则aOAF的面积为▲

【答案】百。

【考点】抛物线的性质，待定系数法求直线方程，直线和抛物线的交点。

【解析】根据抛物线的性质，得抛物线y2=4x的焦点F(1,0)。

；直线I的倾斜角为60%直线I的斜率k=tan60°=&。

由点斜式公式得直线I的方程为y=6(x-l)。

1

y2=4x|x|=3X2-3

y=V3(x-l)y]=2>/3_20

丫2

•.•点A在x轴上方，A(3,2⑹。

/.△OAF的面积为工xlx2x/5=6。

2

22

例4.(2012年四川省理4分)椭圆土+&=1的左焦点为尸，直线x=m与椭圆相交于点A、8,当AFAB

43

的周长最大时，的面积是▲。

【答案】3。

【考点】椭圆的性质。

【解析】画出图象，结合图象得到AE45的周长最大时对应的直线所在位置.即可求出结论.

如图，设椭圆的右焦点为反

由椭圆的定义得：

AM3的周长：

AB+AF+BF=AB+(.2a-AE^+(2a-BE)

=4zz+AB—AE—BE0

VAE+BE>AB.：.AB-AE-BE<0,当AB过点E时取等号。

AB^-AF-^BF=4a+AB-AE-BE<4a.

即直线x="?过椭圆的右焦点E时相45的周长最大，此时AE43的高为：EF=2,直线

x=m=c=lo

把x=l代入椭圆上+上=1得)；=±3。.，.AB=3。

432

...当AE43的周长最大时，AE43的面积是LX3XEF=LX3X2=3。

22

例5.(2012年全国课标卷理12分)设抛物线。：/=2刀(°>0)的焦点为产，准.线为/,AwC,.已

知以F为圆心，E4为半径的圆F交/于8,0两点;

(1)若N8ED=90°,413。的面积为4立；求p的值及圆尸的方程;

(2)若A,3,F三点在同一直线加上，直线〃与加平行，且“与。只有一个公共点，求坐标原点到

距离的比值。

【答案】解：(1)由对称性知：ABFD是等腰直角三角形，斜边

\BD\=2p.点A到准线/的距离d=|E4|=|EB|=五〃。

*.*5Mg°=4V2,gx忸qxd=4V2。

/.p=2。

F(0,1),\FB\=242.

:,圆尸的方程为f+(y—Ip=8。

(2)由对称性设4%,$)(%>0)，则F(0,£)

「A,8,尸三点在同一直线加上,

.••点A,B关于点尸对称，得：p—五=一“，即片=3p2

2P2p2

红r

,直线m:y=22x+K,整理得％—6y+包=0。

\/3p22

直线"2的斜率为@

3

又•.•直线〃与“平行，直线〃的斜率为立

3

v.2X

由％2=2/?＞得/=——,y'

2Pp

•.•直线〃与。只有一个公共点，.•.令了=土=等，得x=#p。.•.切点P（粤

也），整理得X—Ky—巫〃=0

.•.直线〃：y-K

636

/.坐标原点到m,〃距离的比值为也:皿=3。

26

【考点】抛物线和圆的性质，两直线平行的性质，点到直线的距离，导数和切线方程。

【解析】（1）由已知=90°,A43O的面积为4夜，根据抛物线和圆的性质可求得〃=2以及

F（0,1）,\FB\=2>/2,从而得到圆F的方程。

（2）设4天,>0）,根据对称性得8（一%,p-虐），由5在准.线/上得到片=3p2,从

而求得A,B的坐标（用〃表示），从而得到直线机的方程和斜率。由直线〃与加平行和直线〃与C只有

一个公共点，应用导数可求出直线〃的方程。因此求出坐标原点到小，〃距离的比值。

例6.(2012年北京市理14分)已知曲线C：(5-m)x2+(m-2)y2=：8(meR)

（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；

（2）设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同

的两点M、N,直线y=l与直线BM交于点G。求证：A,G,N三点共线。

x2v2

【答案】原曲线方程可化为：-^—+-^—=1.

OO

5—mm—2

・・・曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，

88

----->------

5—mm—2

士>0曰7匚

fzti—vm<5o

5—m2

上>。

m—2

.•・若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，则m的取值范围为」7＜m＜5。

2

证明：：m=4,...曲线c的方程为x?+2y2=8。

将已知直线代入椭圆方程化简得：

（2k2+l）x2+16kx+24=0,

由A=（16kf-4-（2k2+1）•24=32（2k2-3）＞0W.

由韦达定理得：x+x=--------，x-x=--——。

MN2k2+1MN2k2+1

设M（XM，kxM+4）,N（XN,kxN+4）,G（XG,1）（,

贝IJMB的方程为y=^M上-2,3XM

AG,1o

XM&XM+6

kx-i--9

AN的方程为y=、十/x+2。

XN

欲证A,G,N三点共线，只需证点G在直线AN上•

kx+2

将3XM,]]代入^1=N.3XM

kx6

lM+；XNXNkxM+6

HP-kxMxN-6xN=3kxM-xN+6xM,即4kxM,xN+6（xM+xN）=0,

24T^-]=o,等式恒成立。

即4+6-

2k2+12k2+1J

3X

由于以上各步是可逆的，从而点GM,1在直线AN上。

（1«M+6）

AA,G,N三点共线。

【考点】椭圆的性质，韦达定理的应用，求直线方程，三点共线的证明。

【解析】(1)根据椭圆长轴大于短轴和长、短轴大于0得不等式组求解即得m的取值范围。

(2)欲证A,G,N三点共线，只需证点G在直线AN上。故需求出含待定系数的直线MB和AN

的方程，点G的坐标，结合韦达定理的应用用逆推证明。也可通过证明直线MB和AN在y=l时横坐标相

等来证A,G,N三点共线或直线AN和AG斜率相等。还可用向量求解。

23y2

例7.(2012年广东省理14分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Ci：r%+二=1(。＞人＞。)的离心

ah~

率e=g,且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)在椭圆。上，是否存在点M(机，n)使得直线/：/nr+ny=l与圆O：f+产=1相交于不同的两点人、

B,且△QA3的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△Q43的面积；若不存在，请说明理由。

【答案】解：(1)•:e=S=R="，:.可设a=6k,c=6k(k＞0)。

aV3V3

h=-c2=k,故椭圆C的方程为=1o

设P(x,y)(-b#y力为椭圆上的任一点，则3/-3y2。

■：\PQ\2=x2+(y-2)2=-2y2-4y+4+3〃=-2(y++3户+6?3b2