二项式定理-（2018-2022）高考真题汇编

二项式定理一（2018-2022）高考真题汇编

一、单选题（共4题；共20分）

1.（5分）（2022•北京）若（2%—1）4=+。3炉+，贝U劭+02+。4=

（）

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【解析】【解答】当X=1时，Qo+劭+即+。3+。4=1，当X=-1时，Qo-即+4一。3+

。4=81,两式相加得劭+与+。4=41.

故答案为：B

【分析】令％=1和％=-1,所得两式相加即可求解.

2

2.（5分）（2020•新课标团•理）（%+、）（％+y）5的展开式中x3y3的系数为（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】C

5srr

【解析】【解答】（x+y）展开式的通项公式为Tr+i=C^x~y（reN且r45）

所以（x+1）与（x+y）5展开式的乘积可表示为：

5rr6rr5rr4rr+2

xTr+1=xC^x-y=C^x~y或^-Tr+1=^CsX~y=Csx~y

6rr3333

在xTr+i=C^x~y中，令r=3,可得：xT4=C^xy,该项中xy的系数为10,

4rr+233

在^-Tr+1=Csx~y中，令r=l,可得：1乙=玛%3y3,该项中xy的系数为5

所以x3y3的系数为10+5=15

故答案为：C

【分析】求得（x+y）5展开式的通项公式为77+1=砥%5-?「（reN且rW5）,即可求得

（x+t）与（x+y）5展开式的乘积为C^x6~ryr或麾久4-?『+2形式，对r分别赋值为3,1即可求

得x3y3的系数，问题得解.

3.（5分）（2020•北京）在（返一2）5的展开式中，X2的系数为（）.

A.-5B.5C.-10D.10

【答案】C

【解析】【解答】一2『展开式的通项公式为：T+=怎a）5-「（_2）＞=（一2）%我竽，

令写=2可得：r=l,则久2的系数为：(一2)1嫌=(一2)x5=-10.

故答案为：C.

【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定X2的系数即可.

4.(5分)(2019•全国回卷理)(l+2x2)(l+x)4的展开式中x3的系数为()

A.12B.16C.20D.24

【答案】A

【解析】【解答】解：：(1+%)4的通项公式为77+1=以"，

二展开式中x3的系数为lx盘+2XQ=4+8=12,

故答案为：A.

4r

【分析】由已知利用(1+x)的通项公式为Tr+1=C^x,结合(1+2/)即可求出展开式中

的系数.

二、多选题(共1题；共5分)

krk

5.(5分)(2021•新高考回卷)设正整数n=%,2°+%•2+…+ak_x-2-+ak-2,其中a；e

[0,1},记w(n)=a。+%H-----F%.则()

A.eo(2n)=a)(ri)B.a)(2n+3)=a)(n)4-1

C.a)(Sn+5)=to(4n4-3)D.a)(2n—1)=n

【答案】A,C,D

12k

【解析】【解答】解：对于A,a)(ri)=劭+%++ak,2n=a0-24--2d-----Fak_x-2+

fc+1

ak•2,

则co(2n)=%+%+•••+ak=a)(n)f故A正确；

对于B,取n=2,2+3=7=b2°+b21+l-22,则o)(7)=3,

而2=0・2°+l・2i,则co(2尸1,即co(7)#2a)(2)+l,故B错误；

34k+3234k+3

对于C8n+5=ao-2+ai-2+......+ak-2+5=1-20+1-2+a()-2+ai-2+........+ak-2

所以3(8n+5)=2+ao+ai+.......+ak.

2k+2,2k+2

4n+3=ao-2+ai-23+.......+ak-2+3=b2°+b2+ao-2+ai-23+........+ak-2,

所以3(4n+3)=2+ao+ai+.......+ak,

所以①(8n+5)=①(4n+3),故C正确；

对于D,2n-l=2°+2,+.......+2叫

所以3(2n-l)=n,故D正确.

故答案为：ACD

【分析】利用s（n）的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.

三、填空题（共13题；共65分）

6.（5分）（2022•浙江）已知多项式（X+2）（X-1）4=a。+a+++a/"+,贝（］

0,2=,%+做+口3+=•

【答案】8；・2

【解析1【解答】（x+2）（x-I）4=x（x—I），+2（x—1）3

•♦~C*4（-1）^+2c久-1）2=8；

令x=0,则劭=2,

令X=1，贝ij。。+%+做+。3+。4+。5=0，

•♦+。2+。3+。4+。5=-2•

故答案为：8,-2.

【分析】a2相当于是用（x+2）中的一次项系数乘以A-1）4展开式中的一次项系数加上（x+2）中

的常数项乘以A-1）4展开式中的二次项系数之和；分别给x辅助令x=0,x=l,即可求得的+

。2+。3+。4+。5的值,

7.（5分）（2022・新高考图卷）（1一3（%+刃8的展开式中的系数为（用数字作答）.

【答案】-28

【解析】【解答】解：（x+y）8的通项公式为77+1=俏%8-?,卜=0,1,2,……,8）,

①当8-r=2,即r=6时，，展开式中x2y6项为1xCgX2y6=28/#,

②当8-r=3,即r=5时，展开式中x2y6项为（一x得炉丫5=一56%2、6,

则展开式中x2y6项为-28/y6,

故答案为：・28

【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.

8.（5分）（2022•上海）在（炉+》的展开式中，含3项的系数为

【答案】66

12

312-r1r

【解析】【解答】解—：由题意得（久3+］）的通项公式为77+］=Ci2（%）（x-）=

36-4r

C^2x(0<r<12,r£N)

令36-4r=-4,得r=10,

贝，％

U&l=C-4=66X-4,

则妥项的系数为66.

故答案为：66

【分析】根据二项式定理直接求解即可.

d4

9.（5分）（2021•北京）（%3_］）展开式中常数项为

【答案】-4

【解析】【解答】解:由题意得二项展开式的通项公式为几+］=C5（%3）4-fc（一］j=或（―1）^12f

令12-4k=0,得k=3

故常数项为％=73+1=或（-1）3=-4

故答案为：-4

【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.

34432

10.(5分)(2021•浙江)已知多项式(%—1)+(%+I)=x+a1x+a2x+a3x+a4>则

Q]=fQ，2+Q3+04=.

【答案】5；10

【解析】【解答】根据二项式定理的通项公式:由炉=c/3(_i)o+C1X3・13=5居故a,=5;

同理=C昂2.(一1)1+cjx2-12=3*故小=3；

3123

a3x=C3X-(-1)+C%i-1=3X+4X=7x,故a=7,

0304

a4=C3X-(-1)+C4X-l=0,

所以a2+a3+a4=10.

故答案为：5,10.

【分析】因为指数不高，直接展开。

66

11.（5分）（2021•天津）在（2x3+I）的展开式中，%的系数是.

【答案】160

【解析】【解答】解：（2%3+1）6的展开式的通项公式是7>+1=超（2%3）6-『0'=26-，.重・

x18-4r

令18-4r=6,得r=3

所以%6的系数是23瑶=160

【分析】根据二项式的展开式通项公式求解即可.

C6

12.（5分）（2020•新课标回,理）（%2+3的展开式中常数项是（用数字作答）.

【答案】240

【解析】【解答】v（%2+|）6

26-r

其二项式展开通项：Tr+1=霖•（x）-（j）"

=.•x12-2r（2）r-x-r

=砥2..%12-3r

当12-3r=0，解得r=4

・••（x2+1）6的展开式中常数项是：-24=Cj-16=15x16=240•

故答案为：240.

O6

【分析】写出（/+3二项式展开通项，即可求得常数项.

13.（5分）（2020•天津）在（x+4）5的展开式中，%2的系数是.

【答案】10

【解析】【解答】因为（%+-1）5的展开式的通项公式为G+i=侬5_（引’=麾.2「.％5-3r（r=

0,1,2,3,4,5），令5-3r=2,解得r=1.

所以%2的系数为Cgx2=10.

故答案为：10.

【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令%的指数为2,即可求出.

14.（5分）（2020•浙江）设（l+2x）5=ao+aix+a2X2+a3X3+a4X4+a5X5,贝ija4=；ai+az+aa

【答案】80；130

【解析】【解答】解：（l+2x）5=ao+a।x+a2X2+ajx3+a4X4+a5X5,则=C5-24=80.

ai+az+a3=eg•2+或•4+C"8=130.

故答案为：80；130.

【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可.

6

15.（5分）（2019•上海）在（%+1）的展开式中，常数项等于.

【答案】15

【解析】【解答】解：（工+/展开式的通项为「什］=以号

令写^=0得r=2,

展开式的常数项为第3项；

二常数项等于=15.

故答案为：15.

【分析】利用二项定理求出展开式中的通项公式，再利用展开式中的通项公式求出常数项。

16.（5分）（2019•浙江）在二项式（V2+x）9的展开式中，常数项是,系数为有理数的项

的个数是________

【答案】16&;5

【解析】【解答】解：（V2+X）9展开式的通项=6（0）9-「必，