章形态学图像处理

1第九章形态学图像处理

MorphologicalImageProcessing张运楚信息与电气工程学院

2主要内容概述(Introduction)腐蚀与膨胀(ErosionandDilation)开运算与闭运算(OpeningandClosing)击中-击不中变换(TheHit-or-MissTransformation)应用(SomeBasicMorphologicalAlgorithms)边界提取/区域填充/连通分量提取/凸壳/细化/粗化/骨架灰度图像形态学处理39.1概述形态学(morphology)

是研究动物和植物的形态和结构的学科。数学形态学(MathematicalMorphology)诞生于1964年，是由法国巴黎矿业学院博士生赛拉(J.Serra)和导师马瑟荣，在从事铁矿核的定量岩石学分析，及预测其开采价值的研究中提出“击中/击不中变换”的概念，并在理论层面上第一次引入了形态学的表达式，建立了颗粒分析方法（Granulometry），奠定了这门学科的理论基础。数学形态学的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状，以达到对图像分析和识别的目的。4数学形态学利用一个称作结构元素的“探针”收集图像的信息，当探针在图像中不断移动时，便可考察图像各个部分之间的相互关系，从而了解图像的结构特征。比如从图像中提取边界、骨架、凸壳等用于表达和描绘区域形状的图像分量。也用于图像的预处理或后处理的，如形态学滤波、细化等等。结构元素：作为探针的结构元素，可直接携带知识（形状、大小、甚至加入灰度和色度信息）来探测、研究图像的结构特点。数学形态学的数学基础和所用语言是集合论，因此它具有完备的数学基础。51.数学形态学中的集合和元素数学形态学中的集合：表示图像中的不同对象(Objects)。例如，在二值图像中，常用取值为1的点代表前景，而取值为0的点代表背景。所有取值为1的像素的集合是图像完整的形态学描述。xy0二维整数空间(Z2)注意：硬件显示时将取值为“1”的像素显示为“白色”、“0”显示为“黑色”，而印刷时常相反。“1”为白色或黑色，取决于事先的约定。6对于二值图像，数学形态学中的集合是二维整数空间(Z2)的一个子集，集合的每个元素都是该平面空间上的一个点（像素），并用一个二维坐标向量(x,y)表示。

对于灰度图像，数学形态学中的集合可以表示为三维整数空间(Z3)上分量的集合。集合中每个元素的两个分量是像素的坐标(x,y)，第3个分量对应于像素的离散灰度级值f(x,y)。xy0二维整数空间(Z2)xy0三维整数空间(Z3)7数学形态学中的元素LetAbeasetinZ2.Ifa=(a1,a2)isanelementofA,thenwewrite

a

AOtherwise,ifaisnotanelementofA,wewrite

a

A

Thesetwithnoelementsiscalledthenulloremptysetandisdenotedbythesymbol

.

8集合运算包含

对于两个集合A

和B，如果集合A的每一个元素a

(a

A）又是集合B的元素(a

B)，则称A包含于B，记作

A

B。元素与集合间的关系a9集合运算（续）并集：A∪B={w｜w∈A或w∈B}交集：A∩B={w｜w∈A且w∈B}补集：AC={w｜w

A}差集：A-B={w|w

A且w

B}=A

∩Bc集合的反射：集合的平移：集合A平移到点z=(z1,z2),定义为

(A)z={c｜c=a+z,a∈A}10集合原点(A)z={c｜c=a+z,a∈A}112.二值图像的逻辑运算图像处理中用到的主要逻辑运算是:与、或、非(求补)。12结构元素

设A为二值图像集合，B为结构元素，数学形态学运算是用B对A进行某种运算（二元操作）。结构元素：在考察目标图像各部分之间的关系时，需要设计一种收集信息的“探针”，称为“结构元素”。结构元素

B本身也是一个图像集合。对每个结构元素可以指定一个原点，它是结构元素参与形态学运算的参考点。应注意，原点可以包含在结构元素中，也可以不包含在结构元素中，但运算的结果常不相同。13Matlab的结构元素函数SE=strel(shape,parameters)SE=strel('diamond',R)createsaflat,diamond-shapedstructuringelement,whereRspecifiesthedistancefromthestructuringelementorigintothepointsofthediamond.SE=strel('disk',R,N)createsaflat,disk-shapedstructuringelement,whereRspecifiestheradius.14SE=strel('line',LEN,DEG)createsaflat,linearstructuringelement,whereLENspecifiesthelength,andDEGspecifiestheangle(indegrees)oftheline,asmeasuredinacounterclockwisedirectionfromthehorizontalaxis.SE=strel('rectangle',MN)createsaflat,rectangle-shapedstructuringelement,whereMNspecifiesthesize.159.2腐蚀与膨胀161.

腐蚀(Erosion)A和B

是图像平面Z2中的集合，A

被结构元素B腐蚀（也称用B

对A

进行腐蚀）定义为：

A㊀

B={z|(B)z

A}

上式表明，A被B

腐蚀的结果是将B平移到z后，B仍在A

中的所有z的集合。用B对A进行腐蚀得到的集合是B完全包括在A中时B的原点位置的集合。Z1Z2Z3B被z平移的三种可能的状态A㊀

B={z|(B)z

Ac=Ø}17IllustrationofErosionA

BAB11111118IllustrationofErosion(con’t)19IllustrationofErosionEffectofthestructureelementsize

20EXAMPLE:

Usemorphologicalerosionforremovingimagecomponentstructureelement212.膨胀(Dilation)A和B是图像平面Z2中的集合，A被结构元素B膨胀（也称用B对A进行膨胀）定义为：Z1Z2Z3B反射后被z平移的三种可能的状态上式表明，A被B

膨胀的结果是将B反射后平移到z，

与A

至少有一个元素重叠的所有z的集合。结构元素22IllustrationofDilationBAA

B111111111123IllustrationofDilation24示例：裂缝桥接25小结膨胀使图像中物体区域扩大。膨胀将与物体接触的有关背景点合并到该物体中，使边界向外部扩张。膨胀可以用来填补物体中的空洞，或桥接小的裂缝。腐蚀使图像中物体区域缩小。腐蚀可以把小于结构元素的物体(毛刺、小凸起)去除，这样选取不同大小的结构元素，就可以在原图像中去掉不同大小的物体。如果两个物体之间有细小的连通，那么当结构元素足够大时，通过腐蚀运算可以将两个物体分开。26小结（续）膨胀和腐蚀对于集合求补运算和反射运算是彼此对偶的。即：

(A㊀

B)c

证明：

(A㊀

B)c膨胀和腐蚀并不互为逆运算。279.3开运算与闭运算开运算(Opening)

使用结构元素B

对集合

A

进行开运算，表示为A◦B，定义为:A◦B=(A㊀

B)

B

或:

上式说明,B对A进行开操作是通过求取B

在拟合A时的平移的并集得到的。28开运算的几何解释A◦B的边界通过B中的点完成，即B在A的边界内转动时，B中的点所能到达的A的边界的最远点构成了A◦B

的边界。29闭运算(Closing)

使用结构元素B对集合A进行闭运算，表示为A

B，定义为:A

B=(A

B)㊀

B

30

Asimpleillustrationofmorphologicalopeningandclosing注意这些变化3132ExampleMorphologicalfiltering噪声33小结开运算一般能断开狭窄的间断消除细的突出物，使物体的轮廓变得光滑。闭运算同样使轮廓线更为光滑，但与开操作相反的是，它通常弥合狭窄的间断和长细的鸿沟，消除小的孔洞，并填补轮廓线中的断裂。开运算和闭运算可用于形态学滤波。开运算和闭运算也是一对关于集合求补及反射的对偶操作。即：

349.4击中-击不中变换一般来说，一个物体的结构可以由物体内部各种成分之间的关系来确定。为了研究物体的结构，可以逐个地利用其各种成分(例如各种结构元素)对其进行检验，判定哪些成分包括在物体内，哪些在物体外，从而最终确定图像的结构。击中-击不中(Hit-or-Miss)变换是一个条件严格的模板匹配过程。这时，结构元素不仅含有物体点，而且还含有背景点，只有当结构元素与所对应的区域完全符合时才产生输出。这就是击中-击不中(Hit-or-Miss)变换的目的。35击中-击不中变换的定义设A

是被研究的图像，B是结构元素，而且B由两个不相交的部分B1和B2组成，即B=(B1,B2)，（如B1为物体点，B2为背景点），B

=B1∪B2，且B1∩B2=

。则在A中对B进行的击中-击不中变换（匹配）定义为：

A

B=(A㊀

B1)∩

(Ac

㊀

B2)*用击中-击不中变换识别字符36IllustrationofHit-or-MissTransformation背景被扩大37(A㊀B1)Ac(Ac

㊀B2)A

B=(A㊀

B1)∩

(Ac

㊀

B1)*Findingthisstructure389.5应用(SomeBasicMorphologicalAlgorithms)边界提取(BoundaryExtraction)空洞填充(RegionFilling)连通分量提取(ExtractionofConnectedComponents)凸壳(ConvexHull)细化(Thinning)粗化(Thickening)骨架(Skeletons)391.边界提取边界：一个区域R的边界(也称为边缘或轮廓)是区域中像素的集合，构成边界的像素至少有一个邻点不在区域R中(内边界)。集合A的边界表示为

(A)，它可以通过先用B对A腐蚀，而后用A

减去腐蚀结果(A㊀B)得到。即:

(A)=A-(A㊀B)

40ExampleofBoundaryExtraction412.区域填充A表示一个包含子集的集合，其子集的元素均是区域的8连通边界点。目的是从边界内的一个点p

开始，用“1”填充整个区域。方法（迭代过程）：条件膨胀，B为适当的对称性结构元素hole42IllustrationofRegionFillingp43ExampleofRegionFillingp443.连通分量提取连通性和连通分量的概念连通分量提取方法：令Y

表示一个包含于集合A

中的连通分量，并假设Y

中的一个点

p

是已知的。连通分量Y

的所有元素可用下列的迭代表达式生成:条件膨胀，B为适当的结构元素Thealgorithmhasconverged45IllustrationofConnectedComponentsExtraction第一次迭代的结果第二次迭代的结果最终结果46Example:

Usingconnectedcomponentstodetect

foreignobjectsinpackagedfood474.凸壳(ConvexHull)凸集：如果连接集合A内任意两个点的直线段都在A的内部，则A是凸形的。凸壳：集合S的凸壳H是包含S的最小凸集合。凸缺：H-S称为S的凸缺。求取集合A的凸壳C(A)的简单形态学算法：令Bi

表示4个结构元素，i=1,2,3,4,击中-击不中变换48计算凸壳举例结构元素，Bi是将Bi-1顺时针旋转90

得到。“

”表示该点不于考虑限制生长以便凸壳不会超过初始点集合在水平和垂直方向上的尺寸大小。495.细化(Thinning)细化:

将物体削减为（单像素宽度）的细曲线的一种二值图像处理技术。细化过程根据击中-击不中变换定义如下：定义结构元素序列为：

{B}={B1,B2,B3,…,Bn}

Bi是Bi-1旋转后的形式。用结构元素序列定义细化为：即连续使用B1，B2，…，Bn对A细化。50被转换为m连通的细化集合，以达到消除多重路径的目的。细化过程说明Objective:Toprovideasimplifiedandbasicstructureofanobject(oraregion).Remark:Connectivitymustbepreserved.516.粗化(Thickening)粗化和细化在形态学上是对偶过程，定义为:用结构元素序列定义粗化为:

A{B}=((…((A

B1)B2)…)Bn)

用于粗化处理的结构元素和与细化处理有关的结构元素具有相同的形式。粗化可以通过细化算法求补集实现：先对所讨论集合的背景进行细化，然后对结果求补集。52通过细化算法求补集实现粗化537.骨架(Skeletons)骨架是一种细化结构，是物体的重要拓扑描述。一种定义骨架的方法使用了最大圆盘概念：集合A的骨架S(A)由A内所有最大内切圆盘的圆心组成。最大圆盘不是其他任何完全属于A的圆盘的子集，并且至少有两点与目标边界轮廓相切。骨架的每个点都对应一个相应的最大圆盘和半径r。5455骨架计算示例连通性造破坏56Matlab实现ImageProcessingToolbox->MorphologicalOperationsMorphologyFundamentals:DilationandErosionMorphologicalReconstructionDistanceTransformLabelingandMeasuringObjectsinaBinaryImageLookupTableOperations常用函数：ImageProcessingToolbox->FunctionReference->MorphologicalOperations579.6灰度图像形态学处理二值形态学的４个基本运算，即腐蚀、膨胀、开、闭运算，可推广到灰度图像空间。与二值形态学不同的是，这里运算的操作对象不再看作集合而看做离散图像函数。设f(x,y)是输入图像，b(x,y)是结构元素。结构元素：非平坦、平坦581.腐蚀当b的原点位于(x,y)处时，用平坦的结构元素b在(x,y)处对输入图像

f进行灰度级腐蚀记为f

b，其定义为：

含义和运算机理:为寻求b对f的腐蚀，把结构元素的原点平移到图像每一个像素的位置，该位置被腐蚀后的像素值为与b重合区域中的f的所有像素灰度值的最小值。用非平坦的结构元素bN在(x,y)处对输入图像

f进行灰度级腐蚀的定义：

㊀㊀59灰度级腐蚀处理的结果：如果所有的结构元素都为正，输出图像会趋向于比输入图像更暗；在输人图像中亮的细节的面积如果比结构元素的面积小，则亮的效果将被消弱。消弱的程度取决于环绕于亮细节周围的灰度值和结构元素自身的形状与幅值。602.膨胀当b的原点位于(x,y)处时，用平坦的结构元素b在(x,y)处对输入图像

f进行膨胀记为f

b，其定义为：

含义和运算机理:为寻求b对f的腐蚀，把结构元素b的原点平移到图像每一个像素的位置，该位置被膨胀后的像素值为与b重合区域中的f的所有像素灰度值的最大值。用非平坦的结构元素b对输入图像

f进行膨胀的定义：61灰度级膨胀处理的结果：如果所有结构元素的值为正，则输出图像会趋向于比输人图像更亮；暗细节减少程度取决于膨胀所用的结构元素的值和形状。62灰度级膨胀、腐蚀示例633.灰度级开操作和闭操作开操作：用结构元素b对图像f进行开操作定义为

f◦b=(f

b)

b闭操作：用结构元素b对灰度图像f做闭操作定义为

f

b=(f

b)㊀

b64灰度级开操作和闭操作的几何解释65灰度级开操作、闭操作示例66小结开操作可以消除与结构元素相比尺寸较小的亮细节，而保持图像整体灰度值和大的亮区域基本不受影响。第一步的腐蚀去除了小的亮细节并同时