2024届浙江省宁波效实中学数学高一第二学期期末联考模拟试题含解析

2024届浙江省宁波效实中学数学高一第二学期期末联考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知一个扇形的圆心角为，半径为1．则它的弧长为（）A． B． C． D．2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（）A． B． C． D．3．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若，则a>bC．若a3>b3且ab<0，则D．若a2>b2且ab>0，则4．函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是（）A．0 B． C．1 D．5．中，已知，则角（）A．90° B．105° C．120° D．135°6．设a＞0，b＞0，若是和的等比中项，则的最小值为（）A．6 B． C．8 D．97．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①；②；③；④．其中“同簇函数”的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④8．已知实数满足，则的最大值为（）A． B． C． D．9．甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：甲：7，7，8，8，1；乙：8，9，9，9，1．若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用，表示，方差分别用，表示，则（）A．， B．，C．， D．，10．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在区间上，与角终边相同的角为__________．12．已知球为正四面体的外接球，，过点作球的截面，则截面面积的取值范围为____________________．13．空间一点到坐标原点的距离是_______.14．已知数列是等比数列，若，，则公比________.15．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，，动点满足（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为__________．16．等比数列中，若，，则______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数的部分图象如图所示.（1）求与的值；（2）设的三个角、、所对的边依次为、、，如果，且，试求的取值范围；（3）求函数的最大值.18．设是等差数列，，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，求的最小值.19．关于的不等式，其中为大于0的常数。（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若不等式的解集为，且中恰好含有三个整数，求实数的取值范围.20．正四棱锥中，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若，求异面直线和所成角的余弦值.21．如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

直接利用扇形弧长公式求解即可得到结果.【题目详解】由扇形弧长公式得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查扇形弧长公式的应用，属于基础题.2、C【解题分析】

在中，利用正弦定理求出即可．【题目详解】在中，角，，所对的边分别为，，，已知：，，，利用正弦定理：，解得：.故选C．【题目点拨】本题考查了正弦定理的应用及相关的运算问题，属于基础题．3、C【解题分析】

根据不等式的性质，对A、B、C、D四个选项通过举反例进行一一验证．【题目详解】A．若a＞b，则ac2＞bc2（错），若c=0，则A不成立；B．若，则a＞b（错），若c＜0，则B不成立；C．若a3＞b3且ab＜0，则（对），若a3＞b3且ab＜0，则D．若a2＞b2且ab＞0，则（错），若，则D不成立．故选：C．【题目点拨】此题主要考查不等关系与不等式的性质及其应用，例如举反例法求解比较简单．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.4、C【解题分析】

根据题意可知函数周期为，利用周期公式求出，计算即可求值.【题目详解】由正切型函数的图象及相邻两支截直线所得的线段长为知，，所以，，故选C.【题目点拨】本题主要考查了正切型函数的周期，求值，属于中档题.5、C【解题分析】

由诱导公式和两角差的正弦公式化简已知不等式可求得关系，求出后即可求得．【题目详解】，∴，是三角形内角，，，则由得，∴，从而．故选：C.【题目点拨】本题考查两角差的正弦公式和诱导公式，考查正弦函数性质．已知三角函数值只要确定了角的范围就可求角．6、D【解题分析】

试题分析：由题意a＞0，b＞0，且是和的等比中项，即，则，当且仅当时，即时取等号．考点：重要不等式，等比中项7、C【解题分析】试题分析：对于①中的函数而言，，对于③中的函数而言，，由“同簇函数”的定义而知，互为“同簇函数”的若干个函数的振幅相等，将②中的函数向左平移个单位长度，得到的新函数解析式为，故选C.考点：1.新定义；2.三角函数图象变换8、A【解题分析】

由原式，明显考查斜率的几何意义，故上下同除以得，再画图分析求得的取值范围，再用基本不等式求解即可．【题目详解】所求式，上下同除以得，又的几何意义为圆上任意一点到定点的斜率，由图可得，当过的直线与圆相切时取得临界条件．当过坐标为时相切为一个临界条件，另一临界条件设，化成一般式得，因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离，所以，，解得，故．设，则，又，故，当时取等号．故，故选A．【题目点拨】本题主要考查斜率的几何意义，基本不等式的用法等．注意求斜率时需要设点斜式，利用圆心到直线的距离等于半径列式求得斜率，在用基本不等式时要注意取等号的条件．9、D【解题分析】

分别计算出他们的平均数和方差，比较即得解.【题目详解】由题意可得，，，．故，．故选D【题目点拨】本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10、D【解题分析】

设图中对应三角函数最小正周期为T，从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=向左平移了个单位，即=，选D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据与终边相同的角可以表示为这一方法，即可得出结论．【题目详解】因为，所以与角终边相同的角为.【题目点拨】本题考查终边相同的角的表示方法，考查对基本概念以及基本知识的熟练程度，考查了数学运算能力，是简单题．12、【解题分析】

在平面中，过圆内一点的弦长何时最长，何时最短，类比在空间中，过球内一点的球的大圆面积最大，与此大圆垂直的截面小圆面积最小.利用正四面体的性质及球的性质求正四面体外接球的半径、小圆半径，确定答案.【题目详解】因为正四面体棱长为AB=3，所以正四面体外接球半径R=.由球的性质，当过E及球心O时的截面为球的大圆，面积最大，最大面积为；当过E的截面与EO垂直时面积最小，取△BCD的中心，因为为正四面体，所以平面BCD,O在上，，所以,在三角形中，由,，,，由余弦定理在直角三角形中所以过E且与EO垂直的截面圆的半径r为，截面面积为.所以所求截面面积的范围是.【题目点拨】本题考查空间想象能力，逻辑推理能力，空间组合体的关系，正四面体、球的性质，考查计算能力，属于难题.13、【解题分析】

直接运用空间两点间距离公式求解即可.【题目详解】由空间两点距离公式可得：.【题目点拨】本题考查了空间两点间距离公式，考查了数学运算能力.14、【解题分析】

利用等比数列的通项公式即可得出．【题目详解】∵数列是等比数列，若，，则，解得，即.故答案为：【题目点拨】本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．15、【解题分析】

设，由动点满足（其中和是正常数，且），可得，化简整理可得.【题目详解】设，由动点满足（其中和是正常数，且），所以，化简得，即，所以该圆半径故该圆的半径为.【题目点拨】本题考查圆方程的标准形式和两点距离公式，难点主要在于计算.16、【解题分析】

设的首项为，公比为，根据，列出方程组，求出和即可得解.【题目详解】设的首项为，公比为，则：，解之得，所以：.故答案为：.【题目点拨】本题考查等比数列中某项的求法，解题关键是根据题意列出方程组，需要注意的是为了简化运算不用直接求解，解出即可，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）；（3）.【解题分析】

（1）由图象有，可得的值，然后根据五点法作图可得，进而求出（2）根据,可得,然后由行列式求出,再由正弦定理转化为，根据的范围求出的范围（3）将化简到最简形式，然后逐步换元，转化为利用导数求值问题.【题目详解】（1）由函数图象可得，解得，再根据五点法作图可得，解得，.（2），由正弦定理知，，，，.（3）令，因为，所以，则，令，因为，所以,则令，则，只需求出的最大值，，令，则，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，.函数的最大值为.【题目点拨】本题主要考查了利用三角函数的部分图象求解析式和三角函数的图象与性质，考查了转化思想和数形结合思想，属于难题.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出，由此能求出的通项公式．（2）由，，求出的表达式，然后转化求解的最小值．【题目详解】解：（1）是等差数列，，且，，成等比数列．，，解得，．（2）由，，得：，或时，取最小值．【题目点拨】本题考查数列的通项公式、前项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．19、（1）；（2）【解题分析】

（1）关于的不等式的解集为，得出判别式△，且，由此求出的取值范围；（2）由题意知判别式△，设，利用对称轴以及（1），，得出不等式的解集中恰好有三个整数，等价于，由此求出的取值范围．【题目详解】（1）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式，结合，解得.（2）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式，解得.又，所以.设，其对称轴为.注意到，，对称轴，所以不等式解集中恰好有三个整数只能是1、2、3，此时中恰好含有三个整数等价于：，解得.【题目点拨】本题考查了不等式的解法与应用问题．20、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）取的中点，连接、，可得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可得平面；（2）连接交于，则为的中点，结合为的中点，得，可得（或其补角）为异面直线和所成角，在正四棱锥中，由为的中点，且，可得，设，求解三角形可得异面直线和所成角的余弦值．【题目详解】（1）取的中点，连接、，是的中点，且，在正四棱锥中，底面为正方形，且，又为的中点，且，且，则四边形为平行四边形，，平面，平面，平面；（2）连接交于，则为的中点，又为的中点，，又，（或其补角）为异面直线和所成角，在正四棱锥中，由为的中点，且，，设，则，，，则，因此，异面直线和所成角的余弦值为.【题目点拨】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了异面直线所成角的求法，是中档题．21、（1）或；（2）.【解题分析】

（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由，可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可.【题目详解】（1）由得圆心，∵圆的半径为1，∴圆的方程为：，显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即．∴，∴，∴或．∴所求圆的切线方程为或．（2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，则圆的方程为．又∵，∴设为，则，整理得，设为圆．所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，∴，由，得，由，得．综上所述，的取值范围为．考点：1、圆的标准方程及切线的