2024届海南省文昌华侨中学高一数学第二学期期末统考试题含解析

2024届海南省文昌华侨中学高一数学第二学期期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在直角坐标系中，已知点，则的面积为（）A． B．4 C． D．82．已知两条直线m,n，两个平面α,β，给出下面四个命题：①m//n，m⊥α⇒n⊥α；②α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n；③m//n，m//α⇒n//α；④α//β，m//n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是（）A．①④B．②④C．①③D．②③3．在中，，，，则（）A． B． C． D．4．已知全集，集合，，则为()A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}5．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，，成等差数列，，则的周长的取值范围为（）A． B． C． D．6．执行如图所示的程序框图，输出的s值为A． B．C． D．7．若角α的终边经过点P(-1,1A．sinα=1C．cosα=28．已知角的终边经过点（3，-4），则的值为（）A． B． C． D．9．关于的方程在内有相异两实根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．10．设是等比数列，有下列四个命题：①是等比数列；②是等比数列；③是等比数列；④是等差数列．其中正确命题的个数是()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．有6根细木棒，其中较长的两根分别为，，其余4根均为，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为.12．若满足约束条件则的最大值为__________．13．函数的最大值为，最小值为，则的最小正周期为______．14．在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，ΔABC是边长为23的等边三角形，其中PA=PB=15．直线的倾斜角为______．16．已知公式，，借助这个公式，我们可以求函数的值域，则该函数的值域是______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设数列的前n项和为，已知．（Ⅰ）求通项；（Ⅱ）设，求数列的前n项和．18．如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=6，点E为AB的中点，点D、F在边BC、AC上，且，，EF交AD于点P.(Ⅰ)若∠BAC=，求与所成角的余弦值；(Ⅱ)求的值.19．某种汽车,购车费用是10万元,每年使用的保险费和汽油费为万元,年维修费第一年为万元,以后逐年递增万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?20．数列中，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求；⑶设，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21．在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

求出直线AB的方程及点C到直线AB的距离d，再求出，代入即可得解.【题目详解】，即，点到直线的距离，，的面积为：.故选：B【题目点拨】本题考查直线的点斜式方程，点到直线的距离与两点之间的距离公式，属于基础题.2、A【解题分析】依据线面垂直的判定定理可知命题①是正确的；对于命题②，直线m,n还有可能是异面，因此不正确；对于命题③，还有可能直线n⊂α，因此③命题不正确；依据线面垂直的判定定理可知命题④是正确的，故应选答案A.3、D【解题分析】

直接用正弦定理直接求解边.【题目详解】在中，，，由余弦定理有：,即故选：D【题目点拨】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.4、C【解题分析】

先根据全集U求出集合A的补集，再求与集合B的并集．【题目详解】由题得，故选C.【题目点拨】本题考查集合的运算，属于基础题．5、A【解题分析】

依题意求出，由正弦定理可得，再根据角的范围，可求出的范围，即可求得的周长的取值范围．【题目详解】依题可知，，由，可得，所以，即，而．∴，即．故的周长的取值范围为．故选：A．【题目点拨】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，两角和与差的正弦公式的应用，以及三角函数的值域求法的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．6、B【解题分析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，故选B.点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.7、B【解题分析】

利用三角函数的定义可得α的三个三角函数值后可得正确的选项.【题目详解】因为角α的终边经过点P-1,1，故r=OP=所以sinα=【题目点拨】本题考查三角函数的定义，属于基础题.8、A【解题分析】

先求出的值，即得解.【题目详解】由题得，，所以.故选A【题目点拨】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.9、C【解题分析】

将问题转化为与有两个不同的交点；根据可得，对照的图象可构造出不等式求得结果.【题目详解】方程有两个相异实根等价于与有两个不同的交点当时，由图象可知：，解得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查正弦型函数的图象应用，主要是根据方程根的个数确定参数范围，关键是能够将问题转化为交点个数问题，利用数形结合来进行求解.10、C【解题分析】

设，得到，，，再利用举反例的方式排除③【题目详解】设，则：，故是首项为，公比为的等比数列，①正确，故是首项为，公比为的等比数列，②正确取，则，不是等比数列，③错误.，故是首项为，公差为的等差数列，④正确故选：C【题目点拨】本题考查了等差数列，等比数列的判断，找出反例可以快速的排除选项，简化运算，是解题的关键.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

分较长的两条棱所在直线相交，和较长的两条棱所在直线异面两种情况讨论，结合三棱锥的结构特征，即可求出结果.【题目详解】当较长的两条棱所在直线相交时，如图所示：不妨设，，，所以较长的两条棱所在直线所成角为，由勾股定理可得：，所以，所以此时较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为；当较长的两条棱所在直线异面时，不妨设，，则，取CD的中点为O，连接OA，OB，所以CD⊥OA，CD⊥OB，而，所以OA+OB<AB，不能构成三角形。所以此情况不存在。故答案为：.【题目点拨】本题主要考查异面直线所成的角，熟记异面直线所成角的概念，以及三棱锥的结构特征即可，属于常考题型.12、【解题分析】

作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当时，.【题目详解】不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当时，.【题目点拨】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.13、【解题分析】

先换元，令，所以，利用一次函数的单调性，列出等式，求出，然后利用正切型函数的周期公式求出即可．【题目详解】令，所以，由于，所以在上单调递减，即有，解得，，故最小正周期为．【题目点拨】本题主要考查三角函数的性质的应用，正切型函数周期公式的应用，以及换元法的应用．14、65π【解题分析】

本题首先可以通过题意画出图像，然后通过三棱锥的图像性质以及三棱锥的外接球的相关性质来确定圆心的位置，最后根据各边所满足的几何关系列出算式，即可得出结果。【题目详解】如图所示，作AB中点D，连接PD、CD，在CD上作三角形ABC的中心E，过点E作平面ABC的垂线，在垂线上取一点O，使得PO=OC。因为三棱锥底面是一个边长为23的等边三角形，E所以三棱锥的外接球的球心在过点E的平面ABC的垂线上，因为PO=OC，P、C两点在三棱锥的外接球的球面上，所以O点即为球心，因为平面PAB⊥平面ABC，PA=PB，D为AB中点，所以PD⊥平面ABCCD=CA2-ADPD=P设球的半径为r，则有PO=OC=r，OE=r(PD-OE)2+DE2=P故表面积为S=4πr【题目点拨】本题考查三棱锥的相关性质，主要考查三棱锥的外接球的相关性质，考查如何通过三棱锥的几何特征来确定三棱锥的外接球与半径，考查推理能力，考查化归与转化思想，是难题。15、【解题分析】

先求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角.【题目详解】由于直线的斜率为，故倾斜角为.【题目点拨】本小题主要考查由直线一般式方程求斜率，考查斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.16、【解题分析】

根据题意，可令，结合，再进行整体代换即可求解【题目详解】令，则，，，则，，，则函数值域为故答案为：【题目点拨】本题考查3倍角公式的使用，函数的转化思想，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解题分析】试题分析：（Ⅰ）当时，根据，构造，利用，两式相减得到，然后验证，得到数列的通项公式；（Ⅱ）由上一问可知.根据零点分和讨论去绝对值，利用分组转化求数列的和.试题解析：（Ⅰ）因为，所以当时，，两式相减得：当时，，因为,得到，解得，，所以数列是首项，公比为5的等比数列，则；（Ⅱ）由题意知，,易知当时，；时，所以当时，，当时，，所以，，……当时，又因为不满足满足上式，所以.考点：1.已知求；2.分组转化法求和.【方法点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,（5）或是具有某些规律求和，（6）本题考查了等差数列绝对值求和，需讨论零点后分两段求和.18、(Ⅰ)(Ⅱ)【解题分析】

(Ⅰ)以AC所在直线为x轴，过B且垂直于AC的直线于AC的直线为y轴建系,得到，，，，再由向量数量积的坐标表示，即可得出结果；(Ⅱ)先由A、P、D三点共线，得到，再由平面向量的基本定理，列出方程组，即可求出结果.【题目详解】(Ⅰ)以AC所在直线为x轴，过B且垂直于AC的直线于AC的直线为y轴建系如图，则，，，，∴，∴(Ⅱ)∵A、P、D三点共线，可设同理，可设由平面向量基本定理可得，解得∴，.【题目点拨】本题主要考查平面向量的夹角运算，以及平面向量的应用，熟记向量的数量积运算，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.19、这种汽车使用年时,它的年平均费用最小【解题分析】

设这种汽车使用年时,它的年平均费用为万元，则，于是，当，即时，取得最小值，所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小20、（1）；（2）（3）7.【解题分析】

（1）由可得为等差数列，从而可得数列的通项公式；（2）先判断时数列的各项为正数，时数列各项为负数，分两种情况讨论分别利用等差数列求和公式求解即可；（3）求得利用裂项相消法求得，由可得结果.【题目详解】（1）由题意，，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若时，时，，故.（3），若对任意成立，的最小值是，对任意成立，的最大整数值是7,即存在最大整数使对任意，均有【题目点拨】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，以及裂项相消法求和，属于中档题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出