专题51 三角形面积有关的最值问题（解析版）-中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题51三角形面积有关的最值问题【规律总结】关键是确定动点到定直线的最小距离，有函数法、也有几何法；【典例分析】例1．（2020·湖北武汉市·九年级月考）如图，为边长为的菱形的对角线，，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿向终点C和A运动，连接和，求面积的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意易得，易证△ABM≌△BCN，则有，进而可得，然后可知点P的运动轨迹是一个圆弧，则当为等腰三角形时，的面积最大，进而问题可求解．【详解】解：由M，N点的速度相同可知，∵四边形是菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，∴（SAS），∴，又∵，∴，∴，又∵为定长，，∴点P的运动轨迹为一个圆弧，在上运动，圆心Q的位置为AB、BP的垂直平分线的交点，点P在以Q为圆心QB为半径的圆上，由优弧AB的圆周角为120°可得劣弧AB所对的圆心角度数为120°，过点Q作QH⊥AB，交AB于点E，于点H，连接BQ，如图所示：∴当点P与点H重合时，此时△ABP的面积为最大，又∵，∠APB=120°，∴，∠BQE=60°，∴，∴EH=1，∴边上的高为1，∴的面积最大值为；故选D．【点睛】本题主要考查圆的基本性质及三角函数，熟练掌握圆的基本性质及三角函数是解题的关键．例2．（2020·四川绵阳市·东辰国际学校九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP，OP，AO，则△AOP面积的最大值为____．【答案】．【分析】当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直于切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得．【详解】解：当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，∵过P的直线是⊙D的切线，∴DP垂直于切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝=5∴OA＝，∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD，∴△ADM∽△ACD，∴，即∴DM=∴PM=PD+DM=1+=∴△AOP的最大面积＝OA•PM＝=故答案为：．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大．例3．（2019·山西九年级期末）如图，抛物线与轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为4．(1)求抛物线及直线的函数表达式．(2)点是线段上的点(不与，重合)，过点作轴交抛物线于点，若点的横坐标为，请用含的代数式表示的长．(3)在(2)的条件下，连接，，是否存在，使的面积最大．若存在，直接写出的值．若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）；（3）存在，【分析】（1）直接运用待定系数法求解出抛物线的解析式，然后求出C的坐标，再运用待定系数法求解直线的解析式即可；（2）结合（1）中求解出的解析式，分别表示出M，F的纵坐标，从而用M的纵坐标值减去F的纵坐标值即可；（3）延续（2）的结论，可得到关于面积的二次函数表达式，从而运用函数的性质求解出面积最大时m的值即可．【详解】（1）把，代入，得解得∴抛物线的表达式为．把代入得，∴．设直线的表达式为，把，代入得：解得∴直线的表达式为．（2）∵点在线段上，∴点的坐标为．∵点在抛物线上，∴点的坐标为．∴．（3）存在，，理由如下：∵，其中，，∴，∵，∴在时取得最大值，∴存在，使的面积最大，此时．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积等知识，在(1)中注意待定系数法的应用步骤，在(2)中首先求得C点坐标是解题的关键，在(3)中用m表示出△ACF的面积是解题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·台州市双语学校九年级月考）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A是以D（0，2）为圆心，2为半径的⊙D上的一个动点，连接AC、AB，则△ABC面积的最小值是（）A．30 B．29 C．28 D．27【答案】B【分析】过D作DM⊥BC于M，连接BD，则由三角形面积公式得，BC×DM=OB×CD，可得DM，可知圆D上点到直线的最小距离，由此即可解决问题．【详解】过D作DM⊥BC于M，连接BD，如图，令，则，令，则，∴B（12，0），C（0，-5），

∴OB=12，OC=5，BC==13，

则由三角形面积公式得，BC×DM=OB×CD，∴DM=，∴圆D上点到直线的最小距离是，

∴△ABC面积的最小值是．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的应用、勾股定理的应用、圆的有关性质，解此题的关键是求出圆上的点到直线BC的最大距离以及最小距离．2．（2020·乌兰浩特市卫东中学九年级二模）如图，直线与轴、轴分别交于两点，点是以为圆心，为半径的圆上一点，连接，则面积的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题【详解】解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．∵直线AB的解析式为∴设直线CH的解析式为y＝将C（−1，0）代入y＝中得：，解得：，∴直线CH的解析式为，

由，解得，

∴，∴CH＝，∴EH＝3-1=2，∵对于，令x=0，得y=3，令y=0，得x=4，A（4，0），B（0，3），

∴OA=4，OB＝3，AB＝，当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值＝，故答案为：A【点睛】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．二、填空题3．（2020·福州立志中学九年级月考）如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，点是以为圆心，2为半径的圆上一动点，连接，，则的面积最大值是______．【答案】15【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，-3），3x-4y-12=0，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5过C作CM⊥AB于M，连接AC，则由三角形面积公式得：∴∴∴圆C上点到直线的最大距离是：∴面积的最大值是故答案为：15．【点睛】本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离．4．（2020·乐清市知临寄宿学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点，是一次函数图像上两点，它们的横坐标分别为1，4，点是抛物线图像上的一点，则的面积最小值是______．【答案】【分析】设点E（m，m2﹣4m+8），过E作EM垂直于x轴交AB于点M，作BF⊥EM，AG⊥EM，垂足分别为F，G，由题意可得M（m，m），从而可用含m的式子表示出EM的长，根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案．【详解】解：设点E（m，m2﹣4m+8），过E作EM垂直于x轴交AB于点M，作BF⊥EM，AG⊥EM，垂足分别为F，G，由题意得：M（m，m），∴EM＝m2﹣4m+8﹣m＝m2﹣5m+8＝，∴S△ABE＝S△AEM+S△EMB＝(m2﹣5m+8)×（4-1）(m2﹣5m+8)＝，由，得S△ABE有最小值．∴当m＝时，S△ABE的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的最值、一次函数与二次函数图象上的点与坐标的关系及三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理并数形结合是解题的关键．三、解答题5．（2020·广州白云广雅实验学校九年级月考）抛物线交x轴与点A和点B(-4，0)，交y轴于点C，点P为抛物线上一动点（P与B、C不重合）（1）求抛物线的解析式．（2）连结CB，若点P在直线BC下方时，求的面积的最大值．（3）若点M为直线BC上一点，是否存在点M，使以点P、C、A、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）4；（3）存在，，，，【分析】（1）直接将B(-4，0)代入解析式，通过待定系数法求解即可；（2）先运用待定系数法求解出BC的解析式，再作PQ∥y轴，交BC于Q点，从而可根据抛物线和直线的解析式设出P，Q的坐标，并表示出PQ，最后根据PQ建立出关于的二次函数表达式，从而运用函数的性质求解即可；（3）分别考虑AC，AM，AP为对角线，结合平行四边形的对角线互相平分的性质分类求解即可．【详解】（1）将B(-4，0)代入解析式得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）如图所示，由抛物线解析式可得：，，设直线BC的解析式为：，将B，C坐标分别代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：，∵点P在直线BC下方，且在抛物线上，∴设P的坐标为，其中，此时，作PQ∥y轴，交BC于Q点，则Q的坐标为，∴，∴，∴当时，的面积取得最大值，最大值为4；（3）存在这样的M点，理由如下：①如图所示，若以AC为对角线，可得，此时，直线AP∥BC，且过点A，则可设直线AP的解析式为：，将A点代入可得：，∴直线AP的解析式为：，令，解得，∴P点的横坐标为-3，则代入AP的解析式得纵坐标为-1，∴，设M的坐标为，此时根据平行四边形的性质可得：，解得：，∴；②如图所示，若以AM为对角线，可得，由①可知，设M的坐标为，此时根据平行四边形的性质可得：，解得：，∴；③如图所示，若以AP为对角线，可得和，此时可设，，则根据平行四边形的性质可得：，解得：或，当时，代入直线BC可得：，即；当时，代入直线BC可得：，即；综上所述，存在M使得以点P、C、A、M为顶点的四边形为平行四边形，M的坐标为：，，，．【点睛】本题考查待定系数法求解函数的解析式，运用函数的思想求解三角形面积最大值以及平行四边形的判定与性质，前两个问题较为基础，熟练掌握常规方法求解是关键，最后一问中结合平行四边形对角线的性质分类讨论是关键．6．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学九年级期中）如图，点A在抛物线y＝﹣x2+6x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（2，2）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任一点，过P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，当PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到，过点作的垂线与直线AB交于点Q，点R为y轴上一动点，M为平面直角坐标系中的一动点，是否存在使以点D，Q，R，M为顶点的四边形为矩形？若存在请直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）AB=4，（2）（3）存在，R1（0，15），R2（0，-5），R3（0，7+）或R4（0，7-）【分析】（1）求出A和B两点坐标，即可求出AB长；（2）设P点横坐标为m，把△PBE的面积的解析式用含m的式子表示出来，化成顶点式，顶点横坐标即为面积最大时点P的横坐标，代入抛物线中求出P点的纵坐标，此时PH为定长，过O点作过二、四象限且与y轴夹角为60°的直线ON，过H作HG⊥ON，求出HG长，加上PH即为PH+HF+FO的最小值；（3）先求出Q点和D点坐标，再分情况讨论：当QD为边时，当QD为对角线时，分别求出点R的坐标即可．【详解】解：（1）当x=1时，y＝﹣x2+6x得y=5，则A（1,5），∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称当y=5时，代入y＝﹣x2+6x中，得5=﹣x2+6x，则x1=5,x2=1,则B（5,5）∴AB=5-1=4,（2）如图，过P作PF//y轴，交EB于点F，∵点E的（2，2）（5,5）∴则直线EB的解析式为y=x，设点P的坐标（m，﹣m2+6m）则点F（m,m）则PF=﹣m2+6m-m=﹣m2+5m，S△PBE=S△EFP+S△PBF=×PF（xB-xE）=（﹣m2+5m）=，则P点横坐标m=时，代入抛物线解析式得到y=，则P（）时，面积△PBE最大，此时H（），则PH=，PH为定长，HF+FO最小时，PH+HF+FO就最小，过O与y轴夹角60°的直线ON，过H作HG垂直ON交y轴于点F，此时GF=OF，HF+FO的最小时=HG，∵∠FOG=60°，∠FGO=∠HTO=90°，∴∠OFG=∠TFH=30°，在Rt△HTF中，HT=，∠TFH=30则FH=5，由勾股定理得TF=，∴OF=5-又∵HG=HF+FG==5+sin60°OF=5+sin60°（5-）==+，∴PH+HF+FO的最小值=PH+HG=+=，∴PH+HF+FO的最小值为；（3）当QD为边时