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文档简介
用频率估计概率国庆期间,妈妈正好单位组织活动要去北京,张华和张明都闹着要跟着去,但单位规定只能带一人,怎么办?于是,妈妈想用抛掷啤酒瓶盖的办法决定。抛掷一次,如果“凸面向上”则带张华去,如果“凹面向上”则带张明去。你觉得这样公平吗?为什么?一、导入新课:导入新课做重复试验:抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次,经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44,由此可以估计出抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率为0.44。也就是:由“凸面向上”的频率估计出“凸面向上”的概率.抛掷一次不公平!“凸面向上”与“凹面向上”的可能性不相等。这种方法实际上就是用频率估计概率。问题1
抛掷一枚硬币,正面(有数字的一面)向上的概率是二分之一,这个概率能否利用试验的方法──通过统计很多掷硬币的结果来得到呢?1.探究频率与概率的关系二、新知探究:新课讲解掷硬币试验【试验要求】1.全班同学分组,每组六名同学分为三小组,分别做投掷试验。2.统计试验结果,按要求计算频率(频率结果保留两位小数),
向组长汇报,并由组长填写好表格.投掷试验的总次数不少于100次.3.组长将表格交给老师.试验投掷时要细心、认真哟!试验探究:试验者(一组)1号与6号2号与5号3号与4号
小组合计正面向上次数m4678102226
总投掷次数n100150200450正面向上频率m/n
试验者(二组)1号与6号2号与5号3号与4号
小组合计正面向上次数m8488109281
总投掷次数n160180210550正面向上频率m/n
(以两个小组为例)0.460.520.510.5020.530.490.520.5100.500.51实验者一组二组三组四组五组六组全班合计正面向上次数m226281260238246259总投掷次数n450550503487510495正面向上频率m/n试验汇报:(以一组为例)0.5020.5100.5170.490.483149029950.5230.4970.50问题2
分析试验结果及下面数学家大量重复试验数据,大家有何发现?试验者抛掷次数n“正面向上”次数m“正面向上”频率(
)棣莫弗204810610.518布丰404020480.5069费勒1000049790.4979皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005问题3
分析试验结果及下面数学家大量重复试验数据,大家有何发现?试验次数越多频率越接近0.5,即频率稳定于概率。抛掷次数n0.520484040100001200024000“正面向上”频率()0人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应客观规律.这称为大数法则,亦称大数定律.由频率可以估计概率是由瑞士数学家雅各布·伯努利(1654-1705)最早阐明的,因而他被公认为是概率论的先驱之一.频率稳定性定理数学史实问题4
为什么可以用频率估计概率?一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的概率
会稳定在某个常数p附近,那么事件A发生的概率P(A)=p.由定义可知:(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验;(2)只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常数才叫做事件A的概率;(3)概率是频率的稳定值,而频率是概率的近似值;(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小;(5)必然事件的概率是1,不可能事件的概率为0.因此0≤p(A)≤1;问题5
频率与概率有什么区别与联系?
区别:
1.概率反映事件发生的频繁程度;概率反映事件发生的可能性大小。
2.频率是不能脱离具体的n次试验的结果,有随机性;概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值。
联系:频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值。
一般地,当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时,则用列举法,利用概率公式P(A)=
的方式得出概率.当试验的所有可能结果不是有限个,或各种可能结果发生的可能性不相等时,常常是通过统计频率来估计概率,即在同样条件下,大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的概率.
方法归纳:例1某篮球队教练记录该队一名主力前锋练习罚篮的结果如下:(1)填表(精确到0.001);(2)比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规,罚篮一次,你能估计这次他能罚中的概率是多少吗?练习罚篮次数306090150200300400500罚中次数274578118161239322401罚中频率0.9000.7500.8670.7870.8050.7970.8050.802解:从表中的数据可以发现,随着练习次数的增加,该前锋罚篮命中的频率稳定在0.8左右,所以估计他这次能罚中的概率约为0.8.在一个不透明的盒子里装有除颜色不同其余均相同的黑、白两种球,其中白球24个,黑球若干.小兵将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复上述过程,下表是试验中的一组统计数据:摸球的次数n10020030050080010003000摸到白球次数m651241783024815991803摸到白球概率0.650.620.5930.6040.6010.5990.601(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近
(精确到0.1)(2)假如你摸一次,估计你摸到白球的概率P(白球)=
.0.60.6练习:2.频率估计概率的应用
例1某林业局要考察一种树苗移植的存活率,对该地区这种树苗移植成活情况进行了统计,并绘制了如图所示的统计图,根据统计图提供的信息解决下列问题:(1)这种树苗成活的频率稳定在______,成活的概率估计值为_____.(2)该地区已经移植这种树苗5万棵
①估计这种树苗成活了_______万棵;
②如果该地区计划成活18万棵这样的树苗,那么还需要移植这种树苗约多少万棵?【分析】首先观察统计图估计出这种树苗成活的概率为0.9,然后利用成活概率和移植总数就可以计算出成活的树苗,也可以用计划成活的树苗和概率求出应移植的树苗.解:(1)观察统计图可以发现当移植数量较多时,成活的频率稳定在0.9的附近,因此估计这种树苗的成活概率为0.9;(2)①5×0.9=4.5(万棵)所以估计这种树苗成活了4.5万棵.②∵18-4.5=13.5(万棵),∴
还需移植13.5÷0.9=15(万棵).
例2
某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克柑橘,如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元,那么在出售柑橘(已去掉损坏的柑橘)时,每千克大约定价为多少元比较合适?分析根据上表估计柑橘损坏的概率为0.1,则柑橘完好的概率为0.9.0.1010.0970.0970.1030.1010.0980.0990.103填表:由上表可知:柑橘损坏率是
,完好率是
.0.100.90解:根据估计的概率可以知道,在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9=9000千克,完好柑橘的实际成本为设每千克柑橘的销价为x元,则应有(x-2.22)×9000=5000,解得x≈2.8.因此,出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元.1.某口袋里现有8个红球和若干个绿球(两种球除颜色外,其余完全相同),某同学随机的从该口袋里摸出一球,记下颜色后放回,共试验50次,其中有20个红球,估计绿球个数为()A.6B.12C.13D.25B课堂练习2.一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球,这a个球中红球只有4个,若每次将球搅匀后,任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱,通过大量重复摸球实验后发现,摸到红球的频率稳定在20%附近,那么可以推算出a大约是()A.25B.20C.15D.10B3.抛掷硬币“正面向上”的概率是0.5.如果连续抛掷100次,而结果并不一定是出现“正面向上”和“反面向上”各50次,这是这什么?答:这是因为频数和频率的随机性以及一定的规律性.或者说概率是针对大量重复试验而言的,大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.4.某射击运动员在相同条件下的射击160次,其成绩记录如下:(1)根据上表中的信息将两个空格的数据补全(射中9环以上的次数为整数,频率精确到0.01);(2)根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率(精确到0.1),并简述理由.解:(1)48,0.81;(2)P(射中9环
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