专题1.6立体几何的最值、范围问题（强化训练）（解析版）

专题1.6立体几何的最值、范围问题题型一数量积的最值范围范围题型二面积、体积的最值范围问题题型三夹角的最值范围问题题型四距离的最值范围问题题型一 数量积的最值范围范围1．在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（

）A． B．17 C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面MPN的法向量，设出，根据求出，计算出，得到最小值.【详解】以D作坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，设平面MPN的法向量为，则，令，则，故，设，则，因为直线与平面平行，所以，，因为，所以，故，故当时，取得最小值，最小值为.故选：A2．已知正四棱柱中，底面边长，，是长方体表面上一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中点，将所求数量积转化为，根据的取值范围可求得结果.【详解】取中点，则，当为侧面中点时，；的最大值为体对角线的一半，又，，即的取值范围为.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的向量数量积问题的求解，解题关键是通过转化法将问题转化为向量模长最值的求解问题，进而通过确定向量模长的最值来确定数量积的取值范围.3．（多选）已知MN是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值可为（

）A．-1 B．0 C． D．5【答案】BC【分析】根据给定条件，令正方体内切球的球心为，利用空间向量数量积将化为的函数，即可求出其范围作答.【详解】令正方体内切球的球心为，为球的直径，则，，则，而点在正方体表面上移动，则当为正方体顶点时，，当为内切球与正方体表面相切的切点时，，于是得，所以的取值范围为，选项B、C满足，A、D不满足．故选：BC4．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面ACD，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，则，，根据面面平行的判定定理可得平面平面，由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解.【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG.易得，，因为平面，平面，，，所以平面平面.因为平面，所以H为线段FG上的点.由平面，平面，得，又，则，由平面，得平面，因为，所以平面，，.因为，所以，..因为，所以.故选：B.5．（多选）如图，已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，是侧面内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（

）A．若直线与平面平行，则三棱锥的体积为B．若直线与平面平行，则直线上存在唯一的点，使得与始终垂直C．若，则的最小值为D．若，则的最大值为【答案】ABC【分析】取棱的中点，连接，进而证明平面平面得的轨迹即为线段，再讨论AB选项即可得判断；当时，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在平面内的圆弧，再分别讨论CD选项即可.【详解】解：取棱的中点，连接，因为棱的中点，分别是棱的中点，所以，，因为，所以，所以，四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，平面，因为平面，所以平面平面，所以，直线与平面平行，的轨迹即为线段，故对于A选项，，三棱锥的体积为，故A正确；对于B选项，要使得与始终垂直，则面，故如图建立空间直角坐标系，则，所以，，所以且，解得，即，所以，直线上存在唯一的点（中点），使得与始终垂直，故B正确；当时，所以，解得，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在平面内的圆弧，对于C选项，由于，故的最小值为，故C正确；对于D选项，，当且仅当时等号成立，所以，的最大值为，故D错误.故选：ABC6．一个长方体的棱长分别为，是该长方体外接球的一条直径，点是长方体表面上的一个动点，则的取值范围是.【答案】【分析】建立合适直角坐标系，设点坐标，则，将看作长方体表面上点到距离的平方，通过分析几何体的性质可得距离的最值，进而求得的取值范围.【详解】解：因为MN是长方体外接球的一条直径，且长方体的棱长分别为1、1、，所以，以方向为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，设，所以，而可看作长方体表面上点到距离的平方，由长方体的对称性可知，此点为长方体各个面的面对角线中点时，距离最短，当此点取面对角线中点时，，当此点取面对角线中点时，，当此点取面对角线中点时，，故，又，当时取等号，此时点P在ABCD平面内，即所求的范围是.故答案为：7．已知P是棱长为1的正方体内（含正方体表面）一动点．（1）当点P运动到中点时，的值为；（2）当点P运动时，的最大值为．【答案】/1.52【分析】空1：以为坐标原点建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，得到，计算即可.空2：利用向量点乘的几何意义，转化为投影最值问题，即可得到答案.【详解】空1：以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，为中点，,所以，，所以，空2：因为，是向量在上的投影，所以当在位置时，投影最大，的最大值为:故答案为：；8．已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为.【答案】【分析】利用等体积法求出内切球的半径，以及正四面体中内切球球心到顶点的距离，从而可得，再根据即可求解.【详解】如图所示，在边长为1的正四面体中，设四面体内切球球心为，内切球半径为，取中点为，则,,所以，因为，所以，所以，因为点P为正四面体表面上的一个动点，所以，即，因为,因为为球O的一条直径，所以,所以，因为，所以，所以，故答案为:.题型二 面积、体积的最值范围问题9．如图，已知四棱锥中，正三角形的边长为2，平面，且，则四棱锥的体积的最大值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接可得，设，取的中点，可得，由，利用基本不等式可得答案.【详解】连接，因为平面，且，所以，且，设，则，在直角三角形中可得，所以，可得，，，取的中点，连接，可得，所以，所以，当且仅当即等号成立，此时四棱锥的体积的最大值为.故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是求出，考查了显示的空间想象能力、运算能力.10．已知三棱锥中，，，，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】依题意可得即为三棱锥外接球的直径，设的中点为，则即为球心，设，，即可得到，利用基本不等式求出面积最大值，再由可得此时平面，即可求出锥体的体积最大值.【详解】设三棱锥外接球的半径为，则，解得，又，，即为直角三角形，则外接圆的直径即为直角三角形的斜边，且，即外接圆的半径，所以为外接球中的大圆，即为三棱锥外接球的直径，设的中点为，则即为球心，设，，则，所以，当且仅当时取等号，即，此时，且，又，则且，所以，则且，，平面，所以平面，所以，所以，即三棱锥体积的最大值为.故选：D11．已知底面为矩形的直四棱柱高为4，体积为16，各顶点都在一个球面上，则这个球的体积的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设底面矩形的长为、宽为，外接球的半径为，依题意可得，且，利用重要不等式求出的最小值，即可求出球的体积的最小值.【详解】设底面矩形的长为、宽为，外接球的半径为，则，即，又长方体的体对角线即为外接球的直径，所以，即，当且仅当时取等号，所以，即外接球的半径最小值为，所以这个球的体积的最小值为.故选：A12．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为.【答案】【分析】运用扇形的弧长公式可求得圆锥半径，结合等面积法可求得三角形的内切圆半径，进而求得圆锥内切球的表面积.【详解】由题意知，该圆锥的母线长为，设圆锥底面圆半径为，高为，如图所示，由得，，所以.圆锥内切球的半径等于内切圆的半径，设的内切圆圆心为，半径为，由得，，解得.所以该球状零件表面积的最大值为.故答案为：.

13．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，.记四面体的外接球的球心为，为球表面上的一个动点，当取最大值时，四面体体积的最大值为.

【答案】/【分析】根据题意，由条件可得取最大值时，由余弦定理即可得到，然后过作，即可得到，从而得到结果.【详解】

依题可得，四面体的外接球的球心为中点，外接球半径，要使取到最大值，则，即与球相切时，所以,在中，，∴，∴，∴，过作，垂足为，所以点在以为圆心为半径的圆上，又，∴四面体体积的最大值为.故答案为：.14．一个圆锥母线与底面所成的角为，体积为，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为．【答案】8【分析】设圆锥的顶点为，底面圆心为，过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面为，根据，圆锥体积为，求出，再用表示截面面积，根据二次函数知识可求出结果.【详解】设圆锥的顶点为，底面圆心为，过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面为，为的中点，则，，，

则圆锥的体积为，由题意得，解得，，，，所以，因为，，所以当，时，取得最大值为.故答案为：.15．如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近A的三等分点，为上靠近的三等分点．

(1)证明：平面//平面．(2)若平面，，与平面的距离为，，，三棱锥的体积为，试写出关于的函数关系式．(3)在（2）的条件下，当为多少时，三棱锥的体积取得最大值？并求出最大值．【答案】(1)证明见详解(2)(3)16【分析】（1）根据线面、面面平行的判定定理分析证明；（2）根据题意可知平面，进而可得，结合锥体的体积公式运算求解；（3）整理得，结合二次函数分析求解.【详解】（1）由题意可得：，//，则为平行四边形，可得//，且平面，平面，所以//平面，取的中点，连接，因为分别为的中点，则//，又因为，//，则为平行四边形，可得//，，且//，，则//，，可得为平行四边形，则//，故//，且平面，平面，所以//平面，，平面，所以平面//平面.（2）因为平面，平面，则，且//平面，则，可得，且//，则平面，平面，可得，且，平面，所以平面，又因为平面//平面，则平面，平面，则，设，因为//，则，即，所以三棱锥的体积为.

（3）由（2）可知，当，即时，取到最大值.16．如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的母线，，是上的动点.

(1)求圆柱的侧面积；(2)求四棱锥的体积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出圆柱底面半径为r，进而求出结果；（2）利用余弦定理结合基本不等式求出，再利用体积公式求出结果.【详解】（1）如图：

连接BD，在中，，，，由余弦定理，得，所以，设圆柱底面半径为r，由正弦定理，得，所以，故圆柱的侧面积；（2）由（1）知，中，，，由余弦定理，得，即，当且仅当时，等号成立，所以，因为，又，所以四棱锥的体积，，故四棱锥的体积的最大值为.题型三 夹角的最值范围问题17．（多选）如图，在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的是（

）

A．当且时，有B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，直线和所成的角的取值为D．当时，直线与平面所成角的正弦值范围是【答案】ABD【分析】对于选项A，建立空间直角坐标系，通过计算得到，从而得到，进而判断出选项A正确；对于选项B，利用条件确点的位置，再利用等体法即可判断选项的正误；对于选项C，利用空间直角坐标系，将线线角转化成两向量所成角来求解，设，从而得到，再利用的取值范围即可求出结果，从而判断出选项的正误；对于选项D，根据条件，确定点的运动轨迹，取中点点，从而得到为与平面所成的角，进而可求出的最大值和最小值.【详解】选项A，当且时，为的中点，取中点，中点，连，因为三棱柱为正三棱柱，所以，建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，又，所以，所以，所以选项A正确．

选项B，当时，为的上的动点，因为，又易知，到平面的距离为，所以，所以选项B正确．选项C，当时，为线段的上的动点，设，，又，，，，所以，又，由，又因为，当时，当时，所以，所以直线与所成角的范围为，所以选项C不正确．选项D，当时，则为的上的动点，如图2，取中点点，，又三棱柱为正三棱柱，所以平面，则为与平面所成的角，在中，为定值，又,所以与平面所成的最大角为，此时，最小角为，此时．所以选项D正确．

故选：ABD.【点睛】关键点晴：本题的关键在于利用平面向量基本定理和向量的几何运算确定各个选项中点的位置，再利用向量法或几何法来处理.18．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为面对角线上的一个动点（包含端点），则下列选项中正确的有（

）

A．三棱锥的体积为定值B．线段上存在点，使平面C．当点与点重合时，二面角的余弦值为D．设直线与平面所成角为，则的最大值为【答案】ABD【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【详解】对于A，因为三棱锥的体积，易得平面平面，平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥体积为定值，故A正确．对于B，如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，,，，，，设，所以，，设平面，，，则，取，则，则，要使平面，即，，此时，故B正确.

对于C，当点与点重合时，此时，设平面，，，则，取，则，则，设平面，设二面角所成角为，所以，因为为锐二面角，，所以，故C不正确；

对于D，，，设平面，设直线与平面所成角为，，所以，，因为在上单调递增，所以当取得最大值时，取得最大值，当时，，此时，所以，所以D正确故选：ABD.19．（多选）在正四棱锥中，，，点满足，其中，，则下列结论正确的有（

）A．的最小值是B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，与所成角可能为D．当时，与平面所成角正弦值的最大值为【答案】ABD【分析】根据向量关系可得为正方形内的点(包括边界)，设，根据正棱锥的性质结合条件可得判断A，根据棱锥的体积公式结合条件可判断B，根据线面角的求法结合条件可判断C，利用坐标法表示出线面角，然后利用导数求最值可判断D.【详解】由，可得，其中，，所以为正方形内的点(包括边界)，在正四棱锥中，，，设，连接，则平面，，对A，由题可知，当重合时取等号，故A正确；对B，当时，，即，故在线段上，因为，所以三角形的面积为定值，而三棱锥的高为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确；对C，当时，，故在线段上，由题可知平面，故平面，所以为在平面内的射影，，而在中，，所以，，故与所成角不可能为，故C错误；对D，当时，，故在线段上，如图以为原点建立空间直角坐标系，设，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，设与平面所成角为，所以，设，，则，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以，，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据向量关系结合条件得到点的位置，然后结合条件利用立体几何知识解决即得.20．（多选）在棱长为1的正方体中，点为的中点，点，分别为线段，上的动点，则（

）A． B．平面可能经过顶点C．的最小值为 D．的最大值为【答案】ACD【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，用向量表示空间中的垂直关系，求点到平面的距离，以及空间角的计算，即可结合选项逐一求解．【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：则,0,,,0,,,1,,,1,,,1,,,0,,,0,,，1，，,1,，设,,，则,,，,；设,0,，则,0,,,，所以，1，，，，，，所以，即，A正确；因为,1,,,,，设平面的一个法向量为,,，则，即，令，则，，所以,,，又因为,1,，所以点到平面的距离为，所以点到平面的距离不能为0，即平面不过点，B错误；因为，当且仅当时取“”，所以的最小值为，C正确；因为,,，,,，，设，，，，，所以，，所以，，所以，，所以，，所以，，所以，，当时最大，此时，选项D正确．故选：ACD．

21．如图（1）所示，在中，，，，垂直平分．现将沿折起，使得二面角大小为，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点记作点）

(1)求点到面的距离；(2)求四棱锥外接球的体积；(3)点为一动点，满足，当直线与平面所成角最大时，试确定点的位置．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由已知可证得平面平面，取中点，连接，则有两两垂直，所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解，（2）连接，则四边形的外接圆圆心在的中点，外接圆的圆心为的三等分点，过点圆心分别作两面垂线，则垂线交点即为球心，连接，求出其长度可得外接球的半径，从而可求出外接球的体积，（3）由，表示出点的坐标，然后利用空间向量表示出直线与平面所成角的正弦值，求出其最大值可得答案.【详解】（1）由，，，得，，因为垂直平分，所以，所以为平面与平面的二面角的平面角，所以，，所以为等边三角形，取中点，连接，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，因为所以为二面角的平面角，所以，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设的一个法向量为，则，令，则又，所以点到面的距离；（2）连接，由，则四边形的外接圆圆心在的中点，为正三角形，则外接圆的圆心为的三等分点，过点圆心分别作两面垂线，则垂线交点即为球心，如图所示，连接，则即球的半径.在中，，则，在中，，所以由勾股定理得，则球的体积；

（3）设，由得，所以，得，，所以，设直线与平面所成角为（），则所以当时，取得最大值，此时直线与平面所成角最大，即当时，直线与平面所成角最大.

22．如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，为中点.底面为等腰三角形，为的中点.(1)证明：平面平面；(2)记二面角的大小为.①当时，求直线与平面所成角的正弦值.②当时，求直线与平面所成角的正弦的最大值.【答案】(1)证明见解析；(2)①，②最大值为【分析】（1）由三棱台性质及其边长即可证明平面，利用面面垂直的判定定理即可证明平面平面；（2）①由题意可知即为二面角的平面角，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，可得，平面的一个法向量为，把代入可得直线与平面所成角的正弦值为；②当时，，利用的范围即可求得直线与平面所成角的正弦的最大值为.【详解】（1）因为为等腰三角形，为的中点，所以，又因为侧面为等腰梯形，为的中点，所以，又平面，因此平面，平面，所以平面平面（2）在平面内，作，由（1）中平面平面，且平面平面，平面，可得平面；以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：又因为，，所以即为二面角的平面角，所以，在中，，易知，又，可得；所以，；即，设平面的一个法向量为，所以，可令，则，即；①当时，，，设直线与平面所成角的为，所以，即时，直线与平面所成角的正弦值为.②当时，，设，则在恒成立，所以在上单调递增，，即，易知，所以；易知当时，，所以当时，直线与平面所成角的正弦的最大值为.23．如图，在三棱锥中，的中点为.

(1)证明：直线平面；(2)若，当直线与平面所成的角最大时，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明，可得，结合线面垂直判定定理可证；（2），以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量表示出直线与平面所成角的正弦，结合基本不等式可得，然后可求体积.【详解】（1）如图，连接.

因为，所以.又因为为的中点，所以，所以.又因为为公共边，所以，所以，所以，又因为平面，所以平面.（2）过点作直线平面，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，所以，所以.设，则，于是.设平面的一个法向量为，由得可取.设直线与平面所成的角为，则，所以，，当且仅当，即时，等号成立，此时，直线与平面所成的角最大.此时三棱锥的体积.故当直线与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为.24．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的动点..

(1)证明：；(2)求平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.【答案】(1)证明见解析(2)最小值为，点为靠近的的四等分点【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量即可证明；（2）求出平面与平面DEF的法向量即可求解.【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，又底面，所以，，又因为，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，即两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则

，，，，，，，，设，所以，，因为，所以，即.（2）设平面的法向量为，因为，，所以，令，则，平面的一个法向量为，设平面与平面DEF所成的二面角为，则，当时，取最小值为，此时取得最大值，所以，所以平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值为，此时点为靠近的的四等分点.题型四 距离的最值范围问题25．在长方体中，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面APC距离的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以点D为原点建立空间直角坐标系，表示出的坐标，然后求出平面APC的法向量，表示出点B到平面APC的距离为，即可得到其最大值.【详解】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设，则，，，，则，故，又，，于是，设平面APC的法向量，则有，可取，则点B到平面APC的距离为，当时，点B到平面APC的距离为0，当时，，当且仅当时，取等号，所以点B到平面APC的最大距离为，故选:D．26．如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】利用坐标法，设，可得动点P到直线的距离为，然后利用二次函数的性质即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，设，则，∴动点P到直线的距离为，当时取等号，即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故选：D.27．（多选）在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（

）A．顶点到平面的最大距离为 B．存在点，使得平面C．的最小值 D．当为中点时，为钝角【答案】ABC【分析】对A，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到平面的距离，分析即可判断A；对B，当平面，则，则有，求出，即可判断B；对C，当时，取得最小值，结合B即可判断C；对D，设，当为中点时，根据判断得符号即可判断D.【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，则，则，故，则，，对于A，，设平面的法向量，则有，可取，则点到平面的距离为，当时，点到平面的距离为0，当时，，当且仅当时，取等号，所以点到平面的最大距离为，故A正确.当平面，因为平面，所以，则，解得，故存在点，使得平面，故B正确；对于C，当时