专题45 构造平行四边形问题（解析版）-中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题45构造平行四边形问题【规律总结】平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用。2.由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：(1)平行四边形对角相等；(2)平行四边形对边相等；(3)平行四边形对角线互相平分．3.除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【典例分析】例1．（2019·上海同济大学实验学校八年级月考）如图，中，点是的中点，，，则长（）．A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】求BE的长，可转化为，EF已知，只需求出BF的长即可，延长AD，使，连接BG，CG，判定四边形ABGC为平行四边形，在DG上取一点H，使，判断四边形BECI为平行四边形，求证即可求解．【详解】延长AD，使，连接BG，CG，∵，，∴四边形ABGC为平行四边形，∴，在DG上取一点H，使，连接并延长交于，

∵，∴四边形BECI为平行四边形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质即定理，以及两直线平行，内错角相等，学会运用辅助线作图以及熟练掌握平行四边形的性质即定理，以及两直线平行，内错角相等的定理是解答本题的关键．例2．（2020·浙江宁波市·八年级期中）如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】8【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×hCF的值即可．【详解】连接DE、EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥CD，∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，∴四边形ACFM是平行四边形，∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，同理△ADE的面积和△AME的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×hCF，∵△ABC的面积是24，BC＝3CF∴BC×hBC＝×3CF×hCF＝24，∴CF×hCF＝16，∴阴影部分的面积是×16＝8，故答案为：8．【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，同底等高三角形面积的关系，解题中注意阴影部分面积的求法，根据图形的特点选择正确的求法是解题的关键．例3．（2020·四川成都市·双流中学九年级期中）如图，点是正方形中延长线上一点，对角线相交于点，连接，分别交于点，过点作的垂线，垂足为点，交线段于．（1）若，求的大小．（2）求证：．（3）若正方形的边长为1，，求的长．【答案】（1）25°；（2）证明见详解；（3）【分析】（1）由正方形性质得到∠DBP的度数，利用外角性质得到∠GEB的度数，再由直角三角形两锐角互余，即可得到∠GBE的度数；（2）连接CE，证△ECF与△EPC，可得EC的平方与EF和EP的关系，再根据正方形性质得到EA=EC，即可得到结论；（3）利用三角函数值求出DM的长，再利用△ABG和△ABP相似求出AG长，证明四边形ACPD是平行四边形可得∠DPA与∠GAH相等，则它们的三角函数值相等，通过∠GAH的正切值即可得到HG的长；【详解】（1）∵四边形是正方形，是正方形的对角线，∴，∵中，∴，∵，∴；（2）如图所示，连接，∵四边形是正方形，∴关于对称，即，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；（3）∵正方形的边长为1，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，连接，∵，∴四边形为平行四边形，∴，过点作于，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，即的长为．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定、三角函数值、平行四边形的性质和判定等知识点，正确添加辅助线，确定相似三角形是解题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·宁夏中考真题）如图，菱形的边长为13，对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则（）A．13 B．10 C．12 D．5【答案】B【分析】连接对角线BD，交AC于点O，求证四边形BDEG是平行四边形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．【详解】连接BD，交AC于点O，由题意知：菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB=BC=CD=DA=13，EFBD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，又∵ABCD，EFBD∴DEBG，BDEG在四边形BDEG中，∵DEBG，BDEG∴四边形BDEG是平行四边形∴BD=EG在△COD中，∵OC⊥OD，CD=13，CO=12∴OD=OB=5∴BD=EG=10故选B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．2．（2020·眉山市东坡区东坡中学八年级期中）在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG//BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t，当t为()s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形？（）A．2 B．3 C．6 D．2或6【答案】D【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【详解】①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BC-BF=6-2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，即t=6-2t，解得：t=2；②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BF-BC=2t-6（cm），∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t=2t-6，解得：t=6；综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．二、填空题3．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，在梯形中，，对角线，且，则梯形的中位线的长为_________.【答案】5【解析】【详解】解：过C作CE∥BD交AB的延长线于E，

∵AB∥CD，CE∥BD，

∴四边形DBEC是平行四边形，

∴CE=BD，BE=CD

∵等腰梯形ABCD中，AC=BD∴CE=AC

∵AC⊥BD，CE∥BD，

∴CE⊥AC

∴△ACE是等腰直角三角形，

∵AC=，

∴AE=AC=10，∴AB+CD=AB+BE=10，

∴梯形的中位线=AE=5，

故答案为：5．【点睛】本题考查了梯形的中位线定理，牢记定理是解答本题的重点，难点是题目中的辅助线的做法．三、解答题4．（2020·浙江温州市·实验中学八年级期中）如图1，在▱ABCD中，BD＝6，∠ABC＝45°，∠DBC＝30°，动点E在边上，，动点F在射线BD上，BF＝5x．（1）若点P是BC边上一点，在点E，F运动过程中，是否存在x的值，使得以P，D，E，F顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．（2）如图2，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于点G．过点E作交DG的于点H连接FH，把△DHF沿FH翻折得到△D'HF，当D'F与△DBG的一边平行时，HG的长．（直接写出答案）【答案】（1）满足条件的x的值为或2；（2）满足条件的GH的值为或或．【分析】（1）分两种情形：如图1﹣1中，当点F在线段BD上时，即0≤x≤1.2时，四边形PEDF是平行四边形，如图1﹣2中，当点F在BD的延长线上时，即x＞1.2时，四边形DPEF是平行四边形，分别构建方程求解即可．（2）分三种情形：如图2﹣1中，当D′F∥DG时，如图2﹣2中，当FD′∥BC时，设HD′交BD于R．如图2﹣3中，当FD′∥DG时，四边形FDHD′是菱形，分别构建方程求解即可．【详解】解：（1）如图1﹣1中，当点F在线段BD上时，即0≤x≤1.2时，四边形PEDF是平行四边形，过点E作EJ⊥CG于J．由题意，DF＝PE＝6﹣5x，CE＝x，∵AB∥CD，∴∠ECJ＝∠ABC＝45°，∴EJ＝CJ＝x，∵PE∥BD，∴∠EPJ＝∠DBC＝30°，∴PE＝2EJ，∴6﹣5x＝2x，∴x＝．如图1﹣2中，当点F在BD的延长线上时，即x＞1.2时，四边形DPEF是平行四边形，同法可得，DF＝PE＝2EJ，∴5x﹣6＝2x，∴x＝2，综上所述，满足条件的x的值为或2．（2）如图2﹣1中，当D′F∥DG时，过点E作ET⊥BG于T．∵∠ECT＝45°，EC＝x，∠ETC＝90°，∴ET＝CT＝x，∵EH⊥DG，DG⊥BG，∴∠ETG＝∠EHG＝∠HGT＝90°，∴四边形ETGH是矩形，∴HG＝ET＝x，由题意，DF=D′F，D′F∥DH，∠BDH=60°，∴∠D′HG=∠FD′H=60°，∴FD//D′H∴四边形DFD′H是菱形，∴DF＝DH＝3﹣x，∴6﹣5x＝3﹣x，∴x＝．如图2﹣2中，当FD′∥BC时，设HD′交BD于R．∵FD′∥BC，∴∠D′FR＝∠DBC＝30°，∵∠D′＝∠BDG＝60°，∴∠DRH＝90°，∴DR＝DH＝（3﹣x）．RH＝DR＝（3﹣x），∵RD′＝D′H﹣RH＝3﹣x﹣（3﹣x），∴FR＝D′R＝[3﹣x﹣（3﹣x）]，∵FR+DF＝DR，∴[3﹣x﹣（3﹣x）]+6﹣5x＝（3﹣x），∴x＝．如图2﹣3中，当FD′∥DG时，∠BDG=60°，∴∠DFD′=60°，∠HDF=120°，由折叠可知，DF=D′F，∠FD′H=120°，∴DF//HD′∴四边形FDHD′是菱形，∴DH＝DF，∴3﹣x＝5x﹣6，∴x＝，综上所述，满足条件的GH的值为或或．【点睛】本题考查平行四边形性质、矩形的性质和判定、菱形的性质和判定、解直角三角形、翻折变化等知识点，解题的关键是分类讨论，学会利用参数构建方程解决问题，属中考压轴题5．（2020·哈尔滨市第十七中学校八年级月考）已知，菱形中，，、分别是边和上的点，且．（1）求证：（2）如图2，在延长线上，且，求证：（3）如图3，在（2）的条件下，，，是的中点，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）7【分析】（1）连接AC，如图1，根据菱形的性质得AB=BC，而∠B=60°，则可判定△ABC为等边三角形，得到∠BAC=60°，AC=AB，易得∠ACF=60°，∠BAE=∠CAF，然后利用ASA可证明△AEB≌△AFC，即可解答；（2）过点F作FH∥AB，交CB的延长线于点H，利用平行线的性质求得△FHC是等边三角形，得到CF=CH=FH，然后利用AAS定理求得△HBF≌△CEF，从而问题得解；（3）过点B作BK∥FC，交HF于点K，根据两组对边分别平行求得四边形KBAF是平行四边形，从而求得，FK=16，过点A作AM⊥FH，然后利用含30°的直角三角形的性质求得MF=,，从而求得KM=13，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）连接AC，如图1，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB，∴∠BAE+∠EAC=60°，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACP=60°，∵∠EAP=60°，即∠EAC+∠CAP=60°，∴∠BAE=∠CAP，在△AEB和△APC中，，∴△AEB≌△APC，∴BE=CF∴；（2）过点F作FH∥AB，交CB的延长线于点H∵FH∥AB∴∠H=∠CGH=60°∴△FHC是等边三角形∴CF=CH=FH又∵△ABC是等边三角形∴CA=CB∴AF=BH又∵FB=FE∴∠FEB=∠FEB，即∠FBH=∠FEC在△HBF和△CEF中∴△HBF≌△CEF∴BH=EC∴AF=EC（3）过点B作BK∥FC，交HF于点K，∵BK∥FC，FH∥AB∴四边形KBAF是平行四边形∴KB=AF=EC=6，∴FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=16过点A作AM⊥FH由（2）可知，∠CFH=60°∴在Rt△AMF中，∠MAF=30°∴MF=,∴KM=16-3=13在Rt△AKM中，∴AO=7．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，及平行四边形的判定和性质，题目有一定的综合性，正确添加辅助线解题是关键的突破点．6．（2020·江西九年级一模）如图，反比例函数y＝（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B，（1）求反比例函数和直线AC的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有D点的坐标．【答案】（1）反比例函数解析式为：y＝；直线AC的解析式为：y＝﹣x+8；（2）3；（3）符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．【分析】（1）将A点的坐标代入反比例函数y＝求得k的值，然后将A，C坐标代入直线解析式解答即可；（2）把x=6代入反比例函数解析式求得相应的y的值，即得点B的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可；

（3）使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平