专题18 等腰直角三角形构建三垂直全等问题（解析版）-中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题18等腰直角三角形构建三垂直全等问题【规律总结】【典例分析】例1．（2020·无锡市玉祁初级中学八年级月考）如图，，，，，垂足分别为、，，，则的长（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】证△CEB和△ADC全等，得到BE和CD相等，CE和AD相等，即可得到结论；【详解】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA，在△CEB和△ADC中，∴△CEB≌△ADC∴BE=DC，CE=AD∵AD=2.5cm，DE=1.7cm，∴CE=1.7cm，∴DC=CE-DE=0.8cm，∴BE=0.8cm；故选：A．【点睛】本题考查垂直性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的性质和判定，证明三角形全等是解题的关键．例2．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，以为直角边作等腰直角三角形，斜边交线段于点，若，则的长为________．【答案】3【分析】作DG⊥AC于G，EH⊥AC于H，则∠DGM＝∠MHE＝90°，DG∥BC，由勾股定理得出BC＝6，证出DG是△ABC的中位线，得出DG＝BC＝3，AG＝CG＝AC＝4，证明△MDG≌△EMH（ASA），得出MG＝EH，由三角形面积关系得出DG＝2EH＝3，得出MG＝EH＝，再证明∆DGF~∆EHF，从而求出GF，进而即可得出答案．【详解】作DG⊥AC于G，EH⊥AC于H，如图所示：则∠DGM＝∠MHE＝90°，DG∥BC，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝，∵DG∥BC，D是AB的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG＝BC＝3，AG＝CG＝AC＝4，∵△DME是等腰直角三角形，∴∠DME＝90°，DM＝ME，∵∠DMG＋∠GDM＝∠DMG＋∠EMH＝90°，∴∠GDM＝∠EMH，在△MDG和△EMH中，∴△MDG≌△EMH（ASA），∴MG＝EH，∵S△MDF＝2S△MEF，∴DG＝2EH＝3，∴MG＝EH＝，∵DG∥EH，∴∆DGF~∆EHF，∴，∵GH=MH-MG=DG-MG=3-=，∴GF=×=1，∴CF=AC-AG-GF=8-4-1=3，故答案是：3．．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质；添加辅助线，构造三角形全等是解题的关键．例3．（2021·江苏连云港市·八年级期末）如图1所示，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于、两点．（1）当时，求直线的解析式；（2）在（1）的条件下，如图2所示，设线段延长线上一点，作直线，过、两点分别作于点，于点，若，BN=3，求的长；（3）如图3，当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，分别以、为边，点为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，当点在轴正半轴上运动时，试猜想的面积是否改变；若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由．（4）如图3，当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，以为边，点为直角顶点，在第二象限作等腰直角，则动点在直线______上运动．（直接写出直线的解析式）【答案】（1）y＝x＋5；（2）7；（3）的面积不改变，；（4）y=5-x．【分析】（1）令y＝0可求得x＝−5，从而可求得点A的坐标，令x＝0得y＝5m，由OA＝OB可知点B的纵坐标为5，从而可求得m的值；（2）依据AAS证明△AMO≌△ONB，由全等三角形的性质可知ON＝AM，OM＝BN，最后由MN＝AM＋BN可求得MN的长；（3）过点E作EG⊥y轴于G点，先证明△ABO≌△EGB，从而得到BG＝5，然后证明△BFP≌△GEP，从而得到BP＝GP＝BG，进而求出的面积；（4）由△ABO≌△BEG，得BG＝AO＝5，OB＝EG=5m（m＞0），从而得到点E的坐标，进而即可得到答案．【详解】（1）令y=0，代入，得，解得：x=-5，令x=0，代入，得y=5m，∴A（−5，0），B（0，5m），∵OA＝OB，∴5m＝5，即m＝1．∴直线的解析式为：y＝x＋5；（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，∴∠AMO＝∠BNO＝90°，∴∠AOM＋∠MAO＝90°，∵∠AOM＋∠BON＝90°，∴∠MAO＝∠NOB，在△AMO和△ONB中，，∴△AMO≌△ONB，∴ON＝AM，OM＝BN．∵AM＝4，BN＝3，∴MN＝AM＋BN＝7；（3）的面积不改变，理由如下：如图3所示：过点E作EG⊥y轴于G点，连接AP，∵△AEB为等腰直角三角形，∴AB＝EB，∠ABO＋∠EBG＝90°，∵EG⊥BG，∴∠GEB＋∠EBG＝90°．∴∠ABO＝∠GEB．在△ABO和△EGB中，∴△ABO≌△BEG，∴BG＝AO＝5，OB＝EG，∵△OBF为等腰直角三角形，∴OB＝BF，∴BF＝EG．在△BFP和△GEP中，∴△BFP≌△GEP，∴BP＝GP＝BG＝，∴的面积=BP∙OA=××5=；（4）由（3）可知：△ABO≌△BEG，∴BG＝AO＝5，OB＝EG=5m（m＞0）∴OG=5+5m，∵点E在第二象限，∴点E（-5m，5+5m），设x=-5m，y=5+5m，∴y=5-x，即动点在直线y=5-x上运动，故答案是：y=5-x．【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质与几何图形的综合，添加合适的辅助线构造“一线三直角”全等三角形模型，是解题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）如图，反比例函数的图象经过等腰直角三角形的顶点和顶点，反比例函数的图象经过等腰直角三角形的顶点，，边交轴于点，若，点的纵坐标为1，则的值是（）A． B． C． D．-6【答案】A【分析】根据等腰直角三角形的性质，利用“三垂直”模型构造全等，再运用数形结合的思想进行求解即可．【详解】如图，过点作直线轴，再过，分别做直线的垂线，垂足为，则有，，，设，其中，，点的横坐标可表示为，代入，解得，故，且由题知：，，，，，由①解得或（不合题意，舍去），则，，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，能够根据等腰直角三角形的性质结合“三垂直”构造全等三角形，进而转化为线段关系求解是解题的关键．2．（2020·福建龙岩市·八年级期末）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，以为腰作等腰直角三角形，则直线的解析式是（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CE⊥x轴于点E，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAE，得出C点坐标，用待定系数法即可求出直线BC的解析式．【详解】解：∵一次函数y=x+2中，

令x=0得：y=2；令y=0，解得x=5，

∴B的坐标是（0，2），A的坐标是（5，0）．

若∠BAC=90°，如图1，作CE⊥x轴于点E，

∵∠BAC=90°，

∴∠OAB+∠CAE=90°，

又∵∠CAE+∠ACE=90°，

∴∠ACE=∠BAO．

在△ABO与△CAE中，

，

∴△ABO≌△CAE（AAS），

∴OB=AE=2，OA=CE=5，

∴OE=OA+AE=2+5=7．

则C的坐标是（7，5）．

设直线BC的解析式是y=kx+b，

根据题意得：解得，

∴直线BC的解析式是y=x+2．

若∠CBA=90°，如图2，即BC⊥AB，

同理可得，直线BC解析式为：y=x+2；

故选：D．【点睛】本题考查的是一次函数问题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．二、填空题3．（2020·沙坪坝区·重庆八中八年级月考）如图，点的坐标为，点的坐标为，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰，等腰，连接交轴于点，点的坐标是______．【答案】【分析】作轴于，求出，证，得BN=AO，再由，证，推出=2，由点的坐标为即可得出点的坐标为．【详解】解：如图，作轴于，，，，，在和中，，，OA=BN，在和中，，，，又因为点的坐标为，，，又∵点的坐标为，∴点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应角相等，对应边相等．4．（2020·重庆南开中学七年级期末）如图，点在线段上，于，于，，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿…运动），当点到达终点时，，同时停止运动.过，分别作的垂线，垂足为，.设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为__________．【答案】1或或【分析】根据题意分三种情况进行讨论，并由全等三角形的判定和性质进行分析即可求解．【详解】解：①当点P在AC上，点Q在CE上时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC=CQ，∴5-2t=6-3t，∴t=1，②当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC=CQ，∴5-2t=3t-6，∴t=，③当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC=CQ，∴2t-5=18-3t，∴t=，综上所述：t的值为1或或．故答案为：1或或．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．三、解答题5．（2021·上海九年级专题练习）已知是等腰直角三角形，，．直角顶点C在x轴上，锐角顶点B在y轴上，过点A作轴，垂足为点D．当点B不动，点C在x轴上滑动的过程中．（1）如图1，当点C的坐标是，点A的坐标是时，请求出点B的坐标；（2）如图2，当点C的坐标是时，请写出点A的坐标；（3）如图3，过点A作直线轴，交y轴于点E，交BC延长线于点F．AC与y轴交于点G．当y轴恰好平分时，请写出AE与BG的数量关系．【答案】（1）（0，2）；（2）（-1，-1）；（3）BG=2AE，理由见详解【分析】（1）先证明Rt∆ADC≅Rt∆COB，结合条件，即可得到答案；（2）先证明∆ADC≅∆COB，结合点B，C的坐标，求出AD，OD的长，即可得到答案；（3）先证明∆BGC≅∆AFC，再证明∆ABE≅∆FBE，进而即可得到答案．【详解】（1）∵点C的坐标是，点A的坐标是，∴AD=OC，又∵AC=BC，∴Rt∆ADC≅Rt∆COB（HL），∴OB=CD=2，∴点B的坐标是（0，2）；（2）∵AD⊥x轴，∴∠DAC+∠ACD=90°，又∵∠OCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠OCB，又∵∠ADC=∠COB=90°，AC=BC，∴∆ADC≅∆COB（AAS），∵点C的坐标是∴AD=OC=1，∵点B的坐标是（0，2），∴CD=OB=2，∴OD=2-1=1，∴点A的坐标是（-1，-1）；（3）BG=2AE，理由如下：∵是等腰直角三角形，，，轴，∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AEG=90°，∴∠GBC+∠BGC=90°，∠GAE+∠AGE=90°，又∵∠BGC=∠AGE，∴∠GBC=∠FAC，在∆BGC和∆AFC中，∵∠GBC=∠FAC，，∠GBC=∠FAC，∴∆BGC≅∆AFC（ASA），∴BG=AF，∵BE⊥AF，y轴恰好平分，∴∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE，∴∆ABE≅∆FBE，∴AE=FE，∴AF=2AE∴BG=2AE．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三垂直”模型，是解题的关键．6．（2020·四川大学附属中学西区学校八年级期中）在直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．（1）如图①，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰，若已知，，试求C点的坐标．（2）如图②，若点A的坐标为，点B的坐标为，点D的纵坐标为b，以B为顶点，为腰作等腰，当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，求式子的值．（3）如图③，E为x轴负半轴上的一点，且，于点F，以OB为边作等边，连接EM交OF于点N，求式子的值．【答案】（1）；（2）0；（3）2【分析】（1）作CQ⊥OA于点Q，可以证明△AQC≌△BOA，由QC＝AO，AQ＝BO，再由条件就可以求出C的坐标．（2）作DP⊥OB于点P，可以证明△AOB≌△BPD，则有AO＝BP＝OB−PO＝−a−（−b）＝b−a为定值．（3）作BH⊥EB于B，由条件可以得出∠1＝30°，∠2＝∠3＝∠EMO＝15°，∠EOF＝∠BMG＝45°，EO＝BM，可以证明△ENO≌△BGM，则GM＝ON，就有EM−ON＝EM−GM＝EG，最后由含30°的直角三角形的性质就可以得出EN＝EM−ON的一半即可得．【详解】（1）如图（1）作于点