4.2.1等差数列的概念课件-高二上学期数学人教A版选择性2

4.2.1等差数列的概念第四章

数列2024/1/124.2等差数列高二数学备课组引

入事实下定义表示方法性质特殊元素1.数列的定义：按确定的顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做数列的项.如果数列的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式.2.数列的通项公式：3.数列的递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.问题1请看下面几个问题中的数列，你能发现他们的规律吗？引

入

1.北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外的石板数依次为

圜丘坛是我国明朝嘉庆年间建立的一个三层露天圆台，别名祭天台，有圜丘，皇穹宇、神厨、三库及宰牲亭等组成。其位于天坛南部，为皇帝冬至日祭天大典的场所.9，18，27，36，45，54，63，72，81.①

引

入2.XXS,XS,S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的意大利尺码分别是：34，36，38，40，42，44，46，48②探究新知3.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为：

25，24，23，22，21．

③4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b(=a/12n)元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为

ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,...④探究新知对于数列①，我们发现：18＝9＋9，27＝18＋9，…，81＝72＋9，换一种写法，就是：18－9＝9，27－18＝9，…，81－72＝9.如果用{an}表示数列①，则有：a2－a1＝9，a3－a2＝9，…，a9－a8＝9.9，18，27，36，45，54，63，72，81.①

34，36，38，40，42，44，46，48②25，24，23，22，21．

③ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,...④问题1请看下面几个问题中的数列，你能发现他们的规律吗？追问：你能写出它的递推公式吗？从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.数列②—④也有这样的取值规律an+1-an=9探究新知

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列.【注意】①判断一个数列是不是等差数列，由定义判断：an+1-an是不是同一个常数？②公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，千万别把被减数与减数弄颠倒了！！③公差可以是正数，负数，也可以为0.1.等差数列的定义

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.符号表示：an+1-an=d（d为常数，n∈N*）例如数列①②③④的公差依次为9,2,-0.6,-br.探究新知1.判断对错：1.常数列是等差数列.()2.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()

差都是同一个常数.3.数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列.(){an}不一定是等差数列，忽略了第1项.4.数列a，2a，3a，4a，…是等差数列

（

）5.数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列（

）6.若an－an+1=3（n∈N*），则{an}是公差为3的等差数列（

）7.若a2－a1=a3－a2，则数列{an}是等差数列（

）√××√√××探究新知2.判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差（1）1，3，5，7，9，2，4，6，8，10（2）3，3，3，3，3，3（3）3x，6x，9x，12x，15x（4）95，82，69，56，43，30（5）1，，，，（6）1，－2，3，－4，5，－6（7）a1=3，公差d=0常数列a1=3x公差

d=3x×a1=95公差

d=－13××a1=1公差

d=探究新知3.在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：（1）2，（），4（2）-12，（），03-6由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项.2.等差中项由等差数列的定义可知问题2如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？由等差数列的定义，有：A－a＝b－A，所以2A＝a＋b，即探究新知练习3写出等差中项（1）2，___，4；（2）－1，___，5；（3）a

，_______，b；（4）0，___，0.320例题讲解

a2=a1+da3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2da4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d

…an=an-1+d=a1+（n-1）d（n≥2）又∵当n=1时，上式也成立∴an=a1+（n-1）d方法1：由等差数列的定义可得不完全归纳法an+1-an=d问题3

你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？例题讲解

问题3

你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？∴a2-a1=da3-a2=da4-a3=d

…an-an-1=d（n≥2）累加以上n-1个式子得an-a1=（n-1）d方法2：∵由等差数列的定义可得累加法又∵当n=1时，上式也成立

∴an=a1+（n-1）dan+1-an=d∴

an=a1+（n-1）d例题讲解练习4求下列等差数列的通项公式（1）9，18，27，36，45，54，63，72...（2）38，40，42，44，46，48...（3）25，24，23，22，21.

（1）an=9+（n－1）×9=9n

（2）an=38+（n－1）×2=2n+36（3）an=25+（n－1）×（-1）=－n+26(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；3.等差数列的通项公式a1

、an、n、d知三求一首项a1公差d的等差数列{an}的通项公式为(2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差从而可求等差数列中的任一项；通项公式的一般形式：an＝am＋（n－m）d(3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项．例题讲解①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点（n，an）组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.②任给一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数），则f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为________，公差为____.（k＋b）k4.等差数列与一次函数的关系问题4

我们知道数列是自变量为n的函数，你认为等差数列与我们熟悉的哪一类函数有关？

an＝a1＋（n－1）d=dn＋（a1－d）③等差数列{an}的单调性与公差d有关.当d>0时，等差数列{an}为递增数列；

当d＝0时，等差数列{an}为常数列；

当d<0时，等差数列{an}为递减数列．

课堂练习在数列{an}中,

an=pn+q(p、q是常数)，证明数列{an}是等差数列.证明:an+1-an=[p(n+1)+q]-(pn+q)

=

p(n∈N*),故该数列为等差数列.结论：数列{an}是等差数列⟺an=pn+q(p、q是常数).课堂练习

方法符号语言结论定义法{an}是等差数列等差中项法通项公式为

n

的一次函数判断一个数列是否为等差数列有以下方法：探究新知例1(1)已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}公差和首项;

(2)求等差数列8，5，2，···的第20项.解:(1)当n≥2时，由{an}的通项公式为an＝5－2n，可得

an－1＝5－2(n－1)

＝7－2n.

于是d＝an－an-1＝5－2n－(7－2n)＝－2，

a1＝5－2＝3.∴{an}公差为－2，首项为3.(2)由已知条件，得d＝5－8＝－3，a1＝8.∴an＝a1＋

(n－1)d＝8－3(n－1)＝－3n＋11.

∴a20＝－3×20＋11＝－49.例题讲解在下列等差数列{an}中，（1）已知a1=2，d=3，n=10，求a10解：a10=a1+9d=2+9×3=29（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n解：∵21=3+（n-1）×2∴n=10（3）已知a1=12，a6=27，求d解：∵a6=a1+5d，即27=12+5d

∴d=3（4）已知d=-1/3，a7=8，求a1解：∵a7=a1+6d8=a1+6×（-1/3）∴a1=10探究新知例2－401是不是等差数列－5，－9，－13，···的项？如果是，是第几项？解:由a1＝－5，d＝－9＋(－5)＝－4，得数列{an}的通项公式为

an＝a1＋(n－1)d

＝－5－4(n－1)＝－4n－1.

设

－4n－1＝－401，解得

n＝100.

∴－401是这个数列第100项.变式已知在等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？例题讲解3.已知{an}是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数.4.已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12.

求a4.a1a3a5a7d－782－6.515－11－24例题讲解5.在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列.例题讲解

6.

在等差数列中，已知a5=10，a12=31，求首项与公差.解：设数列的首项为a1与公差为d由题意可知即这个等差数列的首项是-２，公差是３.

解得探究新知思考:an=a1

+(n-1)dam=a1

+(m-1)dan-am

=(n-m)dd=an-am

/(n-m)am=?an-am

=?an

=am+(n-m)d例题讲解

等差数列的判定与证明例题讲解等差中项的性质例4

已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？解：设等差数列的前三项分别为

，

，

，即

，

，.则

，解得

，又∵{an}是递减等差数列，所以d<0.故

，

，通项公式.令

，解得

，所以-34是数列的第10项.课堂练习(1)在等差数列中，由定义有

，即，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d

.此题巧妙地设出了等差数列的前三项，大大地减少了运算量，为解题带来极大的方便，这种设法称为对称项设法.

课堂练习7.已知等差数列{