沪科版八年级下第19章 四边形19.2 平行四边形“衡水赛”一等奖

平行四边形的性质（2）平行四边形的对边平行且相等；BDCA平行四边形的对角相等；邻角互补.平行四边形是中心对称图形.有两组对边分别平行的四边形是平行四边形.例1已知：如图，□ABCD中，AB=4，AD=5，∠B=45°.求直线AD和直线BC之间的距离，直线AB和直线DC之间的距离.┌┐DFECBA解过点A作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为点E、点F,∴线段AE，AF的长分别为点A到直线BC和直线CD的距离,线段AF的长为直线AB和直线CD之间的距离.∵在Rt∆ABE中，∠AEB=90°，∠B=45°，AB=4，∴∠B=∠BAE.∴BE=AE.又∵AE²+BE²=AB²,∴2AE²=16.∴AE=同理：AF=所以直线AD和直线BC之间的距离为，直线AB和直线CD之间的距离为.例题解析例2已知：如图，过∆ABC的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得∆A'B'C'.求证：∆ABC的顶点分别是∆A'B'C'三边的中点.A'B'C'CBA证明：∵AB//B'C',BC//AB',∴四边形ABCB'是平行四边形，∴AB'=BC.同理：AC'=BC.∴AB'=AC'.同理：BC'=BA',CA'=CB'.所以∆ABC的顶点分别是∆A'B'C'三边的中点.如图，□ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,图中共有几对全等三角形？有哪些线段相等？你能发现平行四边形的对角线有什么性质吗？DCBAO∆AOD≌∆COB∆DOC≌∆BOA∆ABD≌∆CDB∆ADC≌∆CBAAD=BCAB=CDOA=OCOB=OD证明：在□ABCD中，∵AB//DC,∴∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC.又AB=DC,∴∆OAB≌∆OCD.（ASA）∴OB=OD,OA=OC.性质3平行四边形对角线互相平分.探究例3已知：如图，□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB⊥AC,AB=3，AD=5，求BD的长.ODCBA解∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=5.∵AB⊥AC,∴∆ABC是直角三角形.心动不如行动，成功者是我吗？1.在□

ABCD中，对角线AC、BD的交点EF经过点O,AC=10cm,BD=8cm,若CD=x,则x的取值范围是2.在□ABCD中，AC=24cm,BD=38cm,AD=28cm,若对角线AC与BD的交点为点O，求∆OBC的周长.3.在□ABCD中，对角线AC与BD互相垂直，那么，这个四边形的邻边有什么关系，为什么？4.如图，有一个形状是四边形的池塘，在它的四个角上各有一棵树，现准备把池塘的面积扩大一倍，形状改成平行四边形，但不能移动四棵树的位置，你有办法吗？

A'D

C

B

A

B'

C'

D'5.如图所示，□ABCD的对角线AC、BD相交于O,EF经过点O与AD延长线交于E,与CB延长线交于F.问：OE与OF能相等吗？为什么？

O

F

E

D

C

B

A答：OE=OF.∵□ABCD的对角线AC、BD相交于O,∴OD=OB,AD//BC,∴∠E=∠F,在∆ODE和∆OBF中

∠E=∠F,∠DOE=∠BOF,OD=OB,∴∆ODE≌∆OBF,∴OE=OF.6.如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O,AB=4，AD=3，OF=1.3，求四边形BCEF的周长.

O

F

E

D

C

B

A解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=3，OD=OB,CD=AB=4，AB//CD,∴∠ODE=∠OBF,在∆ODE和∆OBF中

∠ODE≌∆OBF,OD=OB,

∠DOE=∠BOF,∴∆ODE≌∆OBF,∴OE=OF=1.3，DE=BF,四边形BCEF的周长为BF+BC+CE+EF=DE+BC+CE+OE+OF=9.61、(2010·台州中考)如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）()┌┌NaMCDBA2.（2009·桂林中考）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6,BC边上的高为4,则图中阴影部分的面积为