第10章-二维双树复小波变换及应用

第10章二维双树复小波变换及其应用孙延奎清华大学计算机科学与技术系内容提要

二维双树复小波变换

小波纹理特征提取在图像检索、图像分类中的应用

二维Gabor小波纹理特征提取与图像检索

二维双树复小波纹理提取与图像检索水印、降噪、图像配准、图像融合、分类应用等一维双树复小波

满足如下性质的复小波称为双树复小波(DT-CWT)为实部且为偶函数，正交或双正交小波为虚部且为奇函数，正交或双正交小波

与彼此构成一个希尔伯特变换对。Hilbert变换对应的傅里叶变换二维双树复小波变换及实现二维双树实小波变换二维双树复小波变换二维双树复小波的构造

由一维双树复小波构造二维方向性小波

双树复小波构造沿用了可分离二维小波构造的方法，使

，即实部虚部

是复小波，其理想的傅里叶频谱为该小波具有方向性

的实部

实部由两个可分离（实）二维小波的差构成。二维双树复小波二维双树复小波6个不同的方向（时域）－45°－75°－15°15°45°75°实部虚部幅值二维双树复小波的实部取6个二维双树复小波的实部可得6个二维双树实小波。二维双树实小波变换的实现记

则都是可分离二维尺度函数与小波函数之差。二维双树实小波变换

都可由两个二维可分离实小波变换并行实现。具体实现方法如下：

对一个图像，用

实现一个二维可分离小波变换，

实现另一个，进行一次二维小波分解后可得到2个低频子带：2LL；6个高频子带：2个HL，2个LH，2个HH。每对子带的和或差构成低频系数

及6个方向小波的小波变换系数

。一维列变换一维行变换另外一个2D-DWT用g0,g1代替h0,h1二维双树实小波的性质是不可分离的二维实小波。具有很好的方向性与传统可分离的二维小波相比，每个方向小波都代表一个特定的方向，表示的方向也比可分离的2D-DWT多。－45°－75°－15°15°45°75°二维双树实小波变换特点优点二维双树实小波是二维不可分离小波，具有6个方向的选择性；可由可分离二维小波构造。二维双树实小波变换只需对两个可分离二维实小波变换的对应子带进行简单的加减运算来实现，不需设计新的滤波器缺点2倍冗余不具有复小波变换的平移不变性二维双树复小波的虚部都是不可分离的二维小波二维双树复小波变换定义可分离二维尺度函数与小波如下：则6个二维双树复小波的虚部为定义令则二维双树复尺度函数及6个复小波为相应的二维双树复小波变换为

我们已介绍过实部小波变换的实现，下面主要说明虚部小波变换的实现。

对于一个图像，1）使用滤波器

做行变换，再使用滤波器

做列变换，该2D-DWT得到1个低频子带LL和三个高频子带HL、LH、HH；2）使用滤波器

做行变换，再使用滤波器

做列变换，该2D-DWT得到1个低频子带LL和三个高频子带HL、LH、HH。每对子带的和或差构成低频系数

及6个方向小波的小波变换系数

。一维列变换一维行变换另外一个2D-DWT将g0,g1与h0,h1互换位置二维双树复小波变换特点优点良好的方向选择性（±15°,±45°,±75°）高效的计算效率实现简单，不需设计新的滤波器近似平移不变性缺点4倍冗余双树复小波变换实现代码参考网站/WaveletSoftware/双树复小波变换的应用最显著的优点平移不变性(shiftinvariance)方向选择性(directionalselectivity)近似平移不变性的产生是因为实部小波和复部小波互为希尔伯特变换对，二者可以互相补偿；同时采用上下两颗树，可以大大减少传统DWT由于严格二抽样造成的混叠。二维双树复小波变换不仅可以表示更多方向的信息，而且它的方向选择性使其能近似地满足旋转不变性。这些性质使双树复小波在图像处理、数字水印等领域有非常广泛的应用。双树复小波变换的应用图像压缩图像滤波与去噪纹理特征提取数字水印图像融合

基于小波的阈值收缩法Donoho等：硬阈值和软阈值算法软阈值：硬阈值：Levent等：利用尺度间的相关性，定义双变量收缩函数，使用DT-CWT

1.DonohoDL,JohnstoneIM.Idealspatialadaptationviawaveletshrinkage.Biometrica,19942.L.Sendur,I.W.Selesnick,"Bivariateshrinkagefunctionsforwavelet-baseddenoisingexploitinginterscaledependency",IEEETransactionsonSignalProcessing,Nov2002.

降噪小波纹理特征提取纹理的基本概念小波纹理特征提取纹理的基本概念纹理是图像分析中常用的一个概念,但目前对纹理尚无精确的定义,一般认为,纹理是在某一图像区域中,相邻像素的灰度或色调,颜色等服从某种统计排列规则而形成的一种空间分布。

大理石的纹理

豹身上的纹理描述纹理的方法纹理的特征是平移不变性，也即对纹理的视觉感知基本上与其在图像中的位置无关。小波变换作为一种多尺度分析工具，为不同尺度上信号的分析和表征提供了精确和统一的框架。在图像某些区域，纹理存在于大的尺度中，而在某些区域，纹理则可能存在于小的尺度中，因而小波变换成为多尺度纹理分析的有用工具。纹理分类(识别)的流程在整个过程中,纹理特征的提取是关键的一步,它在很大程度上决定了分类的效果;整个过程的后端则相对成熟,有很多通用的分类算法,如人工神经网络(ANN),支持向量机(SVM)等。纹理的复杂性决定了纹理特征提取的复杂性,很难找到一种通用的高效的描述纹理的方法。训练阶段:训练纹理样本特征提取特征向量分类器训练分类器(模型)分类阶段:新纹理图像特征向量特征提取分类

分类结果基于小波变换的纹理特征提取一种简单的基于小波变换的纹理特征提取流程如下图所示:首先,对纹理图像进行小波变换,然后通过变换系数来构造特征向量,一般选用变换系数的能量(Energy),熵(Entropy),均值(Mean)和标准差(StandardDeviation),即EEMSD,实验结果表明,使用这些特征的组合比单纯使用其中的一种特征所得到的分类精度高很多。基于小波变换的纹理特征提取P(i,j)为变换后的m×n子带在(i,j)处的幅值。

一般对图像进行多级分解,然后分别计算每一级分解后的子带图像的上述特征,使用它们的组合来构造纹理的特征向量，以达到好的分类效果。多尺度方向性小波纹理特征传统的小波变换纹理提取方法不具有旋转不变性和平移不变性。由于2D-DWT对方向/旋转变化比较敏感，具有不同方向的同一个图像具有不同的小波系数。因此，2D-DWT不能从小波系数中提取出方向变换的纹理特征。

多尺度方向性小波纹理特征提取方法

二维Gabor变换

二维双树复小波变换Gabor小波图像纹理特征描述同质纹理描述符（以下简称HTD）

HTD是MPEG-7标准中定义的一种用来对图像纹理进行描述的工具，它基于Gabor小波变换对图像进行不同方向不同尺度的滤波，从而得到图像在不同方向和尺度上的纹理特征图，由这些图像的均值与标准偏差构成HTD。Gabor滤波器函数在频域中的图像：5种尺度、6个角度具体计算二维Gabor函数及其傅立叶表示如下：其中Gabor函数形成了一个完备但非正交的基集。将g(x,y)看成母小波，它的伸缩与旋转形成一系列的Gabor小波。令m,n为整数K是方向数参数选取Gabor小波是非正交的，这样就会有信息的冗余。为了减少冗余，需要对上述公式中的参数进行设计。设计的方法就是保证滤波器的频率响应在半峰幅值处相切，这样参数的计算公式如下：其中S是尺度数；K是方向数；Ul和Uh是感兴趣的最低和最高中心频率，。B.S.Manjunath,W.Y.Ma.Texturefeaturesforbrowsingandretrievalofimagedata.IEEETransactionsonPatternAnalysisandMachineIntelligence,1996,18(8):837–842特征表示（HTD）对于图像I(x,y),它的Gabor小波变换定义如下：对于用每一个子滤波器进行滤波后的图像，分别求其均值和标准偏差如下利用和可构造特征向量。对于

，HTD特征向量可表示为：其中

是原图像的均值，

是原图像的标准偏差。由于选择的滤波器共有5个尺度、6个角度，所以共得到30幅滤波后的图像，纹理描述符共有62维。HTD相似性度量（即距离度量）可以把两幅图像的HTD相似性度量看作是两个62维的向量的距离度量，方法有很多种，最简单的比如说欧氏距离。一般的，相似性度量只需要符合这样一个原则就可以：纹理越相似的图像，其HTD距离越小，两幅同样的图像HTD距离应该为0。对于两个图像模式i和j,表示相应的特征向量，则它们在特征空间的距离可定义为

其中

和

分别是相应特征在整个数据库中的标准偏差（standarddeviations）,用于对每个特征分量进行归范化。图像检索举例采用纹理图像数据库Brodatz，共111幅大小为640*640的图像。对于每幅图像，将其切割成大小为160*160的16幅非重叠的子图像，由此创建一个由1776个纹理图像的数据库，检索图像i可以是其中任何一个。

按照选定的方法，计算被检索图像的特征向量。计算d(i,j),其中i为检索图像，j为数据库中任意图像模式。将计算的距离按照升序排列，取排在最前面的若干（比如15个）作为检索结果。取原始图像第12幅的第3个子图像作为检索的输入图像，使用基于Gabor的HTD描述符进行检索，得到结果及分析比较如下（左上角为输入图像，其余15幅为检索返回图像，从第一行到第四行，从左到右的顺序为返回图像和输入图像的相似度递减的顺序）Gabor小波变换的不足

Gabor小波变换在人脸特征提取方面具有重要应用…….

主要不足：Gabor小波基不是正交的，因此，它获得的图像纹理描述具有一定的相关性；此外，缺乏快速计算方法。基于双树复小波的HTD由于双树复小波变换也有尺度和角度上的变化，仿照前面的同质纹理描述符，可以定义一种基于双树小波的纹理描述符，对图像