应用工程数学

普通高等学校十三五规划教材

“”

应用工程数学

朱泰英刘三明郭鹏主编

内容简介

本书以优化结构逻辑清晰通俗易懂注重应用为原则采用应用型本科院校学生

、、、,

易于接受的方式深入浅出地讲解应用工程数学课程的基本内容以培养学生的应用

,“”,

能力

。

全书共分章第章是线性代数部分内容包括行列式矩阵矩阵的秩与线

14,1~5,、、

性方程组向量组的线性相关性与线性方程组解的结构相似矩阵与二次型第

、、;6~10

章是概率论部分内容包括随机事件与概率一维随机变量及其分布多维随机变量及

,、、

其分布随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理第章是复变函数和拉

、、;11~14

普拉斯变换部分内容包括复数与复变函数解析函数复变函数的积分拉普拉斯变

,、、、

换每章末均附有习题书后附有习题参考答案

。,。

本书适合作为应用型本科院校应用工程数学课程教材也可以作为一般工程技

“”,

术人员的参考书

。

图书在版编目(CIP)数据

应用工程数学朱泰英刘三明郭鹏主编北京中国

/,,.—:

铁道出版社有限公司

,2019.7

普通高等学校十三五规划教材

“”

ISBN978--7--113--25824--5

应朱刘郭工程数学高等

Ⅰ.①…Ⅱ.①…②…③…Ⅲ.①--

学校教材

--Ⅳ.①TB11

中国版本图书馆数据核字第号

CIP(2019)120697

书名:应用工程数学

作者:朱泰英刘三明郭鹏

策划:李小军读者热线:

(010)63550836

责任编辑:许璐徐盼欣

封面设计:刘颖

责任校对:张玉华

责任印制:郭向伟

出版发行:中国铁道出版社有限公司北京市西城区右安门西街号

(100054,8)

网址:

htt:///51eds/

印刷:三河p市宏盛印务p有限公司

版次:年月第版年月第次印刷

201971201971

开本:印张:字数:千

700mm×1000mm1/1619.75386

书号:

ISBN978--7--113--25824--5

定价:元

48.00

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凡购买铁道版图书如有印制质量问题请与本社教材图书营销部联系调换电话

,,。:(010)63550836

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前言

应用工程数学作为高等院校一门重要的应用性基础课程,它对提高学生的

素质,优化知识结构,培养科学思维能力、分析问题和解决工程问题能力,提高

创新意识,以及为后续专业课程的学习打下坚实的数学理论基础等方面具有重

要的作用。

针对目前国内开展的应用型本科院校转型发展的趋势,本书着眼于对工程

实践及经济问题的实际需要,注重阐明应用工程数学的基本知识和基本方法。

在教材体系与内容编写安排上,充分考虑应用型本科院校的实际教学特点,以

提高学生的素质能力为前提,以基本概念和基本方法为核心,适当精简结构,力

图做到优化结构、逻辑清晰、通俗易懂、注重应用,保证教材的科学性、系统性和

直观性,旨在培养学生把应用工程数学知识用于工程实践及经济问题的意识和

能力,以适用于应用型本科人才的培养。

全书内容共分章,第章是线性代数部分,内容包括行列式、矩阵、

141~5

矩阵的秩与线性方程组、向量组的线性相关性与线性方程组解的结构、相似矩

阵与二次型;第章是概率论部分,内容包括随机事件与概率、一维随机变

6~10

量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极

限定理;第章是复变函数和拉普拉斯变换部分,内容包括复数与复变函

11~14

数、解析函数、复变函数的积分、拉普拉斯变换。

本书由编者在多年教学实践基础上积累的教学资料和教材经过完善和整

理而成,由朱泰英、刘三明、郭鹏任主编。具体编写分工如下:第、章由

12

欧阳庚旭编写,第、章由刘三明编写,第章由程松林编写,第章由朱泰英

3456

编写,第、章由周钢编写,第、章由王玲编写,第章由郭鹏编写,第

789101112

章由杨伟编写,第章由戚建明编写,第章由戚建明、郭鹏和杨伟编写。全

1314

书由朱泰英、刘三明、郭鹏统稿、定稿。

本书适合作为应用型本科院校“应用工程数学”课程教材,也可以作为一般

工程技术人员的参考书。

在编写过程中,我们参考了大量的国内外资料及教材,在此向其作者表示

衷心的感谢。

限于编者水平和时间,书中疏漏之处在所难免,恳请读者指正,以便以后完

善提高。

编者

年月

20194

目录

第1章行列式………………………

1

二阶行列式与三阶行列式………………

§1.11

二阶行列式的定义三阶行列式的定义

1.1.1(1)1.1.2(2)

n阶行列式的定义及性质………………

§1.24

n阶行列式的定义n阶行列式的性质

1.2.1(4)1.2.2(7)

行列式的计算……………

§1.311

克拉默法则………………

§1.416

习题……………

120

第2章矩阵………………………

23

矩阵及特殊矩阵…………

§2.123

矩阵的概念几种特殊矩阵

2.1.1(23)2.1.2(24)

矩阵的运算………………

§2.226

矩阵的线性运算矩阵与矩阵相乘

2.2.1(26)2.2.2(28)

矩阵的转置方阵的行列式

2.2.3(30)2.2.4(32)

矩阵的逆…………………

§2.332

逆矩阵的概念逆矩阵的运算性质

2.3.1(32)2.3.2(34)

矩阵方程矩阵多项式及其运算

2.3.3(35)2.3.4(36)

分块矩阵…………………

§2.437

分块矩阵的概念分块矩阵的运算

2.4.1(37)2.4.2(38)

常用的分块法

2.4.3(41)

习题……………

244

第3章矩阵的秩与线性方程组…………………

47

矩阵的初等变换及其标准形……………

§3.147

矩阵的初等变换矩阵的标准形

3.1.1(47)3.1.2(48)

初等矩阵…………………

§3.251

初等矩阵的定义及性质

3.2.1(51)

用初等变换求逆矩阵及解矩阵方程

3.2.2(55)

矩阵的秩…………………

§3.359

矩阵的秩的概念利用初等变换求矩阵的秩

3.3.1(59)3.3.2(61)

线性方程组的解…………

§3.462

问题的提出线性方程组解的判定

3.4.1(62)3.4.2(63)

应用工程数学

Ⅱ|

用初等行变换求解线性方程组

3.4.3(67)

习题……………

370

第4章向量组的线性相关性与线性方程组解的结构…………

74

n维向量及其线性组合…………………

§4.174

n维向量的概念向量组及其线性组合

4.1.1(74)4.1.2(76)

向量组的等价

4.1.3(79)

向量组的线性相关性……………………

§4.280

线性相关性的概念向量组线性相关性的判定

4.2.1(80)4.2.2(82)

向量组有限时等价的矩阵表示

4.2.3(84)

向量组的最大线性无关组与向量组的秩………………

§4.385

最大线性无关组向量组的秩

4.3.1(85)4.3.2(85)

向量组的秩与矩阵秩的关系

4.3.3(86)

向量组的秩及其最大线性无关组的求法

4.3.4(87)

线性方程组解的结构……………………

§4.488

齐次线性方程组解的结构

4.4.1(88)

非齐次线性方程组解的结构

4.4.2(93)

习题……………

495

第5章相似矩阵与二次型………

99

方阵的特征值和特征向量………………

§5.199

特征值与特征向量的概念特征值和特征向量的求法

5.1.1(99)5.1.2(100)

特征值和特征向量的性质

5.1.3(102)

相似矩阵与矩阵的对角化……………

§5.2103

相似矩阵方阵与对角矩阵相似的条件

5.2.1(104)5.2.2(104)

方阵对角化的步骤

5.2.3(104)

向量的内积长度及正交性……………

§5.3、106

向量的内积正交向量组

5.3.1(107)5.3.2(109)

向量组的单位正交化方法正交矩阵

5.3.3(110)5.3.4(112)

实对称矩阵的对角化…………………

§5.4113

实对称矩阵的特征值与特征向量的性质

5.4.1(113)

实对称矩阵对角化

5.4.2(114)

二次型…………………

§5.5117

二次型及其标准形二次型的矩阵表示

5.5.1(117)5.5.2(118)

矩阵的合同化二次型为标准形

5.5.3(120)5.5.4(120)

正定二次型

5.5.5(125)

习题……………

5126

目录

|Ⅲ

第6章随机事件与概率…………

129

随机事件………………

§6.1129

随机试验随机事件

6.1.1(129)6.1.2(130)

随机事件的关系与运算

6.1.3(131)

随机事件的概率………

§6.2133

频率概率的概念

6.2.1(134)6.2.2(134)

概率的性质古典概型

6.2.3(135)6.2.4(136)

几何概型

6.2.5(139)

条件概率与事件的独立性……………

§6.3140

条件概率乘法公式

6.3.1(140)6.3.2(141)

事件的独立性

6.3.3(142)

全概率公式与贝叶斯公式……………

§6.4144

全概率公式贝叶斯公式

6.4.1(144)6.4.2(145)

习题……………

6147

第7章一维随机变量及其分布…………………

151

随机变量及其分布函数………………

§7.1151

随机变量分布函数

7.1.1(151)7.1.2(152)

离散型随机变量及其分布……………

§7.2153

离散型随机变量的分布律

7.2.1(153)

常用离散型随机变量的分布律

7.2.2(155)

连续型随机变量及其分布……………

§7.3157

连续型随机变量及其概率密度

7.3.1(157)

常用连续型随机变量的概率密度

7.3.2(159)

随机变量函数的分布…………………

§7.4163

离散型随机变量函数的分布

7.4.1(164)

连续型随机变量函数的分布

7.4.2(164)

习题……………

7166

第8章多维随机变量及其分布…………………

170

二维随机变量及其联合分布…………

§8.1170

二维随机变量及其联合分布函数

8.1.1(170)

二维离散型随机变量及其联合分布律

8.1.2(171)

二维连续型随机变量及其联合概率密度

8.1.3(172)

边缘分布………………

§8.2173

二维随机变量的边缘分布函数

8.2.1(173)

二维离散型随机变量的边缘分布律

8.2.2(174)

应用工程数学

Ⅳ|

二维连续型随机变量的边缘概率密度

8.2.3(175)

条件分布………………

§8.3176

二维离散型随机变量的条件分布律

8.3.1(176)

二维连续型随机变量的条件概率密度

8.3.2(177)

随机变量的独立性……………………

§8.4178

随机变量独立性的定义

8.4.1(178)

二维离散型随机变量的独立性

8.4.2(179)

二维连续型随机变量的独立性

8.4.3(179)

二维随机变量函数的分布……………

§8.5180

二维离散型随机变量函数的分布

8.5.1(180)

二维连续型随机变量函数的分布

8.5.2(182)

习题……………

8184

第9章随机变量的数字特征……………………

190

数学期望………………

§9.1190

离散型随机变量的数学期望

9.1.1(190)

连续型随机变量的数学期望

9.1.2(192)

随机变量函数的数学期望

9.1.3(193)

数学期望的性质

9.1.4(197)

方差……………………

§9.2199

方差的定义方差的计算

9.2.1(199)9.2.2(200)

方差的性质

9.2.3(201)

协方差与相关系数……………………

§9.3203

协方差的定义协方差的性质

9.3.1(203)9.3.2(203)

相关系数的定义相关系数的性质

9.3.3(204)9.3.4(204)

矩和协方差矩阵………

§9.4207

原点矩和中心矩协方差矩阵

9.4.1(207)9.4.2(208)

n维正态分布的概率密度

9.4.3(208)

n维正态分布的几个重要性质

9.4.4(209)

习题……………

9210

第10章大数定律和中心极限定理……………

214

大数定律………………

§10.1214

切比雪夫不等式大数定律的概念

10.1.1(214)10.1.2(215)

中心极限定理…………

§10.2218

习题…………

10220

目录

|Ⅴ

第11章复数与复变函数………

223

复数的概念与运算……………………

§11.1223

复数的概念复数的表示方法

11.1.1(223)11.1.2(223)

复数的运算法则、乘幂与方根

11.1.3(225)

复变函数及其极限与连续性…………

§11.2227

复平面上的区域

11.2.1(227)

复变函数的极限与连续性

11.2.2(227)

习题…………

11228

第12章解析函数………………

230

复变函数的导数………

§12.1230

解析函数………………

§12.2232

解析函数的概念

12.2.1(232)

复变函数解析的充要条件

12.2.2(233)

初等函数………………

§12.3236

指数函数对数函数

12.3.1(237)12.3.2(237)

幂函数三角函数和双曲函数

12.3.3(239)12.3.4(240)

反三角函数和反双曲函数

12.3.5(242)

习题…………

12242

第13章复变函数的积分………

245

复变函数积分的概念…………………

§13.1245

有向曲线

13.1.1(245)

积分的定义及积分存在的条件

13.1.2(245)

复积分的性质

13.1.3(246)

复积分计算的参数方程法

13.1.4(247)

柯西古萨积分定理…………………

§13.2--249

引言柯西积分定理

13.2.1(249)13.2.2(250)

原函数

13.2.3(250)

复合闭路定理…………

§13.3251

柯西积分公式…………

§13.4253

问题的提出柯西积分公式

13.4.1(253)13.4.2(254)

高阶导数公式

13.4.3(255)

解析函数与调和函数的关系…………

§13.5257

调和函数的定义构造解析函数

13.5.1(257)13.5.2(258)

习题…………

13259

应用工程数学

Ⅵ|

第14章拉普拉斯变换…………

262

拉普拉斯变换的概念…………………

§14.1262

拉普拉斯变换的性质…………………

§14.2265

拉普拉斯变换的卷积…………………

§14.3268

拉普拉斯逆变换………

§14.4270

拉普拉斯变换的应用…………………

§14.5272

习题…………

14274

附录…………………

276

附录常用的概率分布表……………………

A276

附录泊松分布表……………

B278

附录标准正态分布表………

C283

附录常用拉普拉斯变换表…………………

D285

习题参考答案……………………

287

参考文献……………

306

第1章行列式

行列式起源于线性方程组是线性代数中的重要概念之一它在数学的许多分

,.

支中都有非常广泛的应用是研究线性方程组矩阵及向量组线性相关性的一种重

,、

要工具本章主要介绍n阶行列式的概念性质和计算方法以及用行列式解n元

.、,

线性方程组的克拉默法则

(Cramer).

§1.1二阶行列式与三阶行列式

1.1.1二阶行列式的定义

考虑一般的两个未知数两个方程构成的线性方程组

.

axaxb

例1用消元法解二元线性方程组111+122=1

{axaxb.

211+222=2

解第个方程a第个方程a得

1×22-2×12,

aaaaxbaba

(1122-1221)1=122-212,

第个方程a第个方程a得

2×11-1×21,

aaaaxabab

(1122-1221)2=112-211,

若aaaa则方程组有唯一解

1122-1221≠0,

babaabab

x122-212x112-211.

1=aaaa,2=aaaa

1122-12211122-1221

为此我们引入二阶行列式的定义

,.

定义1二阶行列式定义为

aa

1112aaaa.

aa=1122-1221(1--1)

2122

其中数aijij称为行列式的元素横排称为行竖排称为列元

,(=1,2;=1,2)(1--1),,.

素aij的第一个下标i称为行标表明该元素位于第i行