沪科版八年级下第18章 勾股定理18.1 勾股定理“十校联赛”一等奖

18．1勾股定理

——数形结合之美如图，受台风影响，一棵树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离树的底部12米处，这棵树折断前有多高？（不解答）y=0

创设问题情境5米12米

如图是一个行距、列距都是1的方格网，观察图中用彩色画出的三个正方形，谁能告诉我这三个正方形的面积S1、S2、S3之间有怎样的关系？用它们的边长表示，能得到怎样的式子？

观察与思考：S2S1S3abc（图中每个小方格代表一个单位面积）ACBS1+S2=S3即：a2+b2=c2S2S1S3（图中每个小方格代表一个单位面积）图18-2S1+S2=S3，即：a2+b2=c2图18-3ABCabcACBS2S1S3观察左边图18-2、图18-3完成下表：图形S1S2S3关系图18-2图18-3991891625

观察上表，你还能得到刚才的结论吗？S1+S2=S3S1+S2=S3abcS1=a2S2=b2S3=c2ABCabcS1S2S3S1+S2=S3其中，关系：猜想规律：a2+b2=c2故：

直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．

文字表述：

对于上述结论，要使人信服，必须加以证明．如何证明上述结论呢？问题情境已知：

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b．求证：

图1a

ABCcb证明：取4个与Rt△ABC全等的直角三角形，把它们拼成边长为（a+b）的正方形．

证明a、b、c之间的关系：a2+b2=c2aaaabbbbcccc

证明a、b、c之间的关系：a2+b2=c2

证明a、b、c之间的关系：a2+b2=c2aaaabbbbccccHGEFA1B1C1D1用面积法证明∴a2+b2+2ab

＝c2+2ab∴a2+b2=c2

证明a、b、c之间的关系：a2+b2=c2S正方形EFGH=4S直角三角形+S正方形A1B1C1D1∵S正方形EFGH=(a+b)2=a2+b2+2abaaaabbbbccccHGEFA1B1C1D1从图中可见，A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c．因为∠B1A1E+∠A1B1E=90°，而∠A1B1E=∠D1A1H，因此∠B1A1E+∠D1A1H=90°，∠D1A1B1=90°．同理：∠A1B1C1=∠B1C1D1=∠C1D1A1=90°，所以四边形A1B1C1D1是边长为c的正方形．

勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么：

即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．abc师生共识：勾股小知识

早在三千多年前，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，所以在我国人们就把这个定理叫作“商高定理”．

商高定理就是勾股定理哦！勾股

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”．我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．因此，我们称上述结论为勾股定理．毕达哥拉斯定理：

毕达哥拉斯

在国外，尤其在西方这个重要定理被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”．

相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的．他发现这个定理后异常高兴，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此又叫做“百牛定理”．

勾股定理的作用就是知道直角三角形中任意两边就可以求出第三边．勾股定理的作用：比一比看看谁算得快！例：求下列直角三角形中未知边的长．运用勾股定理解题时，方程思想是常用的思想方法之一．方法小结：3x5810x125x做一做=4=6=13勾股数

1．常见勾股数有：3、4、5;5、12、13;7、24、25……

2．如果a，b，c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：6、8、10；9、12、15……

3．一组勾股数中必有一个数是5的倍数

勾股小知识例：如图，受台风影响，一棵树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离树的底部12米处，这棵树折断前有多高？y=0应用知识回归生活(x－5)米解：

设这棵树折断前有x米，即：解这个方程，得：故：．

结合题意，不符合实际意义，应舍去，

答：这棵树折断前有18米．5米12米如图，根据勾股定理得：

迎接挑战

1．已知直角三角形的两直角边边长分别为5，12，你能求第三边的长吗？

迎接挑战

2．已知直角三角形的两条边长分别为5，12，求第三边的长．解：设第三边的长为x．（1）当x为斜边时，有（2）当x为直角边时，有当第三边不确定是什么边时，要应用分类思想来解决．方法小结:1．谈谈这节课的收获．课堂小结：2．

运用“勾股定理”应注意什么问题？思考题ABCD如图，一圆柱体高为8厘米，底面圆的周长为12厘米，一只蚂蚁从下底面的A点出发，沿着圆柱的曲面爬到与A相对的上底面C点处，问