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第七章共形映射第一节解析变换的特性第二节分式线性变换2011年6月3日第二十四讲第一节解析变换的特性1.解析变换的保域2.解析变换的保角性——

导数的几何意义3.单叶解析变换的共形性定理7.1（保域定理）设函数w=f(z)在区域D内解析且不恒等于常数，则D的像G

=f(D)也是一个区域。证明先证明G是开集，由解析函数的零点孤立性,一、解析变换的保域性由Rouche定理即G为开集.其次证明G是区域，即证个区域，故D内有一折线由于D是一连接z1及z2,于是C在w=f(z)的像是G内连接w1,

w2的曲线,推论7.2

设函数w=f(z)在区域D内单叶解析，则D的像G

=f(z)也是一个区域。证明因f(z)在区域D内单叶,故f(z)在区域D不恒为常数.注1定理7.1可推广为:“w=f(z)在扩充z平面区域D内亚纯且不恒为常数，则D的像G

=f(z)也为扩充z平面上的一个区域”。定理7.3注2即定理6.11逆不真.证明一阶零点，由不恒为常数的解析函数的零点的二、导数的几何意义--解析函数的保角性伸缩率的不变性.1.导数的模与辐角的几何意义旋转角.注3解析函数在导数不为零的点具有旋转角,伸缩率不变性.(与曲线C的选择和方向无关)几何意义(忽略高阶无穷小)

例1解由导数的几何意义,2两曲线的夹角定义.yx..yxvu即则保持夹角不变.既保持夹角大小,且保持夹角方向不变--保角性.3保角变换定义7.1(1)伸缩率不变性,注44解析变换的保角性定理7.4推论7.5例2证明

定义7.2注7注8三、单叶解析变换的共形性例3解定理7.6证明由定理6.11于是故由隐函数存在定理存在反函数故注9本定理(1)逆也真(D.Mencheff)注10注11两个共形变换的复合仍是共形变换.(共形)注12基本任务:给定区域D,G;找D到G的共形变换由注11,通过复合若干个基本共形变换,构

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