微分方程的基本概念

第十二章常微分方程

OrdinaryDifferentialEquation300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。

例１

一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.在数学上该问题归结为求满足微分方程和条件的函数.

通过几个具体的例题来了解微分方程的基本概念.

例２列车在直线轨道上以20的速度行驶，制动时列车获得加速度为0.4.求列车开始制动后行驶路程s(t)与时间t的关系和条件的函数说明

未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程.

说明

例=

-()s”4微方在例1和2中,xdxdy2=和

0.都是常分程.几个基本概念

微分方程

上面的关系式都含有未知函数的导数，他们都是微分方程

一般的，我们通常把含有一元未知函数及其导数（微分）的方程称为常微分方程微分方程的阶

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数

叫微分方程的阶

一般n阶微分方程的形式为

F(x

y

y

y(n))

0或

y(n)

f(x

y

y

y(n

1))

一阶的二阶的说明

微分方程的解

满足微分方程的函数叫做该微分方程的解

确切地说

设函数y

(x)在区间I上有n阶连续导数

如果在区间I上

F[x

(x)

(x)

(n)(x)]

0

那么函数y

(x)就叫做微分方程F(x

y

y

y(n))

0在区间I上的解

例yy22方xC=+在1中,=+和x1都程xdxdy2=的解.

在例2中

方程s

0

4的解有

s

0

2t2

C1t

C2、s

0

2t2

20t

C2和s

0

2t2

20t

说明

微分方程的解

满足微分方程的函数叫做该微分方程的解

在例1中,

y=x2+C和y=x2+1都方程xdxdy2=的解.

在例2中

方程s

0

4的解有

s

0

2t2

C1t

C2、s

0

2t2

20t

C2和s

0

2t2

20t

通解

如果微分方程的解中含有任意常数

且任意常数的个数与微分方程的阶数相同

这样的解叫做微分方程的通解

特解

确定了通解中的任意常数以后

就得到微分方程的特解

即不含任意常数的解叫特解

通解通解特解特解什么解？1/12/20248可分离变量方程例如：形如y

=f(x)g(y)的微分方程，称为可分离变量方程.(1)

分离变量将方程整理为使方程各边都只含有一个变量.的形式，1/12/20249(2)对两边积分两边同时积分，得故方程通解为

我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数，

而把积分所带来的任意常数明确地写上.例1求解方程解将变量分离，得到

两边积分，即得

因而，通解为

这里的是任意的正常数.牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.莱布尼兹(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,

他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,

所用微积分符号也远远优于牛顿.

他还设计了作乘法的计算机,

系统地阐述二进制计数法,并把它与中国的八卦联系起来.(雅各布第一·伯努利)

书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.欧拉(1707–1783)瑞士数学家.他写了大量数学经典著作,如《无穷小分析引论》,《微还写了大量力学,几何学,变分法教材.他在工作期间几乎每年都完成800页创造性的论文.他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支(如无穷级数,微分方程)与微分几何的产生和发展奠定了基础.分学原理》,《积分学原理》等,为