微积分基本公式

1§5.2

微积分基本公式

问题的提出积分上限函数及其导数Newton—Leibniz公式小结作业(v(t)和s(t)的关系)★☆☆fundamentalformulaofcalculus

第五章定积分数学小故事2

通过定积分的物理意义,例变速直线运动的路程为另一方面这段路程可表示为(v(t)和s(t)的关系)设某物体作直线运动,已知速度的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.是时间间隔一、问题的提出其中积分的有效、简便的方法.找到一个计算定3

如果能从v(t)求出s(t),

这正是第四章已经解决了的微分运算的？定积分的计算有捷径可寻下面进行一般性的讨论.运算.定积分运算就可化为减法启发不定积分问题.逆运算—4二、积分上限函数及其导数

注一定要分清函数的与自变量x积分变量t.设f(x)在[a,b]上可积,则对任一点5积分上限函数所以，我们只需讨论积分上限函数.6证定理1(原函数存在定理)因为从而下面讨论积分上限函数的可导性:7

积分中值定理定积分性质3故8

定理1指出:积分联结为一个有机的整体(2)连续函数f(x)一定有原函数,就是f(x)的一个原函数.(1)积分运算和微分运算的关系,它把微分和所以它是微积分学基本定理.函数—微积分,9推论?10例

解例

解11例

解12例解这是型不定式,分析应用L’Hospital法则13证例证明函数为单调增加函数.14为单调增加函数.故15证令为单调增加函数.证明:只有一个解.例所以原方程只有一个解.或16

分析求必须先化掉积分号,只要对所给积分方程两边求导即可.解对所给积分方程两边关于x求导,得练习需先求出即)1(2xx+][f17定理2（Newton-Leibniz公式）证牛顿(英)1642―1727

莱布尼茨(德)1646―1716如果是连续函数的一个原函数,则都是f(x)在[a,b]因为上的原函数,故有C是待定常数,即有三、Newton—Leibniz公式)(aFC-=18牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式又称为微积分基本公式，即特别,注微积分基本公式表明：（2）N-L公式揭示了积分学两类基本问题——不定积分与定积分两者之间的内在联系（3）求定积分问题转化为求原函数的问题.（4）为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又简便的方法，使得定积分的计算大为简化。注意20例例例问题的关键是如何求一个函数的原函数.例解怎么办？去绝对值符号(如果是分段函数，则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的形式.)2122例

原式解

面积例

解平面图形的面积.所围成的23例

解24例

解由图形可知注如被积函数是分段函数,应分段分成几个再用牛—莱公式.积分,25练习解如被积函数有绝对值,注再用去掉后,N--L公式.应分区间将绝对值26思考题1问:对吗?错!分析其中的x对积分过程是常数,而积分结果是x的函数.若被积函数是积分上限(或下限)的函数中的注意变量x及积分变量t的函数时,应注意x与t的区别.对x求导时,绝不能用积分上限(或下限)的变量x替换积分变量.27思考题1问:对吗?故正确解答因为28思考题2已知两曲线在点处的切线相同,写出此切线方程,并求极限解故所求切线方程为2002年考研数学(一)7分29练习12002年考研数学(二)填空3分

填空题解原式30练习2解原式=31确定常数a,b,c

的值,使解:原式=

c≠0，故又由～，得练习332

微积分基本公式积分上限函数(变上限积分)

积分上限函数的导数

牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．四、小结注意其推论.33作业习题5-2(240页)

4.5.6（双数）.9.10.11.微积分基本公式34公主能嫁出去吗？

很久以前有位国王，住在一座通风良好的城堡里，他有三个既漂亮又聪明的公主。三位公主渐渐长大，到了该结婚的年龄，但是对她们感兴趣的年轻人，没有一个是有出息的，不是飙车族，就是身无一技之长的流浪汉。于是国王设计了一个题目，来考察她们的追求者，主要目的就是要难倒那些飙车族。他向全国臣民宣布：任何人只要能够告诉他全国农民的正确人数，就可以得到1000块金币的奖赏，并得以任娶一位公主为妻；若是答错了，就得砍掉脑袋。（注：按照该国的法律规定，农民的人口密度必须刚好等于每平方英里15/8人）

国王知道他这个问题不简单，因为该国的领土面积很不好计算。怎么说呢？它是一个不规则四边形，其中三边是直线，长度分部是100英里、110英里和10英里，但是第四条边界是沿着一条弯曲的河流，使得面积计算看起来几乎不可能。数学小故事35

由于受到高额奖金与公主美色的诱惑，国内许多年轻人都舍命前来一试，不过不幸全都猜错了，当然也都丢掉了脑袋。悬赏不到一年，全国飙车族已经绝迹，国王非常满意，但是公主们却非常失望，他们埋怨道：“老爸！拜托你别再搞这个鬼名堂了吧。这么做实在是无聊透顶！我们的人民连微分都不会，何况积分呢？看样子我们这辈子是永远嫁不出去啦！”

终于有一天，来了一个其貌不扬的外国年轻人，他向国王说：“我特地前来领取奖金，顺便娶走你的一位女儿。”国王听他说得这么有把握，哑然失笑道：“你确定你办得到吗？且先告诉我，在我的王国里一共有多少个农民？”

“8125”,年轻人毫不迟疑地答道。顿时国王张口结舌，下巴往下掉了一英尺长。这是哪门子的魔术呀！居然被让猜个正着。国王所不知道的是，这位看似腼腆的青年是周游各地的微积分教授，他骑着自行车来到此王国，路上听说了国王的这些奖赏，即刻知道这是他有生以来能找到对象的最佳机会。36

他骑着自行车绕了过境一周，在沿着界河前进时，他发现河道正好是这条曲线，而其他边界界皆为直线并相互垂直，这个王国的疆域如右图所示：经过如此这般的仔细分析后，他知道了王国的面积可由下面这个定积分计算出来：37

由于问题问的是农民问题，所以还得把领土面积乘以农民人口密度的15/8，于是他就求出了农民人数：

这回国王倒是言而有信，马上下令找来内务大臣，