线性方程组的误差分析

§2线性方程组的误差分析

/*ErrorAnalysisforLinearsystemofEquations*/求解时，A

和的误差对解有何影响？

设A

精确，有误差，得到的解为，即绝对误差放大因子又相对误差放大因子§2ErrorAnalysisfor.

设精确，A有误差，得到的解为，即

Waitaminute…

Whosaidthat(I+A

1A)isinvertible?(只要

A充分小，使得是关键的误差放大因子，称为A的条件数，记为cond(A),越则A越病态，难得准确解。大§2ErrorAnalysisfor.

注:

cond(A)的具体大小与||·||的取法有关，但相对大小一致。

cond(A)取决于A，与解题方法无关。

常用条件数有：cond(A)1cond(A)

cond(A)2特别地，若A对称，则条件数的性质：

A可逆，则cond(A)p

1；

A可逆，

R

则cond(

A)

=cond(A)；

A正交，则cond(A)2=1；

A可逆，R正交，则cond(RA)2

=cond(AR)2

=cond(A)2。§2ErrorAnalysisfor.

精确解为例：计算cond(A)2。A1=解：考察A

的特征根39206>>1

测试病态程度：给一个扰动，其相对误差为此时精确解为2.0102>200%§2ErrorAnalysisfor.

例：Hilbert阵cond

(H2)

=27cond

(H3)

748cond

(H6)

=2.9106cond

(Hn)

asn

注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出。

行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；

元素间相差大数量级，且无规则；

主元消去过程中出现小主元；

特征值相差大数量级。§2ErrorAnalysisfor.

近似解的误差估计及改善：设的近似解为，则一般有cond(A)误差上限

改善方法：Step1:近似解Step2:Step3:Step4:若可被精确解出，则有就是精确解了。经验表明：若A不是非常病态（例如：），则如此迭代可达到机器精度；但若A病态，则此算法也不能改进。HW:p.66#2,#4,#5§3Jacobi法和Gauss-Seidel法

/*Jacobi&Gauss-SeidelIterativeMethods*/

JacobiIterativeMethod写成矩阵形式：A=LUDBJacobi迭代阵§3Jacobi&Gauss-SeidelIterativeMethods

Algorithm:JacobiIterativeMethod

Solvegivenaninitialapproximation

.Input:thenumberofequationsandunknownsn;thematrixentriesa[][];

theentriesb[];theinitialapproximationX0[];toleranceTOL;

maximumnumberofiterationsNmax.Output:approximatesolutionX[]oramessageoffailure.Step1Setk=1;Step2While(k

Nmax)dosteps3-6

Step3Fori=1,…,n

Set;/*compute

xk*/

Step4IfthenOutput(X[]);STOP;/*successful*/

Step5Fori=1,…,nSetX0[]=X[];/*updateX0*/

Step6Setk++;Step7Output(Maximumnumberofiterationsexceeded);STOP./*unsuccessful*/Whatifaii

=0?迭代过程中，A

的元素不改变，故可以事先调整好A

使得aii

0，否则

A不可逆。必须等X(k)完全计算好了才能计算X(k+1)，因此需要两组向量存储。Abitwasteful,isn’tit?§3Jacobi&Gauss-SeidelIterativeMethods

Gauss-SeidelIterativeMethod…………只存一组向量即可。写成矩阵形式：BGauss-Seidel

迭代阵Amathematicianabouthiscolleague:"Hemadealotofmistakes,buthemadetheminagooddirection.Itriedtocopythis,butIfoundoutthatitisverydifficulttomakegoodmistakes."§3Jacobi&Gauss-SeidelIterativeMethods注：二种方法都存在收敛性问题。有例子表明：Gauss-Seidel法收敛时，Jacobi法可能不收敛；而Jacobi法收敛时，Gauss-Seidel法也可能不收敛。p.76#2给出了例子。收敛性分析将在下节课讨论。§3Jacobi&Gauss-SeidelIterativeMethodsLab07.Gauss-SeidelMethod UsetheGauss-Seidelmethodtosolveagivenn×n

linearsystemwithaninitialapproximationandagiventoleranceTOL.

Input Thereareseveralsetsofinputs.Foreachset: The1stlinecontainsaninteger100

n

0whichisthesizeofamatrix.n=

1signalstheendoffile. Thefollowingnlinescontaintheaugmentedmatrixinthefollowingformat:Thenumbersareseparatedbyspacesandnewlines.ThelastlineofeachtestcasecontainsarealnumberTOL,whichisthetolerancefor||·||

norm,andanintegerN

0whichisthemaximumnumberofiteration.§3Jacobi&Gauss-SeidelIterativeMethodsOutput/*

representsaspace*/

EachentryofthesolutionistobeprintedasintheCfprintf:fprintf(outfile,"%12.8f\n",x);

Ifthematrixhasazerocolumn,printthemessage“Matrix

has

a

zero

column.

No

unique

solution

exists.\n”.

IfthemethodfailstogiveasolutionafterNiterations,printthemessage“Maximum

number

of

iterations

exceeded.\n”.

Ifthereisanentryofthatisoutoftherange,printthemessage“No

convergence.\n”.Theoutputsoftwotestcasesmustbeseperatedbyablankline.SampleInput

(

representsaspace)